Șiruri de numere: termen, rang, formula termenului general

Intri într-o policlinică și iei un bon de ordine: 47. Pe ecran scrie 41. Știi imediat două lucruri — că mai sunt șase persoane înaintea ta și că numărul de pe bon nu spune nimic despre tine, ci doar despre locul tău în ordine. Bonul următor va fi 48, cel dinaintea ta a fost 46, iar dacă vii mâine numerotarea o ia de la capăt. Fără să-ți dai seama, tocmai ai folosit ideea centrală a acestei lecții: o listă de valori în care fiecare valoare are un loc bine precizat, iar locul contează la fel de mult ca valoarea.

Matematica numește o astfel de listă șir. Șirurile sunt peste tot: temperaturile măsurate zilnic la ora opt dimineața, soldul contului la sfârșitul fiecărei luni, numărul de pagini citite în fiecare zi, prețul unui abonament în fiecare an. De fiecare dată avem aceeași structură: un prim număr, un al doilea, un al treilea și așa mai departe — o infinitate potențială de valori, fiecare cu adresa ei. În clasa a IX-a începem cu vocabularul (termen, rang, notație) și cu instrumentul care ne scutește de a scrie lista până la capăt: formula termenului general. Din ea vom putea afla, dintr-un singur calcul, al o sutălea sau al o miilea termen — fără să-i scriem pe cei dinaintea lui.

Ce vei învăța

• Vei ști ce este un șir de numere reale și de ce el este, de fapt, o funcție definită pe mulțimea numerelor naturale.
• Vei ști să folosești corect vocabularul: termen, rang, notațiile $a_n$ și $(a_n{)}_{n\ge 1}$ — și vei ști să nu confunzi rangul cu valoarea.
• Vei ști să calculezi orice termen al unui șir dat prin formula termenului general, oricât de departe ar fi el.
• Vei ști să faci drumul invers: să afli rangul unui termen dat și să decizi dacă un număr aparține sau nu șirului.
• Vei ști să găsești formula termenului general pentru șiruri simple, pornind de la primii termeni.
• Vei ști să reprezinți grafic un șir și să recunoști dacă este crescător sau descrescător.

Hai să descoperim împreună

1. De la o listă de numere la un șir

Să pornim de la ceva concret. Un elev notează, timp de o săptămână, câți pași a făcut zilnic (în mii): $6$, $8$, $5$, $9$, $7$, $12$, $10$. Avem șapte numere, dar nu doar atât: avem șapte numere așezate în ordine. Numărul $9$ nu e „un număr din listă", ci este al patrulea, cel de joi. Dacă am amesteca lista, am pierde informația esențială.

Aceasta este ideea de șir: o listă de numere în care fiecăruia i s-a atribuit o poziție, iar pozițiile sunt numerotate cu $1,2,3,\dots$. În matematică lucrăm de obicei cu liste care nu se termină niciodată — de exemplu, numerele pare $2,4,6,8,\dots$ sau inversele numerelor naturale $1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\dots$ — pentru că regula după care se construiesc poate fi aplicată la nesfârșit.

Definiție. Un șir de numere reale este o funcție $f:{\mathbb{N}}^{\ast }\to \mathbb{R}$, unde ${\mathbb{N}}^{\ast }=\{1,2,3,\dots \}$.

Definiția pare bruscă, dar e chiar sensul intuitiv scris riguros: fiecărui loc din listă (un număr natural nenul) îi corespunde exact o valoare (un număr real). Diferența față de funcțiile obișnuite este doar de notație și de accent. La funcții scriem $f(n)$; la șiruri scriem $f(n)$ ca indice, adică $a_n$, și nu ne mai interesează „graficul continuu", ci lista de valori.

2. Termen, rang și notațiile pe care le vei folosi

Vocabularul se învață o dată și se folosește patru ani.

• Termenul de rang $n$ este valoarea aflată pe poziția $n$ și se notează $a_n$ (se citește „a indice n").
• Rangul este numărul poziției: $1$ pentru primul termen, $2$ pentru al doilea și așa mai departe.
• Șirul întreg se notează $(a_n{)}_{n\ge 1}$ sau, mai scurt, $(a_n)$. Parantezele sunt importante: $a_n$ este un număr, iar $(a_n)$ este întreg șirul.

