Ce este rangul unui termen dintr-un șir?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Șiruri: termen și rang

Rangul arată al câtelea este termenul în listă, iar termenul arată ce valoare are. Scrierea $a_{7} = 22$ înseamnă că pe locul al șaptelea stă numărul $22$ . Din formula termenului general afli orice valoare dintr-un singur calcul: pentru $a_{n} = 3 n + 1$ ai $a_{7} = 3 \cdot 7 + 1 = 22$ . Întrebarea inversă, „ce rang are termenul $31$ ”, se rezolvă cu ecuația $3 n + 1 = 31$ , de unde $n = 10$ .

Un șir de numere este o listă în care ordinea contează. Fiecare număr din listă se numește termen, iar locul pe care îl ocupă se numește rang. Notăm termenii $a_{1}$ , $a_{2}$ , $a_{3}$ , …, iar $a_{n}$ este termenul de rang $n$ .

Cel mai comod mod de a da un șir este formula termenului general — o rețetă care scoate termenul direct din rang, fără să treci prin toți cei dinainte. De exemplu, pentru $a_{n} = 3 n + 1$ avem $a_{1} = 4$ , $a_{2} = 7$ , $a_{3} = 10$ .

Din formulă se pun două întrebări diferite. «Cât este termenul de rang $7$ ?» se rezolvă prin înlocuire: $a_{7} = 3 \cdot 7 + 1 = 22$ . «Ce rang are termenul egal cu $31$ ?» se rezolvă prin ecuație: $3 n + 1 = 31$ , deci $n = 10$ .

Atenție la numerotare: la noi șirurile pornesc de la $n = 1$ , deci $a_{1}$ se obține punând $n = 1$ , nu $n = 0$ . Verificarea rapidă a oricărei formule este exact asta — pune $n = 1$ și vezi dacă iese primul termen.

Un șir poate fi dat și prin recurență: primul termen plus regula de trecere de la un termen la următorul. De exemplu $a_{1} = 2$ și $a_{n + 1} = a_{n} + 5$ dau șirul $2, 7, 12, 17, \dots$ — aici trebuie să cobori din treaptă în treaptă, nu poți sări direct la $a_{100}$ .

De reținut

rangul spune „al câtelea”, termenul spune „cât”
$a_{n}$ se obține punând rangul în formulă
rangul găsit trebuie să fie număr natural nenul

Greșeala tipică

Se cere rangul termenului $12$ , iar pe foaie apare $a_{12}$ , adică exact invers. Rangul este numărul locului, deci se află rezolvând ecuația în care valoarea termenului este $12$ .

Exerciții din această mini-lecție

Un șir are formula termenului general $a_{n} = 3 n + 1$ . Cât este al patrulea termen?
- a) $10$
- b) $12$
- c) $13$
- d) $16$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $13$

Punem $n = 4$ în formulă: $a_{4} = 3 \cdot 4 + 1 = 12 + 1 = 13$ . Capcana este $12$ — acolo s-a uitat de $+ 1$ . Iar $10$ este $a_{3}$ , adică un rang mai jos.
În șirul cu $a_{n} = 2 n - 5$ , ce rang are termenul egal cu $17$ ?
- a) $9$
- b) $11$
- c) $12$
- d) $22$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $11$

Aici nu înlocuim, ci rezolvăm ecuația: $2 n - 5 = 17$ , deci $2 n = 22$ și $n = 11$ . Cine se oprește la $2 n = 22$ răspunde $22$ — dar $22$ este dublul rangului, nu rangul.
Un șir este dat prin $a_{1} = 4$ și $a_{n + 1} = a_{n} + 3$ . Cât este $a_{5}$ ?
- a) $13$
- b) $15$
- c) $16$
- d) $19$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $16$

Coborâm din treaptă în treaptă: $a_{1} = 4$ , $a_{2} = 7$ , $a_{3} = 10$ , $a_{4} = 13$ , $a_{5} = 16$ . De la $a_{1}$ la $a_{5}$ sunt $4$ pași, nu $5$ — de-asta $19$ (care ar fi $a_{6}$ ) este greșit.

Întrebări conexe

De ce numerotarea șirurilor începe de la 1, nu de la 0?

Este doar o convenție de școală, ca primul termen să poarte rangul $1$ . Ea face limbajul potrivit cu vorbirea obișnuită: „al treilea termen” înseamnă $a_{3}$ . În alte contexte numerotarea poate porni de la $0$ , dar atunci formulele se schimbă în consecință.

Cum verific rapid dacă o formulă de șir este corectă?

Pui rangul $1$ în formulă și compari cu primul termen dat. Dacă nu se potrivesc, formula are un decalaj. Verificarea merită repetată și pentru rangul $2$ , fiindcă o formulă greșită poate nimeri din întâmplare o singură valoare.

Ce se întâmplă dacă rangul găsit nu este număr întreg?

Înseamnă că valoarea cerută nu apare în șir. Din $3 n + 1 = 50$ iese $n = \frac{49}{3}$ , care nu este rang, deci $50$ nu este termen. Răspunsul corect nu este un număr, ci propoziția că numărul dat nu face parte din șir.

Ce înseamnă că un șir este dat prin recurență?

Că se cunosc primul termen și regula prin care se ajunge la termenul următor, nu o formulă directă. Din $a_{1} = 2$ și $a_{n + 1} = a_{n} + 5$ ies $2$ , $7$ , $12$ , $17$ . Dezavantajul este că, pentru rangul $100$ , trebuie coborâte toate treptele dinainte.

Cum calculez termenul următor dintr-o formulă dată?

Înlocuiești peste tot rangul cu expresia nouă, obligatoriu între paranteze. Din $a_{n} = n^{2} + 1$ rezultă $a_{n + 1} = (n + 1)^{2} + 1$ , nu $n^{2} + 2$ . Uitarea parantezelor este cauza cea mai frecventă a erorilor de calcul la acest tip de exercițiu.

Ce diferență este între un șir și o mulțime de numere?

La șir contează ordinea și se pot repeta valorile, la mulțime nu. Șirul $1$ , $1$ , $2$ are trei termeni, dar mulțimea corespunzătoare are doar două elemente. De aceea un șir se scrie cu paranteze rotunde, iar o mulțime cu acolade.

Oamenii mai întreabă și: termen și rang la șiruri · formula termenului general al unui șir · cum aflu al câtelea termen este un număr · ce înseamnă a de n la un șir · șiruri de numere la liceu