Într-o discuție după parametru, pentru o valoare critică (adică o valoare care anulează $$\Delta$$):

sistemul nu mai este de tip Cramer, iar natura lui se stabilește separat, cu rangul sau cu teorema lui Rouché

sistemul este sigur incompatibil

sistemul este sigur compatibil nedeterminat

formulele lui Cramer se aplică după simplificarea fracțiilor

Un sistem pătratic are $$\Delta = 0$$ și toți determinanții auxiliari $$\Delta_k = 0$$. Atunci:

nu se poate decide nimic; se trece la compararea rangurilor

sistemul este sigur compatibil nedeterminat

sistemul este sigur incompatibil

Cum discut un sistem cu parametru?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Sisteme cu parametru: discuția

Calculezi determinantul principal ca expresie în parametru și îl aduci la formă de produs. Valorile care îl anulează sunt cazurile critice; pentru orice altă valoare sistemul este de tip Cramer și are soluție unică. Apoi iei pe rând fiecare valoare critică, o înlocuiești în sistem și studiezi rangurile, ca să vezi dacă acolo sistemul devine incompatibil sau nedeterminat.

Un parametru este o literă dintre coeficienți sau dintre termenii liberi care nu este necunoscută: necunoscutele se caută, parametrul se fixează pe rând. Un sistem cu parametru nu se rezolvă, ci se discută, iar răspunsul nu e un triplet de numere, ci un tabel de cazuri.

Pentru un sistem pătratic, discuția are cinci pași: calculezi $Δ = det A$ ca expresie în parametru și îl factorizezi; rezolvi $Δ = 0$ și obții valorile critice; pe cazul general ( $Δ \neq = 0$ ) sistemul e de tip Cramer și scrii $x_{k} = \frac{Δ _{k}}{Δ}$ ca funcție de parametru; iei fiecare valoare critică separat, o înlocuiești și studiezi sistemul numeric obținut cu rangul, cu Kronecker-Capelli sau cu teorema lui Rouché; strângi totul în tabel.

Pasul sărit cel mai des este al patrulea: $Δ = 0$ nu înseamnă „incompatibil", ci doar că regula lui Cramer nu se mai aplică.

Relația $Δ \cdot x_{k} = Δ_{k}$ dă o ieșire rapidă, dar numai într-un sens: dacă $Δ = 0$ și există un $Δ_{k} \neq = 0$ , sistemul e incompatibil. Dacă $Δ = 0$ și toți $Δ_{k} = 0$ , nu se poate decide — se trece la ranguri.

La un sistem omogen pătratic, întrebarea devine „are și soluții nebanale?", iar răspunsul e scurt: exact când $Δ = 0$ .

De reținut

Se scrie $Δ$ factorizat; rădăcinile lui = valorile critice
$Δ \neq = 0$ : sistem de tip Cramer, soluție unică
Fiecare valoare critică se studiază separat, prin ranguri

Greșeala tipică

Se rezolvă doar cazul general și se anunță răspunsul, sărind peste valorile care anulează determinantul. Tocmai acolo se schimbă natura sistemului, iar discuția fără ele rămâne neterminată.

Exerciții din această mini-lecție

Într-o discuție după parametru, pentru o valoare critică (adică o valoare care anulează $Δ$ ):
- a) sistemul este sigur incompatibil
- b) sistemul este sigur compatibil nedeterminat
- c) sistemul nu mai este de tip Cramer, iar natura lui se stabilește separat, cu rangul sau cu teorema lui Rouché
- d) formulele lui Cramer se aplică după simplificarea fracțiilor
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) sistemul nu mai este de tip Cramer, iar natura lui se stabilește separat, cu rangul sau cu teorema lui Rouché

Un $Δ$ nul spune doar că nu mai avem voie să împărțim la el. Valoarea critică se înlocuiește în sistem, se obține un sistem numeric și acesta se studiază separat: poate ieși incompatibil, dar la fel de bine poate ieși compatibil nedeterminat. Simplificarea fracțiilor $\frac{Δ _{k}}{Δ}$ este legitimă numai pe cazul general, tocmai pentru că acolo factorul comun este nenul.
Un sistem pătratic are $Δ = 0$ și $Δ_{2} = 5$ . Sistemul este:
- a) compatibil determinat
- b) incompatibil
- c) compatibil simplu nedeterminat
- d) omogen
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) incompatibil

Pentru orice soluție a unui sistem pătratic are loc $Δ \cdot x_{k} = Δ_{k}$ . Dacă ar exista o soluție, am avea $Δ_{2} = 0 \cdot x_{2} = 0$ , în contradicție cu $Δ_{2} = 5$ . Aceasta este ieșirea rapidă către incompatibilitate; ea funcționează însă numai în acest sens, nu și invers.
Un sistem pătratic are $Δ = 0$ și toți determinanții auxiliari $Δ_{k} = 0$ . Atunci:
- a) sistemul este sigur compatibil nedeterminat
- b) sistemul este sigur incompatibil
- c) sistemul are soluție unică
- d) nu se poate decide nimic; se trece la compararea rangurilor
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) nu se poate decide nimic; se trece la compararea rangurilor

Două sisteme cu exact aceiași determinanți nuli se pot comporta diferit. La $2 x + 4 y = 2$ , $x + 2 y = 1$ toți determinanții sunt nuli și sistemul e compatibil nedeterminat; la $x + y + z = 1$ , $x + y + z = 1$ , $x + y + z = 2$ sunt tot toți nuli (fiecare are două linii identice), dar $rang A = 1$ și $rang \overline{A} = 2$ , deci sistemul e incompatibil. Regula are trei ramuri, iar aceasta este ramura care nu decide.

Întrebări conexe

Ce scriu în cazul general al discuției?

Precizezi mulțimea valorilor pentru care determinantul rămâne nenul și dai soluția prin formulele lui Cramer, cu parametrul lăsat în expresie. Acesta este cazul cel mai comod, fiindcă acoperă dintr-o dată toate valorile necritice.

Cum tratez fiecare valoare critică în parte?

Înlocuiești numărul în tot sistemul, obții un sistem cu coeficienți concreți și îi calculezi rangurile. Concluzia iese din compararea celor două ranguri, iar dacă sistemul este compatibil, se scriu și soluțiile.

Câte cazuri are o discuție cu un determinant de gradul al doilea?

Cel mult trei: cazul general și cele două rădăcini, luate separat. Dacă rădăcinile coincid rămân doar două cazuri, iar dacă determinantul nu are rădăcini reale, discuția se încheie din primul pas.

Ce se schimbă dacă parametrul apare și în termenii liberi?

Determinantul principal rămâne același, deci valorile critice nu se schimbă. Se schimbă în schimb determinanții auxiliari și matricea extinsă, deci în cazurile critice sistemul poate fi compatibil pentru o valoare și incompatibil pentru alta.

Cum prezint răspunsul final al unei discuții?

Pe cazuri, fiecare cu valoarea parametrului, concluzia despre compatibilitate și soluțiile corespunzătoare. Un răspuns care dă doar soluția generală, fără cazurile critice, este considerat incomplet la corectare.

Ce înseamnă geometric un sistem incompatibil de două ecuații?

Că cele două drepte din plan sunt paralele și distincte, deci nu au niciun punct comun. Când sistemul are soluție unică, dreptele se taie într-un punct; când are o infinitate de soluții, cele două ecuații descriu aceeași dreaptă.

Oamenii mai întreabă și: discuția unui sistem cu parametru · sistem cu parametru m · valori critice ale parametrului la sisteme · cazuri la un sistem cu parametru