Pentru șirul pașilor de mai sus avem $a_1=6$, $a_2=8$, $a_3=5$, $a_4=9$, $a_5=7$, $a_6=12$, $a_7=10$.

Reține distincția care produce cele mai multe greșeli la început: rangul spune „al câtelea", termenul spune „cât". La bonul de ordine, rangul e locul la coadă, termenul e valoarea măsurată. În șirul de mai sus, $a_4=9$ înseamnă „al patrulea termen este $9$" — nu „patru este nouă". Când o problemă cere „termenul de rang $10$", ți se cere $a_{10}$; când cere „rangul termenului $10$", ți se cere acel $n$ pentru care $a_n=10$. Sunt două întrebări diferite, iar confuzia dintre ele costă puncte la orice teză.

Uneori e mai comod să numerotăm de la zero, mai ales când primul element înseamnă „la început, înainte de orice pas". Atunci scriem $(a_n{)}_{n\ge 0}$ și primul termen este $a_0$. Nu e nicio contradicție: alegem numerotarea care face problema mai simplă, dar o anunțăm explicit și apoi rămânem consecvenți.

3. Formula termenului general

Dacă un șir are o regulă de calcul, o putem scrie o singură dată, sub forma unei expresii în care apare rangul $n$. Aceasta se numește formula termenului general.

Să luăm $a_n=3n-1$, pentru $n\ge 1$. Înlocuim pe rând:

$$a_1=3\cdot 1-1=2,a_2=3\cdot 2-1=5,a_3=8,a_4=11,a_5=14.$$

Șirul este deci $2,5,8,11,14,\dots$ Avantajul este imediat: dacă vreau al cincizecilea termen, nu scriu cincizeci de numere, ci calculez $a_{50}=3\cdot 50-1=149$.

Iată alte formule și primii lor termeni, ca să prinzi ritmul:

Observă al treilea exemplu: șirul $(-1{)}^n$ ia doar două valori, dar are o infinitate de termeni — termenii se pot repeta, rangurile nu. Iar al doilea exemplu arată că termenii nu trebuie să fie numere întregi; „șir de numere reale" înseamnă exact ce spune.

Atenție la un detaliu de scriere. În formulă, $n$ este o literă care ține locul rangului; ea se înlocuiește peste tot unde apare. Dacă $a_n=n^2+1$, atunci $a_5=5^2+1=26$, iar $a_{n+1}=(n+1{)}^2+1$ — se înlocuiește $n$ cu $n+1$ în tot ce urmează, cu paranteze. Greșeala clasică este să scrii $a_{n+1}=n^2+1+1$; parantezele nu sunt un moft.

4. Drumul invers: aflarea rangului

Până acum am mers dinspre rang spre valoare. Multe probleme cer drumul invers: se dă o valoare și se întreabă dacă ea apare în șir și pe ce poziție. Metoda este mereu aceeași: scriem ecuația $a_n=$ valoare și rezolvăm în $n$, apoi verificăm dacă soluția este un număr natural potrivit.

Exemplu. Fie $a_n=3n-1$. Este $62$ termen al șirului?

$$3n-1=62⟺3n=63⟺n=21.$$

Cum $21$ este număr natural nenul, răspunsul este da: $62$ este termenul de rang $21$.

Exemplu. Același șir. Este $100$ termen al șirului?

$$3n-1=100⟺3n=101⟺n=\frac{101}{3}.$$

Cum $\frac{101}{3}$ nu este număr natural, răspunsul este nu: numărul $100$ nu apare în șirul $2,5,8,11,\dots$

Reține pasul final, cel pe care mulți îl uită: rangul trebuie să fie număr natural nenul. O ecuație poate avea soluție reală fără ca acea soluție să fie un rang admisibil. Nu există „termenul de rang $\frac{101}{3}$" și nici „termenul de rang $-4$".

5. De la primii termeni la formulă

Uneori problema merge invers față de secțiunea 3: ni se dau primii termeni și ni se cere o formulă. Aici e util să te uiți la ce se întâmplă de la un termen la altul și să compari cu șiruri pe care le știi deja.

Pentru $5,10,15,20,\dots$ recunoști multiplii lui $5$: al $n$-lea multiplu este $5n$, deci $a_n=5n$.

Pentru $1,4,9,16,25,\dots$ recunoști pătratele perfecte: $a_n=n^2$.

