Un sistem de ecuații liniare omogen:

este întotdeauna compatibil, având cel puțin soluția banală

poate fi incompatibil, dacă $$\det A = 0$$

are întotdeauna o infinitate de soluții

are soluții nebanale dacă și numai dacă $$\det A \ne 0$$

Sistemul omogen $$2x + y - z = 0$$, $$x + 3y + z = 0$$, $$x - y + 2z = 0$$ are:

numai soluția banală $$(0, 0, 0)$$

Un sistem de ecuații liniare omogen cu $$3$$ ecuații și $$5$$ necunoscute:

are soluții nebanale doar dacă $$\operatorname{rang} A = 3$$

Ce este un sistem omogen?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Sisteme liniare omogene

Este un sistem liniar la care toți termenii liberi sunt zero, adică fiecare ecuație are forma $a_{1} x_{1} + \dots + a_{n} x_{n} = 0$ . Un astfel de sistem nu poate fi incompatibil, fiindcă valorile nule verifică întotdeauna toate ecuațiile; aceasta se numește soluția banală. Întrebarea interesantă este dacă mai există și altele: la un sistem pătratic, ele apar exact când determinantul se anulează.

Un sistem liniar este omogen dacă toți termenii liberi sunt nuli; matriceal, $A X = O_{m, 1}$ . Astfel de sisteme ies din bilanțuri — „cât intră, atât iese" — și au două particularități.

Prima: orice sistem omogen este compatibil. Înlocuind $x_{1} = \dots = x_{n} = 0$ , fiecare ecuație devine $0 = 0$ ; această soluție se numește soluția banală. Cuvântul „incompatibil" nu se poate rosti niciodată despre un sistem omogen. Criteriile generale confirmă: matricea extinsă se obține adăugând o coloană nulă, deci $rang \overline{A} = rang A$ (Kronecker-Capelli), iar fiecare determinant caracteristic are o coloană nulă, deci este nul (Rouché).

A doua: întrebarea reală este dacă există și soluții nebanale. Un sistem omogen cu $n$ necunoscute are soluții nebanale dacă și numai dacă $rang A < n$ . La un sistem pătratic, aceasta înseamnă $det A = 0$ ; dacă $det A \neq = 0$ , toți $Δ_{k}$ au o coloană nulă, deci $x_{k} = 0$ pentru orice $k$ . Consecință de folosit fără calcul: un sistem omogen cu mai puține ecuații decât necunoscute ( $m < n$ ) are întotdeauna soluții nebanale.

Dacă $X_{1}$ și $X_{2}$ sunt soluții, atunci $α X_{1} + β X_{2}$ este tot soluție — proprietate valabilă numai la sistemele omogene.

De reținut

Omogen = toți termenii liberi nuli; mereu compatibil
Soluția banală: toate necunoscutele egale cu $0$
Pătratic: soluții nebanale $⟺ det A = 0$

Greșeala tipică

Se declară incompatibil un sistem omogen la care determinantul se anulează. Un astfel de sistem are întotdeauna soluții; anularea determinantului înseamnă doar că, pe lângă cea banală, apar și altele.

Exerciții din această mini-lecție

Un sistem de ecuații liniare omogen:
- a) poate fi incompatibil, dacă $det A = 0$
- b) este întotdeauna compatibil, având cel puțin soluția banală
- c) are întotdeauna o infinitate de soluții
- d) are soluții nebanale dacă și numai dacă $det A \neq = 0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) este întotdeauna compatibil, având cel puțin soluția banală

Tripletul $(0, 0, \dots, 0)$ verifică orice ecuație cu termen liber nul, deci compatibilitatea este garantată — cuvântul „incompatibil" nu se aplică niciodată aici. Infinitatea de soluții apare numai când $rang A < n$ ; iar la un sistem pătratic soluțiile nebanale apar exact când $det A = 0$ , nu invers.
Sistemul omogen $2 x + y - z = 0$ , $x + 3 y + z = 0$ , $x - y + 2 z = 0$ are:
- a) o infinitate de soluții
- b) nicio soluție
- c) numai soluția banală $(0, 0, 0)$
- d) exact două soluții
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) numai soluția banală $(0, 0, 0)$

Matricea sistemului este pătratică, iar cu regula lui Sarrus $det A = 17 \neq = 0$ . Sistemul este deci de tip Cramer: fiecare $Δ_{k}$ se obține înlocuind o coloană cu coloana termenilor liberi, care este nulă, deci $Δ_{k} = 0$ și $x = y = z = 0$ . Un sistem omogen nu poate fi fără soluții și nici nu poate avea exact două.
Un sistem de ecuații liniare omogen cu $3$ ecuații și $5$ necunoscute:
- a) are întotdeauna soluții nebanale
- b) are numai soluția banală
- c) poate fi incompatibil
- d) are soluții nebanale doar dacă $rang A = 3$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) are întotdeauna soluții nebanale

Rangul unei matrice cu $3$ linii nu poate depăși $3$ , deci $rang A \leq 3 < 5 = n$ . Cum un sistem omogen are soluții nebanale exact când $rang A < n$ , concluzia se scrie fără niciun calcul. Gradul de nedeterminare este $5 - rang A$ , deci cel puțin $2$ .

Întrebări conexe

Cum arată matricea extinsă a unui sistem omogen?

Are ultima coloană formată numai din zerouri, deci nu poate ridica rangul față de matricea coeficienților. Tocmai de aici iese, în două rânduri, faptul că un astfel de sistem este întotdeauna compatibil.

Ce se întâmplă dacă adun două soluții ale unui sistem omogen?

Obții tot o soluție, iar la fel se întâmplă dacă înmulțești o soluție cu un număr. De aceea soluțiile formează o structură închisă, spre deosebire de cazul neomogen, unde suma a două soluții nu mai verifică ecuațiile.

Cum scriu soluțiile nebanale în funcție de o necunoscută liberă?

Alegi necunoscutele secundare, le notezi cu litere și exprimi restul din ecuațiile principale. Soluția iese de forma unui set de expresii proporționale cu parametrul, iar valoarea zero a parametrului redă tocmai soluția banală.

Ce legătură are un sistem omogen cu unul neomogen cu aceiași coeficienți?

Orice soluție a celui neomogen se scrie ca o soluție particulară plus o soluție a celui omogen. De aceea studiul sistemului omogen atașat spune exact cât de mare este familia soluțiilor celuilalt.

Cum verific rapid că zero este soluție?

Înlocuiești toate necunoscutele cu zero: fiecare ecuație devine $0 = 0$ , indiferent de coeficienți. Verificarea durează o clipă și confirmă că întrebarea corectă este dacă există și alte soluții.

Ce rang are matricea unui sistem omogen cu soluții nebanale?

Rangul este strict mai mic decât numărul necunoscutelor. Diferența dintre ele dă numărul parametrilor liberi, deci arată și cât de bogată este familia soluțiilor nebanale.

Oamenii mai întreabă și: sistem omogen · sistem liniar cu termeni liberi nuli · soluția banală a unui sistem · când are un sistem omogen soluții nebanale