Metoda raportului $$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$$ poate fi folosită pentru studiul monotoniei numai dacă:

șirul este definit prin recurență

Șirul $$a_n=\dfrac{4^n}{n!}$$, $$n\ge1$$, este:

strict descrescător de la rangul $$4$$

Cum arăt că un șir este crescător?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Șiruri: definire și monotonie

Compari doi termeni consecutivi: dacă diferența $a_{n + 1} - a_{n}$ iese pozitivă pentru orice rang, șirul crește. Pentru $a_{n} = n^{2} + 3 n$ diferența dă $2 n + 4$ , care este mereu pozitivă, deci șirul este strict crescător. La șirurile cu termeni pozitivi se poate folosi și raportul $\frac{a _{n + 1}}{a _{n}}$ , care trebuie să depășească $1$ . Verificarea pe câțiva termeni nu ține loc de demonstrație.

Un șir de numere reale este o funcție $f : N^{*} \to R$ , notată $(a_{n})_{n \geq 1}$ , cu $a_{n} = f (n)$ termenul de rang $n$ . Domeniul fiind discret, graficul este format din puncte izolate $(n, a_{n})$ , care nu se unesc. Un șir se dă prin formula termenului general, prin recurență sau printr-o descriere — niciodată printr-o listă de primi termeni.

Șirul este crescător dacă $a_{n} \leq a_{n + 1}$ pentru orice $n$ , strict crescător dacă $a_{n} < a_{n + 1}$ , și analog pentru descreștere; monoton înseamnă crescător sau descrescător. Un șir poate fi nemonoton sau monoton doar de la un rang încolo, iar concluzia trebuie să spună de la care.

Trei metode de lucru. Semnul diferenței $a_{n + 1} - a_{n}$ este metoda universală: se aduce la o formă cu semn evident, de obicei o fracție cu numărător constant. Metoda raportului compară $\frac{a _{n + 1}}{a _{n}}$ cu $1$ și e comodă la puteri și factoriale, dar cere obligatoriu $a_{n} > 0$ pentru orice $n$ — la termeni negativi concluzia se inversează. Funcția atașată: dacă $a_{n} = f (n)$ cu $f$ monotonă pe $[1, + \infty)$ , șirul moștenește monotonia lui $f$ . La șirurile date prin recurență, monotonia se demonstrează prin inducție: verifici $a_{1} < a_{2}$ , apoi treci de la $a_{n} < a_{n + 1}$ la $a_{n + 1} < a_{n + 2}$ aplicând regula de recurență.

De reținut

Crescător $⟺ a_{n + 1} - a_{n} \geq 0$ pentru orice $n$
Termeni pozitivi: se poate compara $\frac{a _{n + 1}}{a _{n}}$ cu $1$
Un șir poate să nu fie nici crescător, nici descrescător

Greșeala tipică

Se calculează câțiva termeni, se observă că valorile cresc și se anunță monotonia. Tiparul de la început se poate rupe mai departe, deci concluzia cere semnul diferenței la un rang oarecare.

Exerciții din această mini-lecție

Pentru șirul $a_{n} = \frac{4 n - 3}{n + 2}$ , $n \geq 1$ , diferența $a_{n + 1} - a_{n}$ este egală cu:
- a) $\frac{11}{( n + 2 ) ^{2}}$
- b) $- \frac{11}{( n + 2 ) ( n + 3 )}$
- c) $\frac{5}{( n + 2 ) ( n + 3 )}$
- d) $\frac{11}{( n + 2 ) ( n + 3 )}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $\frac{11}{( n + 2 ) ( n + 3 )}$

Cel mai rapid prin rescriere: $a_{n} = \frac{4 ( n + 2 ) - 11}{n + 2} = 4 - \frac{11}{n + 2}$ , deci $a_{n + 1} - a_{n} = \frac{11}{n + 2} - \frac{11}{n + 3} = \frac{11}{( n + 2 ) ( n + 3 )}$ . Fiind strict pozitivă, șirul este strict crescător. Verificare: $a_{2} - a_{1} = \frac{5}{4} - \frac{1}{3} = \frac{11}{12}$ , exact valoarea formulei pentru $n = 1$ .
Metoda raportului $\frac{a _{n + 1}}{a _{n}}$ poate fi folosită pentru studiul monotoniei numai dacă:
- a) șirul este mărginit
- b) $a_{n} > 0$ pentru orice $n$
- c) șirul este definit prin recurență
- d) $a_{n} \neq = 0$ pentru orice $n$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $a_{n} > 0$ pentru orice $n$

Împărțirea la un număr negativ schimbă sensul inegalității, deci la termeni negativi concluzia iese pe dos: pentru $a_{n} = - n$ raportul este $\frac{n + 1}{n} > 1$ , deși șirul scade. Condiția $a_{n} \neq = 0$ face raportul să existe, dar nu ajunge; verificarea pozitivității este pasul care se punctează separat în barem.
Șirul $a_{n} = \frac{4 ^{n}}{n !}$ , $n \geq 1$ , este:
- a) strict crescător
- b) strict descrescător
- c) strict descrescător de la rangul $4$
- d) constant
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) strict descrescător de la rangul $4$

Termenii sunt strict pozitivi, iar $\frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = \frac{4 ^{n + 1}}{( n + 1 )!} \cdot \frac{n !}{4 ^{n}} = \frac{4}{n + 1}$ . Raportul este supraunitar pentru $n \in {1, 2}$ , egal cu $1$ pentru $n = 3$ (deci $a_{3} = a_{4} = \frac{32}{3}$ ) și subunitar pentru $n \geq 4$ . Șirul urcă, staționează, apoi scade strict de la rangul $4$ ; pe ansamblu nu este monoton.

Întrebări conexe

Ce este termenul general al unui șir?

Expresia care dă valoarea de pe locul $n$ , pornind direct de la rang. Din ea se obține orice termen printr-o simplă înlocuire, deci ea descrie complet șirul, fără să fie nevoie de termenii dinainte.

Cum recunosc un șir strict descrescător?

Diferența dintre termenul următor și cel curent iese negativă la orice rang. La șiruri cu termeni pozitivi, echivalent, raportul a doi termeni consecutivi rămâne mereu sub $1$ .

Cum studiez monotonia șirului n supra n plus 1?

Diferența dintre doi termeni consecutivi dă $\frac{1}{( n + 1 ) ( n + 2 )}$ , expresie pozitivă la orice rang. Șirul este așadar strict crescător, deși toți termenii lui rămân sub $1$ , iar valorile se apropie tot mai mult de acest prag.

Ce înseamnă un șir constant?

Toți termenii lui au aceeași valoare, deci diferența dintre doi termeni consecutivi este zero. Un astfel de șir este în același timp crescător și descrescător, dar nu strict, în niciunul dintre sensuri.

Care este diferența dintre crescător și strict crescător?

La primul se admite și egalitatea între termeni consecutivi, la al doilea nu. Un șir care repetă din când în când o valoare rămâne crescător, dar pierde calificativul „strict”.

Ce șir obțin dacă schimb semnul termenilor unui șir crescător?

Unul descrescător, fiindcă înmulțirea cu un număr negativ răstoarnă toate inegalitățile. Procedeul se folosește ca să se reducă studiul unui șir descrescător la unul crescător, deja cunoscut.

Oamenii mai întreabă și: monotonia unui șir · cum arăt că un șir e crescător · diferența a doi termeni consecutivi · șir strict crescător demonstrație