Pentru $3,5,7,9,\dots$ observi că fiecare termen e cu $2$ mai mare decât precedentul, deci formula conține $2n$; cum $a_1=3$ și $2\cdot 1=2$, mai trebuie adunat $1$: $a_n=2n+1$. Verifici pe încă doi termeni: $a_2=5$ ✓, $a_3=7$ ✓.

O precizare de onestitate matematică: primii termeni nu determină șirul. Lista $2,4,6,\dots$ poate continua cu $8$ (numerele pare), dar și cu alte reguli inventate anume. De aceea, în enunțuri corecte, ori se dă formula, ori se spune explicit regula de construcție. Când o problemă cere „formula termenului general al șirului $3,5,7,9,\dots$", ea cere cea mai simplă regulă compatibilă cu termenii dați — și așa o vom înțelege și noi.

Există și șiruri perfect bine definite pentru care nu avem o formulă simplă: șirul numerelor prime $2,3,5,7,11,13,\dots$ este definit fără ambiguitate (al $n$-lea număr prim), dar nu îl poți scrie printr-o expresie elementară în $n$. Formula termenului general este un lux util, nu o obligație a oricărui șir.

6. Cum arată graficul unui șir

Fiindcă un șir este o funcție definită pe ${\mathbb{N}}^{\ast }$, îl putem reprezenta grafic: pe axa orizontală punem rangurile $1,2,3,\dots$, pe axa verticală valorile, și marcăm punctele $(n,a_n)$.

Rezultatul nu este o linie continuă, ci un nor de puncte izolate — pentru că între rangul $2$ și rangul $3$ nu există niciun rang. Este o diferență importantă față de graficele de funcții cu care vei lucra mai târziu, la funcția afină $f(x)=ax+b$: acolo desenăm o dreaptă neîntreruptă, aici desenăm doar punctele de deasupra numerelor naturale.

Pentru $a_n=2n-3$ punctele sunt $(1,-1)$, $(2,1)$, $(3,3)$, $(4,5)$, $(5,7)$. Dacă le privești, vezi că sunt coliniare — stau pe o dreaptă. Nu e o coincidență: șirurile a căror formulă este de gradul întâi în $n$ dau întotdeauna puncte pe o dreaptă, iar acest fapt vizual va deveni, peste câteva lecții, unul dintre cele mai folositoare instrumente ale capitolului.

7. Șiruri crescătoare și șiruri descrescătoare

O întrebare naturală despre orice șir este: valorile cresc sau scad pe măsură ce înaintăm?

Definiție. Șirul $(a_n)$ este crescător dacă $a_{n+1}\ge a_n$ pentru orice $n\ge 1$, și descrescător dacă $a_{n+1}\le a_n$ pentru orice $n\ge 1$. Dacă inegalitățile sunt stricte, spunem strict crescător, respectiv strict descrescător.

Instrumentul de lucru este diferența $a_{n+1}-a_n$: dacă ea este pozitivă pentru orice $n$, șirul urcă; dacă e negativă, coboară.

Exemplu. Pentru $a_n=3n-1$: $a_{n+1}-a_n=[3(n+1)-1]-(3n-1)=3n+3-1-3n+1=3>0$, deci șirul este strict crescător.

Exemplu. Pentru $b_n=7-2n$: $b_{n+1}-b_n=[7-2(n+1)]-(7-2n)=-2<0$, deci șirul este strict descrescător. Termenii lui sunt $5,3,1,-1,-3,\dots$ — la un moment dat devin negativi. Primul termen negativ se află rezolvând $7-2n<0$, adică $n>3,5$, deci $n=4$ și $b_4=-1$.

Exemplu. Pentru $c_n=5$ (toți termenii egali cu $5$) avem $c_{n+1}-c_n=0$: șirul este și crescător, și descrescător, în sensul larg al definiției. Îl numim șir constant.

Nu toate șirurile intră într-una din categorii. Pentru $d_n=(-1{)}^n$ termenii alternează $-1,1,-1,1,\dots$, deci șirul nu este nici crescător, nici descrescător — se numește oscilant.

