De ce nu se poate afla limita unui șir recurent trecând direct la limită în relația de recurență, fără pașii anteriori?

pentru că ecuația obținută are întotdeauna două rădăcini

pentru că relația de recurență nu este liniară

nu este nicio problemă, se poate trece direct la limită

Cum aflu limita unui șir dat prin recurență?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Șiruri recurente: studiul convergenței

Întâi dovedești că limita există, arătând prin inducție că șirul este mărginit și apoi că este monoton; teorema lui Weierstrass închide acest pas. Abia după aceea notezi limita cu $ℓ$ , o pui în locul ambilor termeni din relația care leagă rangurile și rezolvi ecuația ieșită. Pentru $x_{n + 1} = 2 + x_{n}$ ecuația devine $ℓ^{2} - ℓ - 2 = 0$ , cu soluția acceptabilă $ℓ = 2$ .

La un șir dat prin $a_{1}$ și $a_{n + 1} = f (a_{n})$ nu ai formula termenului general, deci limita nu se poate calcula direct. Rețeta are cinci pași, în această ordine: calculezi primii termeni (orientare); demonstrezi mărginirea prin inducție, găsind un interval invariant; demonstrezi monotonia din semnul lui $a_{n + 1} - a_{n}$ (folosind încadrarea) sau prin inducție; invoci teorema lui Weierstrass și scrii că șirul e convergent, cu limita $ℓ \in R$ ; treci la limită în recurență și rezolvi ecuația $ℓ = f (ℓ)$ .

Rădăcinile ecuației se numesc puncte fixe; ele merită rezolvate la ciornă de la început, fiindcă marginea potrivită pentru pasul de inducție este aproape întotdeauna un punct fix. Alegerea dintre rădăcini se justifică cu o inegalitate demonstrată dinainte, nu „pentru că așa pare”.

⚠️ Ordinea nu se poate schimba. Trecerea la limită presupune că limita există și e finită: pentru $a_{1} = 1$ , $a_{n + 1} = 2 a_{n}$ , ecuația ar da $ℓ = 2 ℓ$ , deci $ℓ = 0$ , deși șirul este $1, 2, 4, 8, \dots \to + \infty$ .

Recurențele afine $a_{n + 1} = q a_{n} + b$ (cu $q \neq = 1$ ) au și formulă explicită: $ℓ^{*} = \frac{b}{1 - q}$ și $a_{n} = ℓ^{*} + (a_{1} - ℓ^{*}) q^{n - 1}$ ; ele converg la $ℓ^{*}$ exact când $∣ q ∣ < 1$ , indiferent de primul termen. Weierstrass este condiție suficientă, nu necesară: un șir care oscilează poate converge.

De reținut

Ordinea obligatorie: mărginire, monotonie, apoi trecerea la limită
Punctele fixe: soluțiile ecuației obținute înlocuind ambii termeni cu $ℓ$
Se rețin doar rădăcinile compatibile cu marginile șirului

Greșeala tipică

Se pune $ℓ$ în locul ambilor termeni din relație încă de la primul pas, fără să se fi dovedit că limita există. Ecuația punctelor fixe are soluții chiar și pentru șiruri care nu converg, deci pasul acesta nu poate fi primul.

Exerciții din această mini-lecție

Fie $a_{1} = 1$ și $a_{n + 1} = 12 + a_{n}$ , șir despre care se știe că este crescător și mărginit superior de $4$ . Limita lui este:
- a) $3$
- b) $4$
- c) $12$
- d) $- 3$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $4$

Teorema lui Weierstrass asigură existența limitei finite $ℓ$ . Trecem la limită: $ℓ = 12 + ℓ$ , deci $ℓ^{2} - ℓ - 12 = 0$ , cu rădăcinile $4$ și $- 3$ . Cum toți termenii sunt pozitivi, prin trecere la limită în inegalități avem $ℓ \geq 0$ , deci $ℓ = 4$ . Rădăcina negativă se elimină prin argument, nu prin intuiție.
De ce nu se poate afla limita unui șir recurent trecând direct la limită în relația de recurență, fără pașii anteriori?
- a) pentru că ecuația obținută are întotdeauna două rădăcini
- b) pentru că relația de recurență nu este liniară
- c) nu este nicio problemă, se poate trece direct la limită
- d) pentru că trecerea la limită presupune că limita există și este finită
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) pentru că trecerea la limită presupune că limita există și este finită

Pentru $a_{1} = 1$ , $a_{n + 1} = 2 a_{n}$ , ecuația $ℓ = 2 ℓ$ dă $ℓ = 0$ , deși șirul este $1, 2, 4, 8, \dots$ , cu limita $+ \infty$ . Ecuația limitei folosește convergența, nu o demonstrează; existența se obține separat, cu teorema lui Weierstrass. Uneori ecuația chiar avertizează ( $ℓ = ℓ + 1$ nu are soluție), dar nu întotdeauna.
Pentru recurența $a_{n + 1} = \frac{a _{n}}{3} + 4$ , nivelul de echilibru (punctul fix) este:
- a) $4$
- b) $\frac{4}{3}$
- c) $6$
- d) $12$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $6$

Punctul fix este soluția ecuației $ℓ = \frac{ℓ}{3} + 4$ , adică $\frac{2 ℓ}{3} = 4$ și $ℓ = 6$ . Formula generală pentru o recurență afină dă același lucru: $ℓ^{*} = \frac{b}{1 - q} = \frac{4}{1 - \frac{1}{3}} = 6$ . Cum $\frac{1}{3} < 1$ , șirul converge la $6$ oricare ar fi primul termen.

Întrebări conexe

Ce ecuație rezolv ca să găsesc limita posibilă?

Cea obținută înlocuind în relația de recurență ambii termeni cu aceeași literă. Soluțiile ei se numesc puncte fixe și sunt singurele valori la care șirul poate ajunge, dacă are limită.

Ce se dovedește întâi: mărginirea sau monotonia?

De obicei mărginirea, fiindcă demonstrația monotoniei se sprijină pe ea. La un șir cu radicali, compararea a doi termeni consecutivi cere să știi deja între ce valori stau termenii, altfel inegalitatea nu se poate încheia.

Cum studiez monotonia unui șir recurent cu radicali?

Compari $x_{n + 1}$ cu $x_{n}$ ridicând la pătrat, după ce te-ai asigurat că amândoi sunt pozitivi. Inegalitatea obținută se reduce de obicei la o condiție simplă, deja dovedită la pasul de mărginire.

Ce fac dacă ecuația limitei are două rădăcini?

Le compari cu marginile găsite și păstrezi doar valoarea compatibilă cu termenii șirului. O rădăcină negativă se elimină imediat la un șir cu termeni pozitivi, iar una situată în afara pragului dovedit se respinge la fel.

Ce limită are șirul definit prin radical din 2 plus termenul anterior?

Este $2$ . Șirul crește și rămâne sub $2$ , deci are limită, iar ecuația $ℓ = 2 + ℓ$ dă $ℓ^{2} - ℓ - 2 = 0$ , cu rădăcinile $2$ și $- 1$ ; a doua se respinge, fiindcă toți termenii sunt pozitivi.

Cum verific o limită găsită pentru un șir recurent?

Calculezi câțiva termeni și urmărești dacă se apropie de valoarea găsită. În plus, valoarea trebuie să respecte marginile dovedite la pasul de inducție; altfel undeva a fost o greșeală de raționament.

Oamenii mai întreabă și: convergența unui șir recurent · limita unui șir definit prin recurență · puncte fixe la șiruri recurente · cum arăt că un șir recurent are limită