Ce grupuri cunoscute sunt ciclice?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Subgrupul generat; grupuri ciclice

Sunt ciclice $(Z, +)$ , generat de $1$ , apoi $(Z_{n}, +)$ , generat de $\hat{1}$ , și $(U_{n}, \cdot)$ , generat de $ε_{1}$ . Se adaugă o familie întreagă: dacă un grup are drept cardinal un număr prim, atunci oricare element în afară de neutru îl produce pe tot. Nu sunt ciclice grupul lui Klein și $(S_{3}, \circ)$ , unde ordinele elementelor rămân sub cardinalul grupului.

Subgrupul generat de un element $x$ este mulțimea tuturor puterilor lui cu exponent întreg, $⟨ x ⟩ = {x^{k} ∣ k \in Z}$ ; el este subgrup (criteriul se verifică folosind doar regulile puterilor) și este cel mai mic subgrup care îl conține pe $x$ , pentru că orice subgrup care îl conține pe $x$ conține toate puterile lui. În notație aditivă, $⟨ x ⟩ = {k x ∣ k \in Z}$ .

Legătura cu ordinul este strânsă: dacă $ord (x) = n$ este finit, atunci $⟨ x ⟩ = {e, x, x^{2}, \dots, x^{n - 1}}$ și $card ⟨ x ⟩ = ord (x)$ — o dată calculat ordinul, știi deja câte elemente are subgrupul. Pentru un element de ordin infinit, $⟨ x ⟩$ este infinit. Un grup se numește ciclic dacă există $x$ cu $G = ⟨ x ⟩$ ; un asemenea $x$ se numește generator. Exemplele standard sunt $(Z, +)$ , generat de $1$ , $(Z_{n}, +)$ , generat de $\hat{1}$ , și $(U_{n}, \cdot)$ , generat de $ε_{1}$ . În $(Z_{n}, +)$ , clasa $\hat{k}$ este generator dacă și numai dacă $(k, n) = 1$ . Consecința 3 a teoremei lui Lagrange: orice grup cu un număr prim de elemente este ciclic, iar orice element diferit de $e$ îl generează. Grupul lui Klein și $(S_{3}, \circ)$ nu sunt ciclice: niciun element nu are ordinul egal cu cardinalul grupului.

De reținut

$⟨ x ⟩ = {x^{k} ∣ k \in Z}$ , iar $card ⟨ x ⟩ = ord (x)$
$\hat{k}$ generează $(Z_{n}, +)$ dacă și numai dacă $(k, n) = 1$
un grup al cărui cardinal este număr prim iese ciclic, generat de oricare element diferit de $e$

Greșeala tipică

Se pornește de la ideea că finit înseamnă ciclic. Contraexemplele stau la îndemână, de la grupul lui Klein la cel al permutărilor de trei obiecte, iar ciclicitatea e sigură numai când cardinalul este număr prim.

Exerciții din această mini-lecție

Câte elemente are subgrupul $⟨ \hat{9} ⟩$ generat de clasa $\hat{9}$ în grupul $(Z_{24}, +)$ ?
- a) $3$
- b) $8$
- c) $9$
- d) $24$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $8$

Avem $card ⟨ x ⟩ = ord (x)$ , iar $ord (\hat{9}) = \frac{24}{( 9 , 24 )} = \frac{24}{3} = 8$ . Subgrupul este ${\hat{0}, \hat{9}, 18, \hat{3}, 12, 21, \hat{6}, 15}$ , adică multiplii lui $\hat{3}$ . Varianta $3$ ia cel mai mare divizor comun, varianta $9$ confundă subgrupul cu elementul, iar $24$ ar cere ca $\hat{9}$ să fie generator.
Care dintre următoarele clase generează grupul $(Z_{20}, +)$ ?
- a) $\hat{4}$
- b) $\hat{5}$
- c) $13$
- d) $15$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $13$

Clasa $\hat{k}$ generează $(Z_{n}, +)$ dacă și numai dacă $(k, n) = 1$ . Avem $(4, 20) = 4$ , $(5, 20) = 5$ , $(15, 20) = 5$ , dar $(13, 20) = 1$ , deci doar $13$ are ordinul $20$ și parcurge tot grupul. Un criteriu greșit des folosit este „ $k$ să fie prim” — $\hat{5}$ îl îndeplinește, dar nu generează.
Care dintre următoarele grupuri nu este ciclic?
- a) grupul lui Klein
- b) $(U_{9}, \cdot)$
- c) $(Z_{13}, +)$
- d) $(Z, +)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) grupul lui Klein

În grupul lui Klein toate cele trei elemente diferite de neutru au ordinul $2$ , iar niciunul nu are ordinul $4$ ; cum un generator ar trebui să aibă ordinul egal cu numărul de elemente, grupul nu este ciclic. $(Z_{13}, +)$ este generat de $\hat{1}$ (și, având un număr prim de elemente, de oricare element nenul), $(U_{9}, \cdot)$ de $ε_{1}$ , iar $(Z, +)$ de $1$ .

Întrebări conexe

Ce înseamnă că subgrupul generat este cel mai mic care conține elementul?

Înseamnă că orice subgrup în care se află $x$ îl cuprinde pe $⟨ x ⟩$ în întregime. Motivul e simplu: fiind subgrup, el conține produsele lui $x$ cu el însuși și simetricele lor, adică toate puterile. Prin urmare $⟨ x ⟩$ este intersecția tuturor acestor subgrupuri.

Ce subgrupuri are un grup ciclic cu 6 elemente?

Patru, câte unul pentru fiecare divizor al lui $6$ : cu $1$ , $2$ , $3$ și $6$ elemente. În $(Z_{6}, +)$ ele sunt ${\hat{0}}$ , subgrupul generat de $\hat{3}$ , cel generat de $\hat{2}$ și tot grupul. Un grup ciclic are câte un subgrup pentru fiecare divizor al cardinalului.

De ce intră și puterile negative în subgrupul generat?

Pentru că definiția cere toți exponenții întregi, iar criteriul de subgrup impune ca simetricele să rămână în mulțime. Când ordinul e finit, ele nu aduc elemente noi, fiindcă $x^{- 1} = x^{n - 1}$ . La ordin infinit însă, exponenții negativi dau jumătate dintre elemente.

Ce generator are grupul aditiv al numerelor întregi?

Numărul $1$ , iar în notație aditivă puterile devin multipli: mulțimea ${k \cdot 1 ∣ k \in Z}$ este tot $Z$ . Al doilea generator este $- 1$ ; alte valori nu merg, fiindcă $2$ produce doar numerele pare. Grupul este așadar ciclic și infinit.

Cum se scrie subgrupul generat în notație aditivă?

Ca mulțimea multiplilor întregi ai elementului: $⟨ x ⟩ = {k x ∣ k \in Z}$ . Ridicarea la putere se transformă în înmulțire cu un întreg, iar neutrul devine $0$ . În $(Z, +)$ , subgrupul generat de $3$ este tocmai $3 Z$ .

Cum aflu ordinul unui element dintr-un grup finit?

Compui elementul cu el însuși până dai peste neutru; numărul de pași făcuți este ordinul. În $(Z_{12}, +)$ , clasa $\hat{4}$ dă $\hat{8}$ , apoi $\hat{0}$ , deci ordinul ei este $3$ . Valoarea găsită împarte întotdeauna numărul elementelor grupului.

Oamenii mai întreabă și: subgrupul generat de un element · ce este un grup ciclic · generatorii unui grup · grupuri ciclice exemple · cum arăt că un grup nu e ciclic