Ai observat, sper, ceva la primele două exemple: diferența $a_{n+1}-a_n$ a ieșit același număr, indiferent de $n$. Șirurile care se comportă astfel — care fac mereu același „pas" înainte — sunt atât de importante încât poartă un nume propriu și li se dedică tot capitolul care urmează. Le vei întâlni imediat, în Progresia aritmetică și rația ei, iar apoi vei învăța, în Termenul general al unei progresii aritmetice, cum se scrie formula lor generală dintr-o singură mișcare.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Primii termeni și un termen îndepărtat

Se consideră șirul $a_n=4n+3$, $n\ge 1$. Calculați primii cinci termeni și termenul $a_{20}$.

Rezolvare. Înlocuim rangul în formulă:

$$a_1=7,a_2=11,a_3=15,a_4=19,a_5=23.$$

Pentru termenul de rang $20$ nu avem nevoie de ceilalți nouăsprezece: $a_{20}=4\cdot 20+3=83$.

Aceasta este toată puterea formulei termenului general — sare peste orice distanță dintr-un singur calcul.

Exemplul 2 — Doi termeni egali de rang diferit

Se consideră șirul $b_n=n^2-3n$. Calculați primii cinci termeni. Ce observați?

Rezolvare. Calculăm:

$$b_1=1-3=-2,b_2=4-6=-2,b_3=9-9=0,b_4=16-12=4,b_5=25-15=10.$$

Șirul este $-2,-2,0,4,10,\dots$ Observăm că $b_1=b_2=-2$: doi termeni de ranguri diferite pot avea aceeași valoare. Rangurile sunt distincte întotdeauna, valorile — nu neapărat. Observăm și că șirul nu este descrescător, deși începe „plat": de la rangul $2$ încolo, valorile cresc.

Exemplul 3 — Rangul unui termen dat

Fie $a_n=5n-3$. a) Arătați că $97$ este termen al șirului și precizați rangul lui. b) Este $100$ termen al șirului?

Rezolvare. a) Rezolvăm $5n-3=97⟺5n=100⟺n=20$. Cum $20\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, numărul $97$ este termenul de rang $20$: $a_{20}=97$.

b) Rezolvăm $5n-3=100⟺5n=103⟺n=\frac{103}{5}=20,6$, care nu este număr natural. Deci $100$ nu este termen al șirului. Se vede și direct: termenii $5n-3$ dau restul $2$ la împărțirea cu $5$, iar $100$ dă restul $0$.

Exemplul 4 — Un șir cu termeni fracționari

Fie $c_n=\frac{2n-1}{n+2}$. Calculați $c_1$, $c_2$, $c_3$, $c_4$ și stabiliți dacă șirul este crescător.

Rezolvare.

$$c_1=\frac{1}{3},c_2=\frac{3}{4},c_3=\frac{5}{5}=1,c_4=\frac{7}{6}.$$

Valorile $\frac{1}{3}<\frac{3}{4}<1<\frac{7}{6}$ cresc. Pentru a fi riguroși, calculăm diferența în general:

$$c_{n+1}-c_n=\frac{2n+1}{n+3}-\frac{2n-1}{n+2}=\frac{(2n+1)(n+2)-(2n-1)(n+3)}{(n+3)(n+2)}.$$

La numărător: $(2n^2+5n+2)-(2n^2+5n-3)=5$. Deci $c_{n+1}-c_n=\frac{5}{(n+2)(n+3)}>0$ pentru orice $n\ge 1$: șirul este strict crescător. Observă că, spre deosebire de Exemplul 1, aici „pasul" nu este constant — el se micșorează pe măsură ce $n$ crește.

Exemplul 5 — Când devine negativ un șir

Fie $a_n=40-6n$. a) Este șirul crescător sau descrescător? b) Care este primul termen negativ și ce rang are?

Rezolvare. a) $a_{n+1}-a_n=[40-6(n+1)]-(40-6n)=-6<0$, deci șirul este strict descrescător.

b) Cerem $40-6n<0⟺6n>40⟺n>\frac{20}{3}\approx 6,67$. Cel mai mic număr natural care satisface condiția este $n=7$, iar $a_7=40-42=-2$. Verificăm și vecinul din stânga: $a_6=40-36=4>0$. Deci primul termen negativ este $a_7=-2$.

