Care afirmație este adevărată despre șirul $$a_n=n^{2}-4n$$?

are limita $$+\infty$$ și este divergent

Care sunt cazurile de nedeterminare?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Șiruri cu limită infinită. Operații

Sunt șapte: $\infty - \infty$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $0 \cdot \infty$ , $\frac{0}{0}$ , $1^{\infty}$ , $0^{0}$ și $\infty^{0}$ . În aceste situații regulile obișnuite nu dau niciun răspuns, fiindcă rezultatul depinde de șirurile alese: $\frac{n}{n}$ tinde la $1$ , iar $\frac{n ^{2}}{n}$ tinde la infinit, deși amândouă sunt de forma $\frac{\infty}{\infty}$ . Expresia trebuie prelucrată înainte de a trece la limită.

$n \to \infty lim a_{n} = + \infty$ înseamnă: pentru orice prag $M \in R$ există un rang $N$ cu $a_{n} > M$ pentru orice $n \geq N$ . Un asemenea șir este nemărginit superior, are termeni pozitivi de la un rang încolo și toate subșirurile cu aceeași limită.

⚠️ Limita infinită există în $\overline{R}$ : șirul este divergent, dar are limită. „Nu are limită” se spune numai când niciun element din $\overline{R}$ nu verifică definiția, ca la $((- 1)^{n})$ .

Tabelul operațiilor devine, aici, o listă de teoreme despre șiruri: $a + (+ \infty) = + \infty$ ; $a \cdot (\pm \infty) = \pm \infty$ după semnul lui $a$ , cu $a \neq = 0$ ; $\frac{a}{\pm \infty} = 0$ ; $a^{+ \infty} = + \infty$ pentru $a > 1$ și $0$ pentru $0 < a < 1$ . Fiecare rând se demonstrează din definiție.

$\frac{a}{0}$ nu este operație: când numitorul tinde la $0$ , decide semnul lui, notat $0^{+}$ sau $0^{-}$ ; fără semn constant limita poate lipsi, ca la $a_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$ , unde $\frac{1}{a _{n}} = (- 1)^{n} n$ nu are limită. Cele șapte nedeterminări, în ordine: $\frac{0}{0}$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $\infty - \infty$ , $0 \cdot \infty$ , $1^{\infty}$ , $\infty^{0}$ , $0^{0}$ . În schimb $\infty + \infty$ , $\infty \cdot \infty$ și $\frac{a}{\infty}$ nu sunt nedeterminări — verifică tabelul înainte de a prelucra.

De reținut

Cele șapte: $\infty - \infty$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $0 \cdot \infty$ , $\frac{0}{0}$ , $1^{\infty}$ , $0^{0}$ , $\infty^{0}$
Sigur: $\infty + \infty = \infty$ , $\frac{a}{\infty} = 0$ , $a \cdot \infty = \pm \infty$ pentru $a \neq = 0$
Nedeterminare $\neq =$ „limita nu există”

Greșeala tipică

Se scrie direct zero la o expresie de forma $\infty - \infty$ , prin analogie cu scăderea a două numere egale. Cele două infinități pot crește cu viteze diferite, deci rezultatul poate fi orice.

Exerciții din această mini-lecție

Valoarea limitei $n \to \infty lim (2 - \frac{5}{n}) \cdot n^{3}$ este:
- a) $0$
- b) $2$
- c) $+ \infty$
- d) $- \infty$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $+ \infty$

Primul factor are limita $2$ , finită și nenulă, iar al doilea are limita $+ \infty$ . Rândul $a \cdot (+ \infty) = + \infty$ (pentru $a > 0$ ) dă rezultatul. Verificarea limitei primului factor era obligatorie: dacă ea ar fi ieșit $0$ , am fi avut nedeterminarea $0 \cdot \infty$ .
Fie $a_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{n ^{2}}$ . Despre șirul $b_{n} = \frac{1}{a _{n}}$ se poate afirma că:
- a) are limita $+ \infty$
- b) nu are limită
- c) are limita $0$
- d) are limita $- \infty$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) nu are limită

Într-adevăr $a_{n} \to 0$ , dar $a_{n}$ nu păstrează semn constant, deci teorema inversului nu se aplică. Avem $b_{n} = (- 1)^{n} n^{2}$ : subșirul de rang par tinde la $+ \infty$ , cel de rang impar la $- \infty$ , deci șirul nu are limită. Ipoteza de semn din teoremă nu este decorativă.
Care afirmație este adevărată despre șirul $a_{n} = n^{2} - 4 n$ ?
- a) are limita $+ \infty$ și este divergent
- b) nu are limită
- c) este convergent
- d) are limita $- \infty$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) are limita $+ \infty$ și este divergent

Scriem $a_{n} = n^{2} (1 - \frac{4}{n})$ : paranteza are limita $1 > 0$ , iar $n^{2} \to + \infty$ , deci $n \to \infty lim a_{n} = + \infty$ . Limita există în $\overline{R}$ , dar nu este finită, deci șirul este divergent. Primii termeni sunt negativi ( $a_{1} = - 3$ ), ceea ce nu schimbă nimic — contează doar rangurile mari.

Întrebări conexe

Ce operații cu infinitul dau rezultat sigur?

Suma a două infinități de același semn, produsul dintre infinit și un număr nenul, precum și un număr împărțit la infinit, care dă zero. Aceste convenții nu sunt nedeterminări, ci reguli stabilite o dată pentru totdeauna.

Ce limită are suma dintre un șir care tinde la infinit și unul convergent?

Tot infinit, cu același semn. Adăugarea unei mărimi care rămâne aproape de un număr fix nu poate opri creșterea nemărginită, deci aici nu apare nicio nedeterminare.

Cum se scrie că un șir tinde la minus infinit?

Prin condiția ca termenii să coboare sub orice prag negativ ales, de la un rang încolo. Se notează cu limita egală cu $- \infty$ , iar șirul este divergent, deși are limită.

Poate un șir să nu aibă nici limită finită, nici infinită?

Da, iar cazul tipic este cel al șirurilor oscilante, cum sunt cele construite cu $(- 1)^{n}$ . Ele nu se apropie de niciun număr și nu depășesc definitiv niciun prag, deci nu intră în nicio categorie cu limită.

Ce limită are produsul dintre un șir care tinde la infinit și unul cu limita 3?

Este $+ \infty$ , fiindcă factorul al doilea rămâne, de la un rang încolo, mai mare decât $2$ . Nedeterminarea ar apărea doar dacă al doilea factor ar tinde la zero.

De ce nedeterminarea nu înseamnă că limita nu există?

Fiindcă ea spune doar că forma expresiei nu decide singură rezultatul. După o prelucrare potrivită, limita se poate afla și poate fi finită, infinită sau inexistentă, în funcție de caz.

Oamenii mai întreabă și: cazuri de nedeterminare · cele șapte nedeterminări la limite · infinit minus infinit și zero pe zero · când apare o nedeterminare