Care dintre următoarele afirmații este adevărată?

orice șir mărginit este convergent

orice șir nemărginit are limita $$+\infty$$

orice șir divergent nu are limită

Ce înseamnă șir convergent și șir divergent?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Convergență, divergență, subșiruri

Un șir este convergent când are limită finită; în orice altă situație se numește divergent. Divergența acoperă două cazuri: șiruri cu limită infinită, cum este $a_{n} = n^{2}$ , și șiruri fără nicio limită, cum este $a_{n} = (- 1)^{n}$ . Limita, atunci când există, este singura posibilă, iar modificarea unui număr finit de termeni nu o schimbă.

Un șir este convergent dacă are limită finită, și divergent dacă nu este convergent. Atenție la capcană: „divergent” nu înseamnă „fără limită”. Un șir cu limita $+ \infty$ are limită în $\overline{R}$ și este totuși divergent; abia $((- 1)^{n})$ este divergent fără limită.

Unicitatea limitei: un șir are cel mult o limită în $\overline{R}$ — se demonstrează alegând, pentru două limite presupuse distincte, două vecinătăți disjuncte. De aceea se scrie „limita șirului”, cu semnul egal.

Un număr finit de termeni nu contează: adăugarea, eliminarea sau modificarea lor lasă limita neschimbată, fiindcă definiția privește doar rangurile mari.

Un subșir $(a_{n_{k}})$ se obține alegând indici strict crescători $n_{1} < n_{2} < \dots$ ; întotdeauna $n_{k} \geq k$ . Orice subșir moștenește limita șirului. De aici criteriul de lucru: două subșiruri cu limite diferite $\Rightarrow$ șirul nu are limită — rețeta pentru orice termen general cu $(- 1)^{n}$ : separi rangurile pare de cele impare și compari. În fine, orice șir convergent este mărginit, dar reciproca este falsă; forma utilă este contrapoziția: un șir nemărginit nu poate fi convergent.

De reținut

Convergent = are limită FINITĂ; orice altceva este divergent
Limita, dacă există, este singura; subșirurile au aceeași limită
Limita nu se schimbă dacă rescrii oricâți termeni de la început

Greșeala tipică

Se spune că un șir divergent nu are limită. Divergența înseamnă doar că limita nu este finită, iar șirurile care tind la infinit au limită și sunt totuși divergente.

Exerciții din această mini-lecție

Care dintre următoarele șiruri este divergent, dar are limită?
- a) $a_{n} = \frac{2 n + 1}{n}$
- b) $a_{n} = (- 1)^{n}$
- c) $a_{n} = 4 - 3 n$
- d) $a_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $a_{n} = 4 - 3 n$

Pentru orice prag $M$ , inecuația $4 - 3 n < M$ are loc de la un rang încolo, deci $n \to \infty lim (4 - 3 n) = - \infty$ : limita există în $\overline{R}$ , dar nu este finită, deci șirul este divergent. Primul și ultimul șir sunt convergente (limitele $2$ și $0$ ), iar $((- 1)^{n})$ este divergent fără limită.
Fie $a_{n} = (- 1)^{n} \cdot \frac{3 n - 1}{n}$ . Limitele subșirului de rang par și ale celui de rang impar sunt, în această ordine:
- a) $1$ și $- 1$
- b) $3$ și $3$
- c) $- 3$ și $3$
- d) $3$ și $- 3$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $3$ și $- 3$

Rescriem $\frac{3 n - 1}{n} = 3 - \frac{1}{n}$ . Pentru $n = 2 k$ semnul este $+$ , deci $a_{2 k} = 3 - \frac{1}{2 k}$ și $∣ a_{2 k} - 3 ∣ = \frac{1}{2 k}$ , care coboară sub orice $ε$ : subșirul par tinde la $3$ . Pentru $n = 2 k + 1$ semnul este $-$ , iar $∣ a_{2 k + 1} + 3 ∣ = \frac{1}{2 k + 1}$ , deci subșirul impar tinde la $- 3$ . Limitele diferind, șirul nu are limită.
Care dintre următoarele afirmații este adevărată?
- a) orice șir convergent este mărginit
- b) orice șir mărginit este convergent
- c) orice șir nemărginit are limita $+ \infty$
- d) orice șir divergent nu are limită
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) orice șir convergent este mărginit

Aplicând definiția cu $ε = 1$ și adăugând cei $N - 1$ termeni de la început, se obține o margine pentru tot șirul. Reciproca este falsă: $((- 1)^{n})$ este mărginit și nu are limită. Nici c) nu ține — șirul $0, 2, 0, 4, 0, 6, \dots$ este nemărginit și nu are limită — iar d) confundă „divergent” cu „fără limită”.

Întrebări conexe

Ce subșiruri are șirul cu termenul general minus unu la puterea n?

Cel al rangurilor pare, format numai din valori egale cu $1$ , și cel al rangurilor impare, format numai din valori egale cu $- 1$ . Fiecare are limită, dar limitele diferă, ceea ce arată că șirul de pornire nu are limită.

Ce limită au subșirurile unui șir convergent?

Toate au aceeași limită ca șirul din care provin. Proprietatea se folosește invers, ca instrument de respingere: două subșiruri cu limite diferite arată că șirul întreg nu poate avea limită.

Ce este un punct limită al unui șir?

O valoare spre care tinde cel puțin un subșir. Un șir convergent are un singur punct limită, în timp ce $(- 1)^{n}$ are două, iar unele șiruri pot avea chiar o infinitate.

Ce înseamnă că un șir oscilează?

Că termenii lui sar între zone diferite, fără să se stabilizeze în jurul unei valori. Un astfel de șir poate rămâne mărginit, dar nu are limită, deci este divergent.

Cum se scrie un subșir cu indici pari?

Se notează $a_{2 k}$ , unde $k$ parcurge numerele naturale nenule. Indicii aleși trebuie să crească strict, condiție care asigură că subșirul merge tot mai departe în șirul de pornire.

Poate un șir divergent să aibă un subșir convergent?

Da, iar exemplul potrivit este tot $(- 1)^{n}$ : subșirul rangurilor pare este constant, deci convergent. Mai mult, orice șir mărginit are măcar un subșir convergent, chiar dacă el însuși nu are limită.

Oamenii mai întreabă și: șir convergent și șir divergent · diferența dintre convergent și divergent · șir cu limită finită · când este divergent un șir