Tiparul acestui exercițiu — inecuație în $n$, apoi cel mai mic natural care o verifică, apoi verificarea vecinului — apare des la teze și îl vei reîntâlni în tot capitolul.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră șirul $(a_n{)}_{n\ge 1}$ definit prin $a_n=3n-2$.

a) Calculați $a_1$ și $a_2$. b) Arătați că diferența $a_{n+1}-a_n$ are aceeași valoare pentru orice $n\ge 1$ și precizați dacă șirul este crescător sau descrescător. c) Determinați rangul termenului egal cu $100$.

Rezolvare. a) $a_1=3\cdot 1-2=1$ și $a_2=3\cdot 2-2=4$.

b) Calculăm, cu atenție la paranteze:

$$a_{n+1}-a_n=[3(n+1)-2]-(3n-2)=3n+3-2-3n+2=3.$$

Diferența este $3$, aceeași pentru orice $n$. Fiind pozitivă, șirul este strict crescător: de la un termen la următorul se adaugă mereu $3$.

c) Rezolvăm $3n-2=100⟺3n=102⟺n=34$. Cum $34$ este natural nenul, termenul $100$ are rangul $34$.

Punctul b) merită reținut: un șir la care „pasul" este mereu același urcă uniform, iar punctele lui din grafic stau pe o dreaptă. Este exact tipul de șir de care se ocupă lecțiile următoare.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, scriind de fiecare dată ce se cere: un termen (deci un rang cunoscut) sau un rang (deci o valoare cunoscută). La aflarea rangului, nu uita verificarea finală: rangul trebuie să fie număr natural nenul.

1. Scrie primii cinci termeni ai șirului $a_n=2n+7$.

2. Pentru $b_n=n^2+1$, calculează $b_1$, $b_3$ și $b_6$.

3. Pentru $c_n=\frac{n}{n+3}$, calculează $c_1$, $c_2$ și $c_5$.

4. Care este rangul termenului egal cu $43$ în șirul $a_n=4n-5$?

5. Este $50$ termen al șirului $a_n=3n+1$? Justifică.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Într-un șir, doi termeni de ranguri diferite pot avea aceeași valoare."

7. Scrie o formulă a termenului general pentru șirul $5,10,15,20,\dots$

8. Scrie o formulă a termenului general pentru șirul $1,4,9,16,25,\dots$

9. Scrie o formulă a termenului general pentru șirul $3,5,7,9,\dots$

10. (Problemă aplicată.) Un rezervor conține $500$ de litri de apă și se golește uniform, cu $12$ litri pe oră. Notăm cu $a_n$ cantitatea de apă rămasă după $n$ ore. Scrie formula lui $a_n$, calculează $a_{15}$ și află după câte ore în rezervor rămân mai puțin de $200$ de litri.

11. Șirul $a_n=5-3n$ este crescător sau descrescător? Care este primul termen negativ și ce rang are?

12. Scrie primii șase termeni ai șirului $a_n=(-1{)}^n\cdot n$. Este șirul crescător, descrescător sau niciuna dintre variante?

13. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice șir poate fi scris printr-o formulă a termenului general dată de o expresie elementară în $n$."

14. Pentru $a_n=\frac{2n+1}{n}$, calculează $a_1$, $a_2$ și $a_4$. Arată apoi că toți termenii șirului sunt mai mari decât $2$.

15. (Problemă aplicată.) Într-o sală de spectacole, primul rând are $14$ locuri, iar fiecare rând următor are cu $2$ locuri mai multe decât precedentul. Notăm cu $a_n$ numărul de locuri de pe rândul $n$. Scrie formula lui $a_n$ și calculează câte locuri are rândul al zecelea.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Se consideră șirul $a_n=6n+1$, $n\ge 1$. a) Calculați $a_1$ și $a_3$. b) Arătați că $a_{n+1}-a_n$ are aceeași valoare pentru orice $n\ge 1$. c) Determinați rangul termenului egal cu $121$.

17. Reprezintă grafic primii cinci termeni ai șirului $a_n=2n-3$, marcând punctele $(n,a_n)$. Ce observi despre poziția lor?

18. (Provocare.) Se consideră șirul numerelor triunghiulare $a_n=\frac{n^2+n}{2}$. a) Calculează primii cinci termeni. b) Arată că $a_n-a_{n-1}=n$ pentru orice $n\ge 2$. c) Determină rangul termenului egal cu $210$.

