Un sistem cu $$4$$ ecuații și $$5$$ necunoscute are $$\operatorname{rang} A = \operatorname{rang} \overline{A} = 3$$. Mulțimea soluțiilor se scrie cu:

doi parametri — sistemul este dublu nedeterminat

trei parametri — sistemul este triplu nedeterminat

niciun parametru, soluția fiind unică

Într-un sistem, coloana necunoscutei $$y$$ din matricea sistemului este dublul coloanei lui $$x$$. Atunci:

$$x$$ și $$y$$ nu pot fi amândouă necunoscute principale

sistemul este sigur incompatibil

$$x$$ și $$y$$ pot fi luate amândouă ca necunoscute principale

$$y$$ este obligatoriu necunoscută principală

Mulțimea soluțiilor sistemului $$x + 2y = 7$$, $$x + y - z = 4$$, $$2x + 3y - z = 11$$ este:

$$\{(2\alpha + 1,\ 3 - \alpha,\ \alpha) \mid \alpha \in \mathbb{R}\}$$

$$\{(2\alpha + 2,\ 3 - \alpha,\ \alpha) \mid \alpha \in \mathbb{R}\}$$

$$\{(\alpha,\ 2\alpha + 1,\ 3 - \alpha) \mid \alpha \in \mathbb{R}\}$$

$$\{(2\alpha + 1,\ 4 - \alpha,\ \alpha) \mid \alpha \in \mathbb{R}\}$$

Ce sunt necunoscutele secundare ale unui sistem?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Sisteme compatibile nedeterminate

Sunt necunoscutele care rămân în afara minorului principal și cărora li se dau valori arbitrare, notate de obicei cu litere ca $α$ sau $β$ . Celelalte, numite principale, se exprimă apoi în funcție de ele. La un sistem cu patru necunoscute și rangul $2$ rămân două secundare, deci soluția se scrie cu doi parametri liberi, iar mulțimea soluțiilor este infinită.

Când $rang A = rang \overline{A} = r < n$ , sistemul are o infinitate de soluții, dar acestea nu apar haotic: doar $r$ ecuații poartă informație independentă și pot fixa doar $r$ necunoscute, iar celelalte $n - r$ rămân libere. Numărul $n - r$ este gradul de nedeterminare și dă exact numărul parametrilor din soluție: pentru $n - r = 1$ sistemul e simplu nedeterminat, pentru $n - r = 2$ , dublu nedeterminat.

Alegerea nu e liberă. Necunoscutele principale sunt cele ale căror coeficienți intră în minorul principal, iar acesta trebuie să fie nenul: două necunoscute cu coloane proporționale nu pot fi amândouă principale. Regula practică: fixezi întâi minorul principal (de preferință cu numere mici), apoi citești din el necunoscutele — niciodată invers.

Urmează trei mișcări: păstrezi ecuațiile principale, treci necunoscutele secundare în membrul drept notându-le $α$ , $β$ , și rezolvi sistemul principal, care are drept determinant chiar minorul principal, deci e de tip Cramer; parametrii se tratează ca numere obișnuite.

Mulțimea soluțiilor se scrie $S = {(\dots, \dots, α) ∣ α \in R}$ , cu componentele în ordinea necunoscutelor din enunț. Alegeri diferite ale minorului principal dau scrieri diferite ale aceleiași mulțimi. Verificarea se face în ecuațiile secundare.

De reținut

Necunoscute principale = cele din minorul principal; restul sunt secundare
Grad de nedeterminare = numărul necunoscutelor $-$ rangul
Un sistem liniar are $0$ , exact $1$ sau o infinitate de soluții

Greșeala tipică

Se aleg drept secundare necunoscute care intră în minorul principal, iar sistemul rămas nu mai poate fi rezolvat. Secundare pot fi doar cele lăsate în afara minorului nenul ales.

