Pentru sistemul $$2x + y - z = 3$$, $$x - 3y + 2z = 1$$, $$4x + y + z = 9$$, determinantul auxiliar $$\Delta_2$$ este:

$$\begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 4 & 9 & 1 \end{vmatrix}$$

$$\begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 3 & 1 & 9 \\ 4 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$

$$\begin{vmatrix} 3 & 1 & -1 \\ 1 & -3 & 2 \\ 9 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$

$$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & -3 & 1 \\ 4 & 1 & 9 \end{vmatrix}$$

Un sistem cu $$3$$ ecuații și $$3$$ necunoscute are $$\Delta = 0$$. Ce se poate afirma cu certitudine?

sistemul nu este de tip Cramer, iar natura lui se decide cu alte unelte

sistemul este compatibil nedeterminat

Cum se rezolvă un sistem cu regula lui Cramer?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Regula lui Cramer

Calculezi determinantul matricei coeficienților; dacă iese nenul, sistemul are soluție unică. Pentru fiecare necunoscută înlocuiești coloana ei cu coloana termenilor liberi, calculezi noul determinant și împarți: $x_{k} = \frac{Δ _{k}}{Δ}$ . La un sistem cu trei necunoscute ies patru determinanți de ordinul $3$ . Rezultatele pot fi fracționare, ceea ce nu indică nicio greșeală.

Un sistem de tip Cramer are $n$ ecuații, $n$ necunoscute și determinantul matricei sistemului nenul. Acest determinant se numește determinant principal și se notează $Δ = det A$ . Pentru fiecare $k$ , determinantul auxiliar $Δ_{k}$ se obține din $Δ$ înlocuind coloana $k$ — coloana necunoscutei $x_{k}$ — cu coloana termenilor liberi; celelalte coloane rămân neatinse. Înlocuirea unei linii în locul coloanei este greșeala numărul unu la această temă.

Teorema lui Cramer: dacă $Δ \neq = 0$ , sistemul este compatibil determinat și unica lui soluție este dată de $x_{k} = \frac{Δ _{k}}{Δ}$ , pentru $k = 1, 2, \dots, n$ . Demonstrația pornește de la $X = A^{- 1} B$ cu $A^{- 1} = \frac{1}{det A} A^{*}$ și recunoaște în suma $\sum_{i} b_{i} δ_{ik}$ chiar dezvoltarea lui $Δ_{k}$ după coloana $k$ .

Rețeta are cinci pași: verifici că sistemul e pătratic, calculezi $Δ$ , construiești auxiliarii, împarți și verifici soluția în toate ecuațiile. Calculul lui $Δ$ stă înaintea auxiliarilor: dacă $Δ = 0$ , metoda se oprește acolo.

Atenție la ce nu spune teorema: din $Δ = 0$ nu rezultă că sistemul e incompatibil (poate fi și compatibil nedeterminat), iar un $Δ_{k} = 0$ cu $Δ \neq = 0$ înseamnă doar că $x_{k} = 0$ .

De reținut

Sistem Cramer: pătratic, cu $Δ = det A \neq = 0$
$x_{k} = \frac{Δ _{k}}{Δ}$ , cu coloana $k$ înlocuită de termenii liberi
$Δ \neq = 0 \Rightarrow$ soluție unică

Greșeala tipică

Se înlocuiește linia în loc de coloană la formarea determinanților auxiliari. Coloana $k$ ține coeficienții necunoscutei $x_{k}$ , deci tocmai ea trebuie schimbată cu termenii liberi.