Răspunsuri și explicații

1. $a_1=9$, $a_2=11$, $a_3=13$, $a_4=15$, $a_5=17$. Se înlocuiește pe rând $n=1,2,3,4,5$ în $2n+7$.

2. $b_1=1^2+1=2$; $b_3=9+1=10$; $b_6=36+1=37$. Atenție: se ridică la pătrat rangul, nu întreaga expresie.

3. $c_1=\frac{1}{4}$, $c_2=\frac{2}{5}$, $c_5=\frac{5}{8}$. Toate sunt subunitare, pentru că numitorul e mereu cu $3$ mai mare decât numărătorul.

4. Rezolvăm $4n-5=43⟺4n=48⟺n=12$. Rangul este $12$ (număr natural nenul, deci valid).

5. Nu. Din $3n+1=50$ obținem $3n=49$, adică $n=\frac{49}{3}$, care nu este număr natural. Altfel spus, termenii șirului dau restul $1$ la împărțirea cu $3$, iar $50$ dă restul $2$.

6. Adevărat. De exemplu, pentru $a_n=n^2-5n$ avem $a_1=1-5=-4$ și $a_4=16-20=-4$: termeni de rang $1$ și $4$, valoare comună $-4$. Rangurile sunt întotdeauna distincte, valorile nu.

7. $a_n=5n$. Verificare: $a_1=5$, $a_2=10$, $a_3=15$ ✓ (șirul multiplilor lui $5$).

8. $a_n=n^2$. Verificare: $1,4,9,16,25$ ✓ (pătratele perfecte).

9. $a_n=2n+1$. Termenii cresc din $2$ în $2$, deci formula conține $2n$; cum $a_1=3=2\cdot 1+1$, constanta este $1$. Verificare: $a_2=5$, $a_3=7$ ✓.

10. $a_n=500-12n$ (după fiecare oră scad $12$ litri). Atunci $a_{15}=500-180=320$ de litri. Pentru condiția din final: $500-12n<200⟺12n>300⟺n>25$, deci $n=26$; într-adevăr, $a_{26}=500-312=188<200$, în timp ce $a_{25}=200$ nu îndeplinește cerința „mai puțin de $200$".

11. $a_{n+1}-a_n=[5-3(n+1)]-(5-3n)=-3<0$, deci șirul este strict descrescător. Primul termen negativ: $5-3n<0⟺n>\frac{5}{3}$, deci $n=2$ și $a_2=5-6=-1$ (iar $a_1=2>0$).

12. $-1,2,-3,4,-5,6$. Șirul nu este nici crescător, nici descrescător: semnele alternează, deci și sensul variației. Este un șir oscilant.

13. Fals. Un șir este definit de valorile lui, nu de o formulă. Șirul numerelor prime $2,3,5,7,11,\dots$ este perfect determinat (al $n$-lea număr prim), dar nu poate fi scris printr-o expresie elementară în $n$. Formula termenului general este un instrument comod, nu o proprietate obligatorie.

14. $a_1=\frac{3}{1}=3$, $a_2=\frac{5}{2}$, $a_4=\frac{9}{4}$. Pentru partea a doua: $a_n=\frac{2n+1}{n}=2+\frac{1}{n}$, iar $\frac{1}{n}>0$ pentru orice $n\ge 1$, deci $a_n>2$. (Se vede totodată că șirul e descrescător, pentru că $\frac{1}{n}$ scade.)

15. Rândul $1$ are $14$ locuri, iar de la un rând la altul se adaugă $2$: $a_n=14+2(n-1)=2n+12$. Verificare: $a_1=14$ ✓, $a_2=16$ ✓. Rândul al zecelea are $a_{10}=20+12=32$ de locuri.

16. a) $a_1=7$, $a_3=19$. b) $a_{n+1}-a_n=[6(n+1)+1]-(6n+1)=6n+6+1-6n-1=6$, aceeași valoare pentru orice $n$ (deci șirul este strict crescător). c) $6n+1=121⟺6n=120⟺n=20$: rangul este $20$.

17. Punctele sunt $(1,-1)$, $(2,1)$, $(3,3)$, $(4,5)$, $(5,7)$. Ele sunt coliniare: de fiecare dată când rangul crește cu $1$, valoarea crește cu $2$, deci punctele urcă la fel de abrupt peste tot. Graficul unui șir este format din puncte izolate, nu dintr-o linie continuă.

