Pentru a calcula un determinant de ordinul al patrulea, procedeul corect este:

fabricarea zerourilor pe o linie sau o coloană, urmată de dezvoltarea după ea

regula lui Sarrus, adăugând încă o coloană sub tablou

regula triunghiului, cu patru diagonale în loc de trei

înmulțirea elementelor de pe diagonala principală

Cum rezolv un sistem cu patru necunoscute?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Sisteme Cramer de ordinul 4

Verifici că sistemul este pătratic și că determinantul principal, de ordinul $4$ , este nenul. Apoi construiești patru determinanți auxiliari, înlocuind pe rând fiecare coloană cu termenii liberi, și împarți. Cei cinci determinanți nu se calculează după definiție, ci prin transformări care fac zerouri pe o coloană, urmate de o dezvoltare care coboară la ordinul $3$ .

La un sistem cu patru ecuații și patru necunoscute, teorema lui Cramer rămâne neschimbată: dacă $Δ = det A \neq = 0$ , soluția este unică și $x_{k} = \frac{Δ _{k}}{Δ}$ , pentru $k = 1, 2, 3, 4$ . Se schimbă doar tehnica de calcul a celor cinci determinanți de ordinul al patrulea.

Prima regulă este una de interdicție: regula lui Sarrus și regula triunghiului se aplică exclusiv la ordinul $3$ . Un determinant de ordin $4$ are $4! = 24$ de termeni, iar schema cu diagonale produce doar $8$ — nu există nicio extindere corectă a regulii. La ordinul $4$ se dezvoltă după o linie sau o coloană.

Ca dezvoltarea să fie ieftină, zerourile se fabrică: se caută un element egal cu $1$ sau $- 1$ , numit pivot, iar cu operația $L_{i} \leftarrow L_{i} + α L_{j}$ (cu $i \neq = j$ ), care nu schimbă valoarea determinantului, se anulează celelalte elemente de pe coloana pivotului. După dezvoltarea acelei coloane rămâne un singur determinant de ordinul al treilea, calculabil cu Sarrus. Fără pivotare, cei cinci determinanți s-ar sparge în până la douăzeci de calcule.

Ordinea de lucru rămâne: întâi $Δ$ ; dacă iese $0$ , sistemul nu este de tip Cramer și auxiliarii nu mai folosesc. La final, verificarea în toate cele patru ecuații.

De reținut

Cinci determinanți de ordinul $4$ : $Δ$ și $Δ_{1}, \dots, Δ_{4}$
Sarrus nu se aplică; se fac zerouri și se dezvoltă
$Δ = 0$ : se trece la rang și la teorema lui Rouché

Greșeala tipică

Se calculează toți cei cinci determinanți și abia la final se observă că determinantul principal este nul. Verificarea lui se face prima, fiindcă anularea lui scoate întregul calcul din regula lui Cramer.

Exerciții din această mini-lecție

Pentru a calcula un determinant de ordinul al patrulea, procedeul corect este:
- a) regula lui Sarrus, adăugând încă o coloană sub tablou
- b) regula triunghiului, cu patru diagonale în loc de trei
- c) fabricarea zerourilor pe o linie sau o coloană, urmată de dezvoltarea după ea
- d) înmulțirea elementelor de pe diagonala principală
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) fabricarea zerourilor pe o linie sau o coloană, urmată de dezvoltarea după ea

Un determinant de ordin $4$ are $4! = 24$ de termeni, iar orice schemă cu diagonale de tip Sarrus produce cel mult $8$ : regula lui Sarrus și regula triunghiului rămân valabile numai la ordinul $3$ . Produsul elementelor de pe diagonala principală dă determinantul doar la matricele triunghiulare, nu în general.
Calculați $2051 14 - 2 6 0030 310 - 1$ .
- a) $- 31$
- b) $31$
- c) $93$
- d) $- 93$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $- 93$

Coloana a treia are deja trei zerouri, deci dezvoltăm după ea. Singurul element nenul este $3$ , aflat pe linia a treia, cu semnul $(- 1)^{3 + 3} = + 1$ , așa că determinantul este $3 \cdot 201146 31 - 1$ . Cu regula lui Sarrus, minorul de ordin $3$ valorează $(- 8 + 1 + 0) - (12 + 12 + 0) = - 31$ , deci rezultatul este $3 \cdot (- 31) = - 93$ . Uitarea factorului $3$ sau greșirea semnului $(- 1)^{i + j}$ dau celelalte variante.
Care dintre transformările următoare lasă NESCHIMBATĂ valoarea unui determinant?
- a) $L_{2} \leftarrow L_{2} + 3 L_{4}$
- b) $L_{2} \leftarrow 3 L_{2}$
- c) $L_{1} \leftrightarrow L_{3}$
- d) $C_{2} \leftarrow 5 C_{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $L_{2} \leftarrow L_{2} + 3 L_{4}$

Numai adunarea la o linie a altei linii înmulțite cu un număr păstrează valoarea; operația se scrie $L_{i} \leftarrow L_{i} + α L_{j}$ și cere $i \neq = j$ (altfel linia ar putea fi anulată, iar transformarea nu ar mai fi reversibilă). Înmulțirea unei linii sau a unei coloane cu $α$ înmulțește determinantul cu $α$ , iar schimbarea a două linii îi schimbă semnul.

Întrebări conexe

Cum organizez calculul celor cinci determinanți?

Începi cu cel principal și reții transformările folosite; ele se repetă apoi la fiecare determinant auxiliar, cu grija că o coloană s-a schimbat. Scrierea pe rânduri separate, cu semnul notat la fiecare pas, previne cele mai multe erori.

Ce coloană se înlocuiește pentru a treia necunoscută?

A treia, adică exact cea care ține coeficienții lui $x_{3}$ în toate cele patru ecuații. Coloana înlocuitoare este întotdeauna aceeași, cea a termenilor liberi, iar restul tabloului rămâne neatins.

Cum reduc un determinant de ordinul 4 la unul de ordinul 3?

Faci zerouri pe o coloană, păstrând un singur element nenul, apoi dezvolți după acea coloană. Din patru produse rămâne unul singur, deci calculul coboară la un determinant de ordinul $3$ , rezolvabil cu Sarrus.

Cum verific soluția unui sistem cu patru ecuații?

Înlocuiești cele patru valori în fiecare ecuație, nu doar în una. Un control suplimentar: aduni toate ecuațiile membru cu membru și verifici egalitatea obținută, care prinde repede o greșeală de semn.

Ce fac dacă sistemul are patru ecuații și cinci necunoscute?

Regula nu se mai aplică, fiindcă matricea nu este pătratică și nu are determinant. Se trece la rang și la teorema lui Rouché, iar soluțiile ies în funcție de cel puțin o necunoscută secundară.

Cum recunosc rapid că un sistem de ordinul 4 nu e de tip Cramer?

Când două ecuații sunt proporționale sau una este suma altora, determinantul principal iese zero fără niciun calcul. Merită căutată o astfel de legătură înainte de a începe transformările.

Oamenii mai întreabă și: sistem cu patru ecuații și patru necunoscute · Cramer la ordinul 4 · sistem 4x4 rezolvat cu determinanți · cum rezolv un sistem de patru ecuații