Se consideră sistemul $$3x - y + 2z = 5$$, $$x + 4z = -2$$, $$2y - z = 6$$. Matricea extinsă $$\overline{A}$$ este:

$$\begin{pmatrix} 3 & -1 & 2 & 5 \\ 1 & 0 & 4 & -2 \\ 0 & 2 & -1 & 6 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 3 & -1 & 2 & 5 \\ 1 & 4 & 0 & -2 \\ 2 & -1 & 0 & 6 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 3 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & 4 \\ 0 & 2 & -1 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 & 5 \\ -1 & 0 & 2 & -2 \\ 2 & 4 & -1 & 6 \end{pmatrix}$$

Ecuației matriceale $$\begin{pmatrix} 4 & -3 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 12 \end{pmatrix}$$ îi corespunde sistemul:

$$4x - 3y = 1$$, $$2x + 5y = 12$$

$$4x + 2y = 1$$, $$-3x + 5y = 12$$

$$4x + 3y = 1$$, $$2x - 5y = 12$$

$$4x - 3y = 12$$, $$2x + 5y = 1$$

Ce este forma matriceală a unui sistem?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Forma matriceală a unui sistem

Este scrierea $A X = B$ , în care $A$ adună coeficienții necunoscutelor, $X$ este coloana necunoscutelor, iar $B$ coloana termenilor liberi. Sistemul ${2 x + y = 5 x - 3 y = - 1$ devine $(21 1 - 3) (x y) = (5 - 1)$ . Alături de $A$ se folosește și tabloul obținut lipind coloana termenilor liberi la dreapta ei, notat $\overset{ˉ}{A}$ ; el arată câtă informație aduc, împreună, ecuațiile. Scrierea aceasta face posibile atât regula lui Cramer, cât și rezolvarea prin inversă.

Un sistem de $m$ ecuații liniare cu $n$ necunoscute adună mai multe condiții de gradul întâi care trebuie să fie adevărate în același timp. Toată informația lui se strânge în patru tablouri: matricea sistemului $A \in M_{m, n} (C)$ , formată din coeficienți (în $a_{ij}$ , indicele $i$ arată ecuația, iar $j$ necunoscuta), matricea necunoscutelor $X$ , matricea termenilor liberi $B$ și matricea extinsă $\overline{A}$ , care este $A$ cu coloana lui $B$ alipită la dreapta. Coeficienții care lipsesc se scriu $0$ : numărul de coloane ale lui $A$ este exact numărul necunoscutelor.

Elementul de pe linia $i$ a produsului $A X$ este chiar membrul stâng al ecuației $i$ , așa că întregul sistem devine o singură ecuație matriceală, $A X = B$ . De aici pornesc toate metodele capitolului.

O soluție este un sistem ordonat de numere care verifică fiecare ecuație, nu doar pe cea din care a ieșit; mulțimea soluțiilor se notează $S$ . Sunt exact trei situații posibile: sistem incompatibil ( $S = \emptyset$ ), compatibil determinat (o singură soluție) și compatibil nedeterminat (o infinitate de soluții, scrise cu parametrii $α$ , $β$ ). Un sistem liniar nu poate avea niciodată exact două soluții.

La un sistem pătratic ( $m = n$ ) primul reflex este calculul lui $det A$ : dacă $det A \neq = 0$ , soluția este unică.

De reținut

$A X = B$ : coeficienți, coloana necunoscutelor, coloana termenilor liberi
Matricea extinsă $\overset{ˉ}{A}$ = $A$ cu coloana lui $B$ adăugată la dreapta
Necunoscuta lipsă din ecuație primește coeficientul $0$

Greșeala tipică

Se sare peste necunoscuta care lipsește dintr-o ecuație, iar linia iese mai scurtă. Poziția ei trebuie ocupată de $0$ , altfel coeficienții se deplasează pe coloane greșite și tot sistemul se schimbă.