18. a) $a_1=1$, $a_2=3$, $a_3=6$, $a_4=10$, $a_5=15$. b) Pentru $n\ge 2$:

$$a_n-a_{n-1}=\frac{n^2+n}{2}-\frac{(n-1{)}^2+(n-1)}{2}=\frac{n^2+n-n^2+2n-1-n+1}{2}=\frac{2n}{2}=n.$$

Deci, la trecerea de la rangul $n-1$ la rangul $n$, se adaugă exact $n$ — de aceea numerele triunghiulare sunt $1$, $1+2$, $1+2+3$ și așa mai departe. c) $\frac{n^2+n}{2}=210⟺n^2+n=420$; cum $20^2+20=420$, rangul este $n=20$ (cealaltă rădăcină, $-21$, nu este rang admisibil).

De reținut

• Un șir de numere reale este o funcție $f:{\mathbb{N}}^{\ast }\to \mathbb{R}$; scriem $a_n$ în loc de $f(n)$ și notăm șirul cu $(a_n{)}_{n\ge 1}$.
• Rangul spune „al câtelea", termenul spune „cât": $a_7=20$ înseamnă că termenul de rang $7$ are valoarea $20$. Cele două întrebări („termenul de rang $7$" și „rangul termenului $7$") sunt diferite.
• Formula termenului general dă orice termen dintr-un singur calcul: din $a_n=4n+3$ obținem imediat $a_{20}=83$, fără să scriem termenii dinainte.
• Pentru aflarea rangului rezolvăm ecuația $a_n=$ valoare și verificăm obligatoriu că soluția este număr natural nenul; altfel valoarea nu este termen al șirului.
• Șirul este crescător dacă $a_{n+1}-a_n\ge 0$ pentru orice $n$ și descrescător dacă $a_{n+1}-a_n\le 0$; graficul lui este un nor de puncte izolate $(n,a_n)$, nu o linie continuă.

Greșeli frecvente

• Confuzia rang–termen. „Rangul termenului $12$" nu înseamnă $a_{12}$, ci acel $n$ pentru care $a_n=12$. Citește cerința de două ori și scrie explicit ce se dă și ce se cere.
• Înlocuirea fără paranteze. Din $a_n=n^2+1$ rezultă $a_{n+1}=(n+1{)}^2+1$, nu $n^2+1+1$. Se înlocuiește $n$ cu $(n+1)$ peste tot, cu paranteze.
• Rang neverificat. Din $3n+1=50$ iese $n=\frac{49}{3}$ și mulți răspund oricum „da, este termen". Rangul trebuie să fie număr natural nenul — altfel răspunsul corect este „nu aparține șirului".
• Numerotarea neanunțată. Dacă folosești $a_0$ pentru starea inițială, spune-o explicit și rămâi consecvent; altfel, la final, vei calcula $a_{10}$ crezând că e „după $10$ pași", când de fapt este după $9$.
• Graficul desenat ca linie continuă. Un șir are valori doar pentru ranguri naturale; se marchează puncte, eventual unite cu linie punctată pentru claritate, dar nu se trasează o curbă plină.

Aplică acasă

1. Șirul săptămânii tale. Notează timp de șapte zile o mărime care te privește (minute de sport, pagini citite, pași făcuți). Scrie șirul obținut cu notația $a_1,a_2,\dots ,a_7$, spune care e termenul de rang $5$ și care e rangul celui mai mare termen. Are șirul tău o formulă? Aproape sigur nu — și asta e perfect normal.

2. Bonul de ordine. Data viitoare când iei un bon de ordine la un ghișeu, notează numărul tău și numărul afișat. Scrie ce rang are bonul tău dacă numerotarea zilei începe de la $1$, câți oameni sunt înaintea ta și, dacă fiecare persoană durează în medie $4$ minute, după câte minute îți vine rândul.

3. Scara din bloc. Măsoară înălțimea unei trepte (în cm) și numără treptele până la etajul tău. Scrie formula șirului $h_n$ = înălțimea la care ai urcat după $n$ trepte, calculează $h_{20}$ și află de câte trepte ai nevoie ca să depășești $3$ metri.

