Ce mulțime formează numerele de forma na + mb?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Subgrupurile întregilor și ale complexelor

Formează subgrupul $d Z$ , unde $d = (n, m)$ este cel mai mare divizor comun al lui $n$ și $m$ ; pe scurt, mulțimea ${na + mb ∣ a, b \in Z}$ coincide cu multiplii lui $d$ . Pentru $n = 4$ și $m = 6$ ies toți multiplii lui $2$ . Intersecția $n Z \cap m Z$ dă, în schimb, multiplii celui mai mic multiplu comun.

Subgrupurile grupului aditiv al numerelor întregi sunt exact mulțimile $n Z = {nk ∣ k \in Z}$ , cu $n$ natural unic determinat: $0 Z = {0}$ și $1 Z = Z$ sunt subgrupurile improprii. Demonstrația reciprocei este modelul de raționament al lecției: dacă $H \neq = {0}$ , se ia $n$ cel mai mic element strict pozitiv al lui $H$ ; multiplii lui sunt în $H$ prin stabilitate și opuse, iar orice $m \in H$ se împarte cu rest la $n$ , restul $r = m - n q$ fiind tot în $H$ și mai mic decât $n$ , deci nul.

Comparația se face prin divizibilitate, cu sensul contra-intuitiv: $n Z \subseteq m Z$ dacă și numai dacă $m ∣ n$ , deci $12 Z \subseteq 6 Z \subseteq 3 Z$ . Mai departe, $n Z \cap m Z = [n, m] Z$ (cel mai mic multiplu comun), iar ${na + mb ∣ a, b \in Z} = (n, m) Z$ (cel mai mare divizor comun). În $(C^{*}, \cdot)$ , un subgrup finit are toate elementele de modul $1$ , altfel puterile unui element ar da o infinitate de valori distincte; iar teorema de clasificare spune că subgrupurile finite sunt exact mulțimile $U_{n}$ ale rădăcinilor de ordinul $n$ ale unității, cu $U_{n} \subseteq U_{m}$ dacă și numai dacă $n ∣ m$ . Cercul unitate $U$ este subgrup infinit și nu este niciun $U_{m}$ .

De reținut

subgrupurile lui $(Z, +)$ sunt exact mulțimile $n Z$ , cu $n$ natural
$n Z \subseteq m Z ⟺ m ∣ n$ , iar $n Z \cap m Z = [n, m] Z$
subgrupurile finite ale lui $(C^{*}, \cdot)$ sunt mulțimile $U_{n}$

Greșeala tipică

Se scrie $3 Z \subseteq 6 Z$ pentru că $3 < 6$ . Sensul incluziunii se citește invers: cu cât numărul este mai mare, cu atât mulțimea multiplilor lui este mai mică, deci $6 Z \subseteq 3 Z$ .

Exerciții din această mini-lecție

Intersecția $12 Z \cap 18 Z$ este:
- a) $6 Z$
- b) $36 Z$
- c) $216 Z$
- d) $30 Z$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $36 Z$

Elementele intersecției sunt numerele divizibile și cu $12$ , și cu $18$ , adică multiplii comuni; cel mai mic dintre cei strict pozitivi este $[12, 18] = 36$ , deci intersecția este $36 Z$ . Varianta $6 Z$ ia cel mai mare divizor comun, care corespunde mulțimii ${12 a + 18 b}$ ; varianta $216 Z$ ia produsul, iar $30 Z$ suma.
Mulțimea ${20 a + 14 b ∣ a, b \in Z}$ este egală cu:
- a) $2 Z$
- b) $140 Z$
- c) $34 Z$
- d) $Z$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $2 Z$

Mulțimea este subgrup al lui $(Z, +)$ , deci de forma $d Z$ , iar $d$ este cel mai mare divizor comun: $(20, 14) = 2$ . Varianta $140 Z$ ia cel mai mic multiplu comun, care corespunde intersecției $20 Z \cap 14 Z$ ; varianta $34 Z$ adună numerele; iar $Z$ ar cere ca cele două numere să fie prime între ele.
Care dintre următoarele mulțimi este subgrup al grupului $(U_{20}, \cdot)$ ?
- a) $U_{8}$
- b) $U_{40}$
- c) $U_{15}$
- d) $U_{10}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $U_{10}$

Avem $U_{n} \subseteq U_{m}$ dacă și numai dacă $n ∣ m$ . Dintre numerele date, doar $10$ divide $20$ , deci doar $U_{10}$ este subgrup al lui $U_{20}$ . Numerele $8$ și $15$ nu divid $20$ , iar $U_{40}$ îl conține pe $U_{20}$ , deci incluziunea merge în celălalt sens.

Întrebări conexe

Ce rol joacă împărțirea cu rest la clasificarea subgrupurilor întregilor?

Ea încheie demonstrația. Notezi cu $n$ cel mai mic număr strict pozitiv din subgrup, apoi împarți cu rest orice alt element $m$ la el: restul $r = m - n q$ rămâne în subgrup prin stabilitate, dar este mai mic decât $n$ , deci nu poate fi decât zero.

Care sunt subgrupurile improprii ale grupului aditiv al întregilor?

Sunt $0 Z = {0}$ și $1 Z = Z$ , adică cel mai mic și cel mai mare dintre toate. Ele apar în lista generală $n Z$ pentru $n = 0$ și pentru $n = 1$ , așa că teorema de clasificare le cuprinde fără nicio excepție.

Este cercul unitate subgrup al numerelor complexe nenule?

Da, dar unul infinit. Produsul a două numere de modul $1$ are tot modulul $1$ , iar inversul unui astfel de număr este conjugatul lui. Subgrupurile finite, în schimb, sunt exact mulțimile $U_{n}$ , deci cercul nu se confundă cu niciuna dintre ele.

Ce înseamnă că un subgrup al întregilor e determinat de un singur număr?

Înseamnă că fiecărui subgrup îi corespunde un $n$ natural bine precizat, iar subgrupul este mulțimea multiplilor lui. Două numere naturale diferite dau subgrupuri diferite, deci lista $n Z$ le cuprinde pe toate, fără repetiții.

Cum se alege cel mai mic element strict pozitiv într-o astfel de demonstrație?

Se pornește de la un subgrup diferit de ${0}$ , care conține deci un element nenul; împreună cu opusul lui, subgrupul conține și un număr strict pozitiv. Orice mulțime nevidă de numere naturale are un cel mai mic element, iar acela este $n$ -ul căutat.

De ce nu coincide cercul unitate cu nicio mulțime $U_{m}$ ?

Fiindcă fiecare mulțime $U_{m}$ are exact $m$ elemente, în timp ce pe cerc se află o infinitate de numere complexe. Un exemplu direct: numărul $cos 1 + i sin 1$ are modulul $1$ , dar nu este rădăcină de niciun ordin întreg a unității.

Oamenii mai întreabă și: subgrupurile lui Z · subgrupurile grupului aditiv al întregilor · n Z este subgrup · subgrupurile finite ale numerelor complexe · cel mai mare divizor comun ca subgrup