Când se arată că o submulțime $$H$$ a unui grup $$(G, \cdot)$$ este subgrup, ce nu trebuie verificat?

că legea este asociativă pe $$H$$

că $$xy \in H$$ pentru orice $$x, y \in H$$

că $$x^{-1} \in H$$ pentru orice $$x \in H$$

Care dintre următoarele mulțimi de matrice este subgrup al grupului $$\left(GL_2(\mathbb{R}), \cdot\right)$$?

$$\{A \mid \det A \in \{-1, 1\}\}$$

Ce este un subgrup?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Subgrupul și criteriul lui

Într-un grup $G$ , o parte $H$ care nu este vidă și care, păstrând aceeași lege, ajunge la rândul ei grup se numește subgrup. Nu rescrii toate axiomele: asociativitatea se transmite de la $G$ , iar neutrul și simetricele sunt cele de acolo. Rămâne de arătat că $H \neq = \emptyset$ , că produsul a două elemente din $H$ cade tot în $H$ și că inversul fiecăruia rămâne acolo. Numerele pare formează subgrup în $(Z, +)$ .

Subgrupul unui grup $(G, \cdot)$ este o submulțime nevidă $H$ care, cu legea moștenită din $G$ , este ea însăși grup; se scrie în cuvinte „ $H$ este subgrup al lui $G$ ”, fără simbol. Două economii esențiale: asociativitatea nu se verifică niciodată, fiind adevărată pentru toate elementele lui $G$ , iar elementul neutru și simetricele lui $H$ coincid cu cele ale lui $G$ . De aici testul rapid de respingere: dacă $e \in / H$ , atunci $H$ nu este subgrup.

Criteriul de subgrup: $H \subseteq G$ este subgrup dacă și numai dacă $H \neq = \emptyset$ , $x y \in H$ pentru orice $x, y \in H$ și $x^{- 1} \in H$ pentru orice $x \in H$ . Redactarea are patru rânduri: incluziunea, nevidarea (de regulă arătând că $e \in H$ ), stabilitatea și inversele. În notație aditivă condițiile devin $x + y \in H$ și $- x \in H$ . Forma comprimată „ $x, y \in H \Rightarrow x y^{- 1} \in H$ ” este o observație de calcul, nu o definiție. Deosebirea de parte stabilă se reține pe contraexemplul $N$ în $(Z, +)$ : stabil la adunare, dar $3$ nu are opus în $N$ . Orice grup are subgrupurile improprii ${e}$ și $G$ . Intersecția a două subgrupuri este întotdeauna subgrup; reuniunea, în general, nu — contraexemplul de reținut este ${\hat{0}, \hat{3}} \cup {\hat{0}, \hat{2}, \hat{4}}$ în $Z_{6}$ .

De reținut

criteriul: $H \neq = \emptyset$ , $x y \in H$ și $x^{- 1} \in H$
asociativitatea nu se verifică, iar neutrul și simetricele coincid cu cele din $G$
intersecția a două subgrupuri este subgrup; reuniunea, în general, nu

Greșeala tipică

Se verifică asociativitatea pentru elementele lui $H$ , ca și cum ar fi o axiomă separată. Legea lui $H$ fiind restricția legii lui $G$ , proprietatea se moștenește și se scrie într-o singură frază.

Exerciții din această mini-lecție

Care dintre următoarele submulțimi nu este subgrup al grupului $(Z, +)$ ?
- a) $7 Z$
- b) ${0}$
- c) $N$
- d) $Z$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $N$

Mulțimea $N$ este parte stabilă în raport cu adunarea și conține elementul neutru $0$ , dar nu este subgrup: opusul lui $3$ este $- 3$ , care nu se află în $N$ . Este contraexemplul-etalon pentru deosebirea dintre parte stabilă și subgrup. Celelalte trei verifică toate condițiile criteriului, iar ${0}$ și $Z$ sunt subgrupurile improprii.
Când se arată că o submulțime $H$ a unui grup $(G, \cdot)$ este subgrup, ce nu trebuie verificat?
- a) că $H$ este nevidă
- b) că legea este asociativă pe $H$
- c) că $x y \in H$ pentru orice $x, y \in H$
- d) că $x^{- 1} \in H$ pentru orice $x \in H$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) că legea este asociativă pe $H$