Pentru părinți și profesori

Lecția deschide capitolul de progresii și fixează vocabularul pe care se sprijină tot restul: șir, termen, rang, formula termenului general. Elevii vin din gimnaziu obișnuiți să „continue un șir de numere" intuitiv; noutatea de liceu este notația $a_n$ și ideea că un șir este o funcție definită pe mulțimea numerelor naturale — de aici și legătura cu studiul funcțiilor, care urmează în semestrul al doilea.

Ce verifică lecția, concret: (1) calculul corect al unui termen prin înlocuirea rangului, inclusiv cu paranteze la $a_{n+1}$; (2) rezolvarea ecuației $a_n=$ valoare pentru aflarea rangului, cu verificarea că rezultatul este natural; (3) distincția rang–termen; (4) stabilirea monotoniei prin semnul diferenței $a_{n+1}-a_n$. Întrebări bune de control: „Ce înseamnă $a_5=12$?" (răspunsul corect conține ambele informații: rangul $5$, valoarea $12$); „Cum afli dacă $77$ apare în șir?"; „De ce graficul unui șir nu e o linie continuă?".

Semne că elevul a înțeles: nu mai scrie termenii pe rând ca să ajungă la $a_{30}$, ci folosește formula; verifică singur, la finalul unui exercițiu de rang, dacă numărul obținut este natural; poate explica de ce $a_1=a_2$ nu e o eroare. La Bacalaureat, această lecție nu apare de sine stătător, dar apare în fiecare subiect cu progresii: notația și calculul termenului sunt primul pas al oricărei astfel de probleme, iar greșelile de aici se propagă în tot restul rezolvării.

Întrebări frecvente

Ce este un șir de numere, pe înțelesul tuturor? Este o listă de numere în care fiecare are un loc bine precizat: primul, al doilea, al treilea și așa mai departe. Riguros, un șir de numere reale este o funcție definită pe mulțimea numerelor naturale nenule, care fiecărui rang $n$ îi asociază un număr real $a_n$.

Care este diferența dintre termen și rang? Rangul este poziția (al câtelea), termenul este valoarea (cât). Dacă $a_4=9$, atunci rangul este $4$, iar termenul de rang $4$ este $9$. Când o problemă cere „termenul de rang $10$" vrei $a_{10}$; când cere „rangul termenului $10$" cauți $n$ cu $a_n=10$.

Ce înseamnă formula termenului general al unui șir? Este expresia care, prin înlocuirea rangului $n$, îți dă direct valoarea termenului. De exemplu, pentru $a_n=4n+3$, termenul de rang $20$ este $a_{20}=4\cdot 20+3=83$ — nu mai e nevoie să scrii cei nouăsprezece termeni dinaintea lui.

Cum aflu al câtelea termen al unui șir este un număr dat? Scrii ecuația $a_n=$ numărul dat și o rezolvi în necunoscuta $n$. Dacă soluția este număr natural nenul, acela este rangul; dacă nu (de exemplu iese o fracție sau un număr negativ), numărul respectiv nu este termen al șirului.

Poate un șir să aibă doi termeni egali? Da. Valorile se pot repeta oricât de des — șirul $(-1{)}^n$ ia doar valorile $-1$ și $1$, iar șirul $n^2-3n$ are $a_1=a_2=-2$. Ce nu se poate repeta este rangul: fiecare poziție are exact o valoare.

Când este un șir crescător și când este descrescător? Este crescător dacă $a_{n+1}\ge a_n$ pentru orice rang $n$ și descrescător dacă $a_{n+1}\le a_n$. În practică se calculează diferența $a_{n+1}-a_n$: dacă iese pozitivă pentru orice $n$, șirul urcă; dacă iese negativă, coboară; dacă își schimbă semnul, șirul nu este monoton.

De ce graficul unui șir arată ca un nor de puncte? Pentru că șirul are valori doar pentru ranguri naturale: $1,2,3,\dots$ Între rangul $2$ și rangul $3$ nu există nimic de reprezentat, deci nu putem uni punctele printr-o linie continuă, așa cum facem la graficul unei funcții definite pe un interval.

Orice șir are o formulă? Nu. Un șir este determinat de valorile sale, nu de o formulă. Șirul numerelor prime este perfect definit, dar nu are o expresie elementară în $n$. Formula termenului general există doar pentru șirurile construite după o regulă de calcul suficient de simplă — din fericire, exact acelea apar la clasă și la examen.