Exerciții din această mini-lecție

Un sistem cu $4$ ecuații și $5$ necunoscute are $rang A = rang \overline{A} = 3$ . Mulțimea soluțiilor se scrie cu:
- a) doi parametri — sistemul este dublu nedeterminat
- b) trei parametri — sistemul este triplu nedeterminat
- c) un singur parametru
- d) niciun parametru, soluția fiind unică
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) doi parametri — sistemul este dublu nedeterminat

Gradul de nedeterminare este $n - r = 5 - 3 = 2$ , deci apar exact doi parametri, $α$ și $β$ . Numărul $3$ ar veni din rang, nu din $n - r$ , iar soluție unică ar însemna $r = n$ . Numărul ecuațiilor, $4$ , nu intervine în această numărătoare: el dă numărul determinanților caracteristici, nu al parametrilor.
Într-un sistem, coloana necunoscutei $y$ din matricea sistemului este dublul coloanei lui $x$ . Atunci:
- a) sistemul este sigur incompatibil
- b) $x$ și $y$ pot fi luate amândouă ca necunoscute principale
- c) $y$ este obligatoriu necunoscută principală
- d) $x$ și $y$ nu pot fi amândouă necunoscute principale
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $x$ și $y$ nu pot fi amândouă necunoscute principale

Orice minor care conține ambele coloane are două coloane proporționale, deci este nul și nu poate fi minor principal. Necunoscutele principale se citesc din minorul principal, care trebuie să fie nenul, așa că una dintre $x$ și $y$ va fi obligatoriu secundară. Proporționalitatea a două coloane nu spune însă nimic despre compatibilitate: aceea se decide din termenii liberi.
Mulțimea soluțiilor sistemului $x + 2 y = 7$ , $x + y - z = 4$ , $2 x + 3 y - z = 11$ este:
- a) ${(2 α + 2, 3 - α, α) ∣ α \in R}$
- b) ${(α, 2 α + 1, 3 - α) ∣ α \in R}$
- c) ${(2 α + 1, 3 - α, α) ∣ α \in R}$
- d) ${(2 α + 1, 4 - α, α) ∣ α \in R}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) ${(2 α + 1, 3 - α, α) ∣ α \in R}$

A treia ecuație este suma primelor două, și la coeficienți, și la termeni liberi ( $7 + 4 = 11$ ), deci sistemul e compatibil, iar minorul $1121 = - 1 \neq = 0$ dă $rang A = 2$ . Cu necunoscuta secundară $z = α$ , sistemul principal $x + 2 y = 7$ , $x + y = 4 + α$ dă $y = 3 - α$ și $x = 2 α + 1$ . Componentele se scriu în ordinea $x$ , $y$ , $z$ din enunț, deci varianta cu $α$ pe primul loc descrie altceva. Control pentru $α = 2$ : tripletul $(5, 1, 2)$ verifică toate trei ecuațiile.

Întrebări conexe

Ce se schimbă dacă aleg alt minor principal?

Scrierea soluției arată altfel, fiindcă alte necunoscute ajung parametri, dar mulțimea soluțiilor rămâne exact aceeași. De aceea două rezolvări corecte pot părea diferite; potrivirea lor se verifică dând valori parametrilor și comparând soluțiile obținute.

Cum notez parametrii în soluția generală?

Cu litere care nu apar deja în enunț, cel mai des $α$ , $β$ sau $t$ , și se precizează că iau orice valoare reală. Fără această precizare, scrierea pare o soluție particulară, nu familia întreagă.

Ce necunoscute aleg drept principale?

Pe cele ale căror coloane intră în minorul principal ales. Alegerea nu este singura posibilă: alt minor principal duce la alte necunoscute principale, dar mulțimea soluțiilor iese aceeași, scrisă doar cu alți parametri.

Cum verific o soluție care depinde de un parametru?

Înlocuiești expresiile cu parametru în fiecare ecuație și reduci termenii. Egalitățile trebuie să se închidă pentru orice valoare a parametrului, adică termenii care îl conțin să se anuleze între ei.

Ce legătură are gradul de nedeterminare cu rangul?

Rangul măsoară câte condiții independente impun ecuațiile; ce rămâne din numărul necunoscutelor este exact libertatea sistemului. Cu cât rangul este mai mic, cu atât familia soluțiilor are mai mulți parametri.

Poate un sistem cu trei ecuații să fie nedeterminat?

Da, dacă ecuațiile se repetă între ele sau una este combinație a celorlalte. Trei ecuații cu trei necunoscute și rangul $2$ lasă o necunoscută liberă, deci soluțiile formează o dreaptă în spațiu.

Oamenii mai întreabă și: necunoscute secundare și principale · sistem compatibil nedeterminat · necunoscute libere într-un sistem · soluția generală cu parametri