Se consideră șirul $$J_n = \displaystyle\int_0^1 \frac{x^n}{x+7}\,dx$$, $$n \in \mathbb{N}$$. Relația de recurență satisfăcută de $$(J_n)$$, pentru $$n \ge 1$$, este:

$$J_n + 7J_{n-1} = \dfrac{1}{n}$$

$$J_n + J_{n-1} = \dfrac{1}{n}$$

$$7J_n + J_{n-1} = \dfrac{1}{n}$$

$$J_n - 7J_{n-1} = \dfrac{1}{n}$$

Despre un șir de integrale $$(I_n)$$ s-a demonstrat că este descrescător și că $$I_n > 0$$ pentru orice $$n$$. Ce se poate afirma corect?

șirul este convergent, dar valoarea limitei cere un argument suplimentar

$$\lim\limits_{n\to\infty} I_n = 0$$, prin teorema lui Weierstrass

$$\lim\limits_{n\to\infty} I_n = \dfrac12$$

Cum se studiază un șir de integrale?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Șiruri de integrale: recurență și limită

În trei întrebări, puse mereu în aceeași ordine: are termeni care urcă sau coboară? rămâne între margini fixe? spre ce număr se îndreaptă? Monotonia se citește comparând integranzii, nu valorile termenilor; mărginirea vine dintr-o încadrare a integrandului, integrată apoi pe interval. Limita se obține tot din încadrare, cu criteriul cleștelui, fiindcă teorema lui Weierstrass dă numai existența ei, nu și valoarea.

Un șir de integrale are drept termeni integralele definite ale unei familii de funcții care depinde de indicele $n$ , cel mai adesea $I_{n} = \int_{a}^{b} x^{n} g (x) d x$ . Despre el se pun, în această ordine, Întrebarea 1 (este monoton?), Întrebarea 2 (este mărginit?) și Întrebarea 3 (care este limita?). Monotonia nu se citește din valorile termenilor, ci din compararea integranzilor: pe $[0, 1]$ avem $x^{n + 1} \leq x^{n}$ , deci orice șir $\int_{0}^{1} x^{n} g (x) d x$ cu $g \geq 0$ este descrescător, iar pe un interval din $[1, + \infty)$ inegalitatea se răstoarnă. Mărginirea vine din încadrarea integrandului, urmată de integrarea inegalităților: pentru $I_{n} = \int_{0}^{1} \frac{x ^{n}}{x + 1} d x$ se obține $\frac{1}{2 ( n + 1 )} \leq I_{n} \leq \frac{1}{n + 1}$ . Teorema lui Weierstrass dă doar existența limitei; valoarea ei se obține din încadrare, cu criteriul cleștelui. Relația de recurență se află fie adunând doi termeni consecutivi astfel încât numitorul să se simplifice — coeficientul este termenul liber al numitorului, iar pasul recurenței este gradul lui —, fie integrând prin părți, când integrandul conține $e^{x}$ , $ln x$ sau funcții trigonometrice. Limitele de forma $lim n I_{n}$ , ultimul subpunct obișnuit la Bacalaureat M1, se obțin combinând recurența cu monotonia: din $I_{n - 1} \geq I_{n}$ și $I_{n} + I_{n - 1} = \frac{1}{n}$ rezultă $I_{n} \leq \frac{1}{2 n}$ , iar cleștele se închide la $\frac{1}{2}$ .

De reținut

monotonie, mărginire, limită — în ordinea aceasta
monotonia: compararea integranzilor
limita: încadrare plus criteriul cleștelui

Greșeala tipică

Se conchide că limita este zero doar fiindcă șirul scade și rămâne pozitiv. De aici rezultă numai că limita există; valoarea ei cere o încadrare care se strânge în jurul unui număr.

