Inversa matricei $$A = \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$ este:

$$\begin{pmatrix} 2 & -7 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -7 & 4 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} -4 & 7 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{4} & \frac{1}{7} \\ 1 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$

Ce înseamnă X egal cu A la minus unu ori B?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Sisteme rezolvate cu matricea inversă

Este soluția sistemului scris ca $A X = B$ : înmulțind la stânga cu inversa, partea stângă se reduce la $X$ , iar în dreapta rămâne produsul $A^{- 1} B$ . Rezultatul este o coloană care conține, în ordine, valorile necunoscutelor. Metoda cere ca matricea să fie pătratică și cu determinantul nenul, adică exact condiția din regula lui Cramer.

Un sistem liniar se scrie $A X = B$ . Dacă am avea numere, am împărți la $A$ — dar împărțirea matricelor nu există, tocmai pentru că înmulțirea nu e comutativă și nu s-ar ști dacă $\frac{B}{A}$ înseamnă $A^{- 1} B$ sau $B A^{- 1}$ . În locul ei folosim înmulțirea cu inversa, precizând de care parte: din $A X = B$ , înmulțind la stânga cu $A^{- 1}$ , obținem $(A^{- 1} A) X = A^{- 1} B$ , adică $X = A^{- 1} B$ .

Teoremă. Dacă $A \in M_{n} (C)$ este inversabilă, adică $det A \neq = 0$ , atunci sistemul $A X = B$ are soluție unică, $X = A^{- 1} B$ . Existența se verifică prin înlocuire, iar unicitatea rezultă înmulțind orice soluție la stânga cu $A^{- 1}$ .

Algoritmul are cinci pași: scrii sistemul ordonat (cu $0$ acolo unde lipsește o necunoscută), identifici $A$ , $X$ , $B$ , calculezi $det A$ , calculezi $A^{- 1} = \frac{1}{det A} A^{*}$ — unde $A^{*}$ este transpusa matricei complemenților algebrici — și efectuezi produsul $A^{- 1} B$ , verificând apoi soluția în toate ecuațiile.

Avantajul metodei apare când mai multe sisteme au aceeași matrice $A$ : inversa se calculează o singură dată. Condițiile de aplicare sunt două: matrice pătratică și determinant nenul.

De reținut

$A X = B$ și $det A \neq = 0 \Rightarrow X = A^{- 1} B$
Se înmulțește la STÂNGA, fiindcă $A$ stă în stânga lui $X$
Metoda cere sistem pătratic; altfel se lucrează cu rangul

Greșeala tipică

Se scrie soluția ca produsul dintre coloana termenilor liberi și inversă, în această ordine. Produsul nici nu are sens dimensional, iar în plus înmulțirea trebuie făcută de partea în care stă matricea coeficienților.

Exerciții din această mini-lecție

Fie $A \in M_{n} (C)$ cu $det A \neq = 0$ . Soluția sistemului $A X = B$ este:
- a) $X = B A^{- 1}$
- b) $X = A B^{- 1}$
- c) $X = A^{- 1} B^{- 1}$
- d) $X = A^{- 1} B$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $X = A^{- 1} B$

Se înmulțește la stânga cu $A^{- 1}$ , singura parte în care apare $A^{- 1} A = I_{n}$ . Scrierea $B A^{- 1}$ nu se poate nici măcar efectua: $B$ are tipul $n \times 1$ , iar $A^{- 1}$ tipul $n \times n$ , deci numărul de coloane ale lui $B$ nu se potrivește cu numărul de linii ale lui $A^{- 1}$ pentru $n \geq 2$ . Matricea $B$ nici nu are inversă, fiind o coloană.
Rezolvând sistemul $3 x + 5 y = 11$ , $2 x + 4 y = 10$ prin metoda matricei inverse, se obține:
- a) $(- 3, 4)$
- b) $(4, - 3)$
- c) $(3, - 4)$
- d) $(- 6, 8)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(- 3, 4)$

$det A = 12 - 10 = 2 \neq = 0$ , iar $A^{- 1} = \frac{1}{2} (4 - 2 - 5 3)$ . Atunci $X = \frac{1}{2} (44 - 50 - 22 + 30) = (- 3 4)$ . Uitarea împărțirii la $det A$ dă perechea $(- 6, 8)$ . Verificare: $- 9 + 20 = 11$ și $- 6 + 16 = 10$ .
Inversa matricei $A = (4172)$ este:
- a) $(2 - 7 - 1 4)$
- b) $(2 - 1 - 7 4)$
- c) $(- 4 1 7 - 2)$
- d) $(\frac{1}{4} 1 \frac{1}{7} \frac{1}{2})$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(2 - 1 - 7 4)$

$det A = 8 - 7 = 1$ . La ordinul $2$ , adjuncta se scrie direct: elementele de pe diagonala principală se schimbă între ele, iar celorlalte două li se schimbă semnul. Rezultă $A^{- 1} = (2 - 1 - 7 4)$ ; control: $A \cdot A^{- 1} = I_{2}$ . Prima variantă uită transpunerea, a treia schimbă semnul unde nu trebuie, iar inversa nu se obține niciodată luând inversele elementelor.

Întrebări conexe

De ce nu se poate împărți la o matrice?

Fiindcă operația de împărțire nu este definită la matrice; locul ei este luat de înmulțirea cu inversa. Cum înmulțirea nu este comutativă, trebuie precizat și de ce parte se face, ceea ce o simplă bară de fracție nu ar arăta.

Ce ordin trebuie să aibă sistemul ca să meargă metoda?

Numărul ecuațiilor trebuie să fie egal cu numărul necunoscutelor, altfel matricea nu este pătratică și nu are inversă. Pentru un sistem cu trei ecuații și patru necunoscute se folosesc rangul și necunoscutele secundare.

Cum aflu coloana necunoscutelor după ce am inversa?

Faci produsul dintre inversă și coloana termenilor liberi, în această ordine. Fiecare linie a rezultatului este o sumă de trei produse la ordinul $3$ , iar valorile ies direct, fără nicio altă prelucrare.

Ce se întâmplă cu soluția dacă schimb coloana termenilor liberi?

Se schimbă doar rezultatul înmulțirii, nu și inversa, care depinde numai de coeficienți. De aceea metoda este comodă când același sistem trebuie rezolvat pentru mai multe seturi de termeni liberi.

Cum rezolv mai multe sisteme cu aceeași matrice?

Calculezi inversa o singură dată și o înmulțești, pe rând, cu fiecare coloană de termeni liberi. Se pot chiar alătura coloanele într-un singur tablou, iar produsul dă simultan toate soluțiile.

Cât de mult se lungește calculul la ordinul 3?

Inversa cere un determinant de ordinul $3$ și nouă complemenți algebrici, fiecare determinant de ordinul $2$ . Este mai mult decât la regula lui Cramer, care are nevoie de patru determinanți, dar câștigul apare când sistemul se repetă.

Oamenii mai întreabă și: rezolvarea unui sistem cu matricea inversă · X egal A la minus unu ori B · metoda inversei la sisteme · sistem rezolvat prin înmulțire cu inversa