Exerciții din această mini-lecție

Pentru sistemul $2 x + y - z = 3$ , $x - 3 y + 2 z = 1$ , $4 x + y + z = 9$ , determinantul auxiliar $Δ_{2}$ este:
- a) $234111 - 1 91$
- b) $214319 - 1 21$
- c) $319 1 - 3 1 - 1 21$
- d) $214 1 - 3 1 319$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $214319 - 1 21$

$Δ_{2}$ se obține din $Δ$ înlocuind coloana a doua — cea a necunoscutei $y$ — cu coloana termenilor liberi $3$ , $1$ , $9$ . Prima variantă înlocuiește linia a doua, a treia înlocuiește coloana întâi (acela este $Δ_{1}$ ), iar ultima înlocuiește coloana a treia (acela este $Δ_{3}$ ). Valoarea corectă este $Δ_{2} = - 18$ .
Rezolvând cu regula lui Cramer sistemul $3 x - 5 y = 19$ , $2 x + y = 4$ , se obține soluția:
- a) $(39, - 26)$
- b) $(- 2, 3)$
- c) $(3, - 2)$
- d) $(3, 2)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $(3, - 2)$

$Δ = 3 \cdot 1 - (- 5) \cdot 2 = 13 \neq = 0$ , $Δ_{1} = 194 - 5 1 = 39$ și $Δ_{2} = 32194 = - 26$ . Împărțirea la $Δ$ este pasul care se uită cel mai des: $x = \frac{39}{13} = 3$ , $y = \frac{- 26}{13} = - 2$ . Verificare: $9 + 10 = 19$ și $6 - 2 = 4$ .
Un sistem cu $3$ ecuații și $3$ necunoscute are $Δ = 0$ . Ce se poate afirma cu certitudine?
- a) sistemul este incompatibil
- b) sistemul este compatibil nedeterminat
- c) sistemul are exact o soluție
- d) sistemul nu este de tip Cramer, iar natura lui se decide cu alte unelte
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) sistemul nu este de tip Cramer, iar natura lui se decide cu alte unelte

Un determinant principal nul scoate sistemul din categoria Cramer, dar nu-i decide natura: $x + 3 y = 7$ cu $2 x + 6 y = 15$ are $Δ = 0$ și este incompatibil, iar $x + 3 y = 7$ cu $2 x + 6 y = 14$ are tot $Δ = 0$ și este compatibil nedeterminat. Decizia se ia cu rangul matricei și cu teoremele Kronecker-Capelli și Rouché.

Întrebări conexe

Câți determinanți calculez la un sistem cu trei necunoscute?

Patru: cel principal și câte unul pentru fiecare necunoscută. Ordinea lucrului contează — dacă determinantul principal iese zero, ceilalți trei nu mai trebuie calculați, fiindcă regula nu se mai poate aplica.

Ce se întâmplă dacă toți determinanții auxiliari sunt nuli?

Dacă și cel principal este nul, sistemul poate fi compatibil nedeterminat, dar concluzia cere teorema lui Rouché. Dacă principalul este nenul, atunci toate necunoscutele ies zero, adică soluția banală.

Cum verific soluția găsită cu regula lui Cramer?

Înlocuiești valorile în ecuațiile de pornire, toate, nu doar în prima. Fracțiile se aduc la același numitor, iar fiecare egalitate trebuie să se închidă; o singură ecuație neverificată arată o greșeală la unul dintre determinanți.

Ce soluție are un sistem omogen de tip Cramer?

Numai soluția banală, cu toate necunoscutele egale cu zero. Determinanții auxiliari au o coloană de zerouri, deci se anulează, iar împărțirea la un determinant principal nenul dă zero pentru fiecare necunoscută.

Cum arată formulele lui Cramer la două ecuații?

Determinantul principal este $a_{1} a_{2} b_{1} b_{2}$ , iar pentru $x$ se înlocuiește prima coloană cu termenii liberi. Se obțin două fracții cu același numitor, ceea ce face metoda foarte rapidă la ordinul $2$ .

De ce se împarte totul la același determinant?

Fiindcă acel determinant măsoară cât de bine determină ecuațiile necunoscutele; el apare ca factor comun când se rezolvă sistemul prin eliminare. Anularea lui înseamnă tocmai că informația nu ajunge pentru o soluție unică.

Oamenii mai întreabă și: regula lui Cramer · formulele lui Cramer pentru sisteme · sistem de tip Cramer cum se rezolvă · delta 1 supra delta