Exerciții din această mini-lecție

Se consideră șirul $J_{n} = \int_{0}^{1} \frac{x ^{n}}{x + 7} d x$ , $n \in N$ . Relația de recurență satisfăcută de $(J_{n})$ , pentru $n \geq 1$ , este:
- a) $J_{n} + 7 J_{n - 1} = \frac{1}{n}$
- b) $J_{n} + J_{n - 1} = \frac{1}{n}$
- c) $7 J_{n} + J_{n - 1} = \frac{1}{n}$
- d) $J_{n} - 7 J_{n - 1} = \frac{1}{n}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $J_{n} + 7 J_{n - 1} = \frac{1}{n}$

Coeficientul din recurență este termenul liber al numitorului: din $x^{n} + 7 x^{n - 1} = x^{n - 1} (x + 7)$ obținem $J_{n} + 7 J_{n - 1} = \int_{0}^{1} x^{n - 1} d x = \frac{1}{n}$ . Varianta b) copiază recurența șirului cu numitorul $x + 1$ , varianta c) așază coeficientul la termenul greșit, iar d) scade în loc să adune, caz în care numitorul nu se mai simplifică. Control pe primii termeni: $J_{1} + 7 J_{0} = 1$ .
Se consideră $K_{n} = \int_{1}^{2} \frac{x ^{n}}{x + 7} d x$ , $n \in N$ . Șirul $(K_{n})$ este:
- a) descrescător
- b) crescător
- c) constant
- d) nemonoton
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) crescător

Pe $[1, 2]$ avem $x \geq 1$ , deci $x^{n + 1} \geq x^{n}$ ; împărțind la $x + 7 > 0$ și integrând inegalitatea, obținem $K_{n + 1} \geq K_{n}$ , adică șirul crește. Varianta „descrescător” este reflexul deprins pe $[0, 1]$ , unde $x \leq 1$ și inegalitatea dintre puteri are sens invers: semnul monotoniei vine din poziția intervalului față de $1$ , nu din forma șirului.
Despre un șir de integrale $(I_{n})$ s-a demonstrat că este descrescător și că $I_{n} > 0$ pentru orice $n$ . Ce se poate afirma corect?
- a) $n \to \infty lim I_{n} = 0$ , prin teorema lui Weierstrass
- b) șirul este divergent
- c) șirul este convergent, dar valoarea limitei cere un argument suplimentar
- d) $n \to \infty lim I_{n} = \frac{1}{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) șirul este convergent, dar valoarea limitei cere un argument suplimentar

Teorema lui Weierstrass spune că un șir monoton și mărginit converge; ea nu dă niciodată valoarea limitei. Aceasta se obține separat, dintr-o încadrare și criteriul cleștelui. Varianta a) este greșeala cea mai frecventă a temei: se citește din teoremă o concluzie pe care ea nu o conține. Varianta d) inventează o valoare, iar b) contrazice chiar teorema.

Întrebări conexe

Ce încadrare are integrala de la 0 la 1 din x la n, supra x plus 1?

Pe acest interval numitorul stă între $1$ și $2$ , deci integrandul stă între $\frac{x ^{n}}{2}$ și $x^{n}$ . Integrând inegalitatea, iese $\frac{1}{2 ( n + 1 )} \leq I_{n} \leq \frac{1}{n + 1}$ , de unde limita șirului este zero.

Ce dă adunarea a doi termeni consecutivi la o recurență?

Simplificarea numitorului. Când se adună termenii de rang vecin, la numărător apare o expresie care se împarte exact la numitor, iar integrala rămasă se calculează direct. Coeficienții recurenței sunt chiar coeficienții numitorului, iar pasul ei este gradul lui.

De ce nu se calculează direct termenul general al unui astfel de șir?

Fiindcă primitiva integrandului depinde de indice și de obicei nu se scrie cu funcții elementare. Tocmai de aceea se lucrează cu proprietăți: comparație pentru monotonie, încadrare pentru margini și recurență pentru legătura dintre doi termeni vecini.

Se poate citi monotonia din valorile termenilor?

Nu, mai ales că de obicei termenii nici nu se pot calcula. Se compară în schimb integranzii pe intervalul dat: între $0$ și $1$ puterile scad odată cu creșterea exponentului, iar monotonia integralei transmite inegalitatea la termenii șirului.

Ce se schimbă dacă intervalul nu este de la 0 la 1?

Se poate răsturna inegalitatea dintre integranzi: pe un interval aflat la dreapta lui $1$ puterile cresc odată cu exponentul, deci șirul devine crescător. De aceea comparația se face de fiecare dată pe intervalul din enunț, nu din obișnuință.

Oamenii mai întreabă și: șiruri de integrale · recurență la șiruri de integrale · limita unui șir de integrale · monotonia unui șir de integrale · limita lui n ori I n