Exerciții din această mini-lecție

Se consideră sistemul $3 x - y + 2 z = 5$ , $x + 4 z = - 2$ , $2 y - z = 6$ . Matricea extinsă $\overline{A}$ este:
- a) $310 - 1 02 24 - 1 5 - 2 6$
- b) $312 - 1 4 - 1 200 5 - 2 6$
- c) $310 - 1 02 24 - 1$
- d) $3 - 1 2 104 02 - 1 5 - 2 6$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $310 - 1 02 24 - 1 5 - 2 6$

Pe linia $i$ stau coeficienții ecuației $i$ , pe coloana $j$ coeficienții lui $x_{j}$ , iar ultima coloană este cea a termenilor liberi. În ecuația a doua lipsește $y$ , în a treia lipsește $x$ : pe locurile lor se scrie $0$ , nu se sare peste coloană (aceasta e greșeala din a doua variantă). Tabloul fără ultima coloană este matricea sistemului $A$ , nu $\overline{A}$ , iar citirea coeficienților pe coloane descrie cu totul alt sistem.
Care dintre următoarele triplete este soluție a sistemului $x + y + z = 6$ , $2 x - y + z = 6$ , $3 x + 2 y - z = 5$ ?
- a) $(1, 2, 3)$
- b) $(2, 1, 3)$
- c) $(3, 1, 2)$
- d) $(4, 0, 2)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(2, 1, 3)$

Toate cele patru triplete verifică prima ecuație — de aceea verificarea într-o singură ecuație nu decide nimic. În a doua ecuație: $(1, 2, 3)$ dă $3$ , $(3, 1, 2)$ dă $7$ , $(4, 0, 2)$ dă $10$ , toate diferite de $6$ . Doar $(2, 1, 3)$ trece prin toate trei: $2 + 1 + 3 = 6$ , $4 - 1 + 3 = 6$ , $6 + 2 - 3 = 5$ . Cum $det A = 11 \neq = 0$ , aceasta este și singura soluție.
Ecuației matriceale $(42 - 3 5) \cdot (x y) = (112)$ îi corespunde sistemul:
- a) $4 x + 2 y = 1$ , $- 3 x + 5 y = 12$
- b) $4 x + 3 y = 1$ , $2 x - 5 y = 12$
- c) $4 x - 3 y = 1$ , $2 x + 5 y = 12$
- d) $4 x - 3 y = 12$ , $2 x + 5 y = 1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $4 x - 3 y = 1$ , $2 x + 5 y = 12$

Fiecare linie a produsului $A X$ dă câte o ecuație: linia întâi, $4 \cdot x + (- 3) \cdot y$ , se egalează cu primul element al lui $B$ , adică $1$ ; linia a doua, $2 x + 5 y$ , cu $12$ . Citirea pe coloane, schimbarea semnelor sau inversarea termenilor liberi descriu alte sisteme.

Întrebări conexe

Ce conține coloana termenilor liberi?

Numerele din dreapta semnului egal, luate în ordinea ecuațiilor și cu semnul lor. Dacă o ecuație are termenul liber în stânga, el se trece întâi de partea cealaltă, schimbându-și semnul, altfel coloana iese greșită.

Cum ordonez necunoscutele înainte de a scrie matricea?

Fixezi o ordine, de obicei alfabetică, și o păstrezi în toate ecuațiile. O necunoscută care nu apare într-o ecuație primește coeficientul $0$ pe poziția ei; sărirea peste acea poziție strică toate coloanele care urmează.

Ce dimensiuni are matricea unui sistem cu 3 ecuații și 4 necunoscute?

Este de tip $3 \times 4$ : câte o linie pentru fiecare ecuație și câte o coloană pentru fiecare necunoscută. Nefiind pătratică, ea nu are determinant, deci se studiază prin rang, nu cu formulele lui Cramer.

Cum recunosc un sistem pătratic?

Când numărul ecuațiilor este egal cu numărul necunoscutelor, iar matricea coeficienților iese pătratică. Doar atunci are sens determinantul, deci doar atunci se poate pune întrebarea dacă sistemul este de tip Cramer.

Ce se schimbă în matrice dacă schimb ordinea ecuațiilor?

Se schimbă între ele liniile corespunzătoare, atât la matricea coeficienților, cât și la coloana termenilor liberi. Soluția rămâne aceeași, fiindcă ordinea în care sunt scrise condițiile nu are nicio importanță.

Ce avantaj are scrierea matriceală față de cea obișnuită?

Separă coeficienții de necunoscute, deci întrebările despre existența soluțiilor devin întrebări despre determinant și rang. În plus, permite rezolvarea prin înmulțirea cu inversa, adică într-o singură operație.

Oamenii mai întreabă și: forma matriceală a unui sistem liniar · matricea sistemului și matricea extinsă · sistem scris ca AX egal B · cum scriu un sistem cu matrice