Asociativitatea se moștenește: egalitatea $(x y) z = x (y z)$ este adevărată pentru orice trei elemente ale lui $G$ , deci în particular pentru cele din $H$ . Se scrie o singură frază, „asociativitatea se moștenește din $G$ ”. Celelalte trei condiții formează exact criteriul de subgrup și toate trebuie verificate — fără nevidare, criteriul ar fi îndeplinit și de mulțimea vidă.
Care dintre următoarele mulțimi de matrice este subgrup al grupului $(G L_{2} (R), \cdot)$ ?
- a) ${A ∣ det A \in {- 1, 1}}$
- b) ${A ∣ det A = - 1}$
- c) ${A ∣ det A \geq 1}$
- d) ${A ∣ det A = 0}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) ${A ∣ det A \in {- 1, 1}}$

Din $det (A B) = det A \cdot det B$ , produsul a două matrice cu determinantul $\pm 1$ are tot determinantul $\pm 1$ ; $I_{2}$ aparține mulțimii, iar din $det A \cdot det (A^{- 1}) = 1$ rezultă $det (A^{- 1}) = \pm 1$ . Prima mulțime nu conține $I_{2}$ și nu e stabilă ( $(- 1) (- 1) = 1$ ); a treia nu conține inversele ( $det A = 2$ dă $det A^{- 1} = \frac{1}{2}$ ); a patra nici măcar nu este inclusă în $G L_{2} (R)$ .

Întrebări conexe

Ce arată exemplul numerelor naturale în grupul aditiv al întregilor?

Arată deosebirea dintre parte stabilă și subgrup. Suma a două numere naturale rămâne naturală, deci stabilitatea e îndeplinită, dar $3$ nu are opus în $N$ , așa că a doua condiție cade. Stabilitatea singură nu ajunge niciodată pentru structura de subgrup.

Este intersecția a două subgrupuri tot subgrup?

Da, întotdeauna. Neutrul se află în amândouă, deci și în intersecție; dacă două elemente sunt în intersecție, produsul și simetricele lor stau în fiecare subgrup, prin urmare tot în intersecție. Reuniunea, în schimb, cade de regulă chiar la stabilitate.

Ce înseamnă forma comprimată a criteriului de subgrup?

Este scrierea în care din $x, y \in H$ se cere $x y^{- 1} \in H$ , adunând cele două condiții într-una singură. Ea ajută la calcule scurte, dar rămâne o observație, nu o definiție; la examen se redactează varianta desfășurată, cu nevidarea, stabilitatea și simetricele scrise separat.

Câte rânduri are redactarea corectă a criteriului de subgrup?

Patru: incluziunea lui $H$ în grup, faptul că $H$ nu este vidă, stabilitatea la operație și apartenența simetricelor. Asociativitatea nu se scrie deloc, fiind moștenită. În notație aditivă, ultimele două rânduri devin $x + y \in H$ și $- x \in H$ .

Coincide elementul neutru al subgrupului cu cel al grupului?

Da, și la fel se întâmplă cu simetricele. Dacă $e_{H}$ ar fi neutrul lui $H$ , din $e_{H} e_{H} = e_{H}$ se simplifică în grupul mare și iese $e_{H} = e$ . De aceea nu se caută niciodată alt neutru pentru un subgrup.

Ce subgrupuri are grupul aditiv al claselor de resturi modulo 6?

Are patru: ${\hat{0}}$ , ${\hat{0}, \hat{3}}$ , ${\hat{0}, \hat{2}, \hat{4}}$ și tot grupul. Cardinalele lor, $1$ , $2$ , $3$ și $6$ , sunt tocmai divizorii lui $6$ . Reuniunea celui de-al doilea cu al treilea nu e subgrup, fiindcă $\hat{3} + \hat{2} = \hat{5}$ iese din ea.

De ce trebuie ca subgrupul să conțină neutrul?

Pentru că neutrul unui subgrup coincide cu cel al grupului mare, iar orice grup îl are pe $e$ . De aici vine respingerea rapidă: lipsa lui $e$ din $H$ încheie problema într-un rând, fără alte verificări. Tot apartenența lui $e$ este și felul obișnuit de a arăta că mulțimea $H$ nu este vidă, condiție cerută explicit de criteriu.

Oamenii mai întreabă și: definiția subgrupului · criteriul de subgrup · cum arăt că o mulțime este subgrup · parte stabilă și subgrup · subgrupurile improprii