Aranjamente sau combinări, cum aleg?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Subiectul I: combinatorică și probabilități

Pui două întrebări, în ordinea aceasta: câte obiecte iei din câte și dacă ordinea lor contează. Când ordinea contează folosești aranjamente sau permutări, când nu contează folosești combinări. O echipă de trei dintr-un grup de zece se numără cu combinări, fiindcă locul fiecăruia nu are importanță; un podium de trei se numără însă cu aranjamente.

Toată combinatorica de examen pornește de la două întrebări, puse în ordinea aceasta: câte obiecte iau din câte? și contează ordinea? Dacă da, se numără cu $P_{n} = n!$ sau cu $A_{n}^{k} = \frac{n !}{( n - k )!}$ ; dacă nu, cu $C_{n}^{k} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$ . Egalitatea care leagă cele două numărări și scurtează jumătate dintre cerințe este $A_{n}^{k} = C_{n}^{k} \cdot k!$ . Două restricții se repetă: cifra $0$ nu poate sta pe prima poziție a unui număr, iar obiectele care trebuie să fie vecine se tratează ca un „bloc”. Ecuațiile cu $C_{n}^{k}$ sau $A_{n}^{k}$ se rezolvă în trei etape — condiția $n \geq k$ , desfacerea factorialelor, eliminarea soluției care nu o respectă. Din binomul lui Newton se cere un singur termen, prin $T_{k + 1} = C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$ , iar cerința se traduce într-o ecuație pusă pe exponent; atenție la deosebirea dintre $k$ și rangul $k + 1$ . Probabilitatea clasică este $P (A) = \frac{card A}{card Ω}$ , dată ca fracție ireductibilă din $[0, 1]$ . Cuvântul „cel puțin” cheamă evenimentul contrar, $P (\overline{A}) = 1 - P (A)$ , iar cuvântul „sau” cheamă formula reuniunii, $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ , în care scăderea intersecției nu se sare.

De reținut

$A_{n}^{k} = C_{n}^{k} \cdot k!$
$P (A) = \frac{card A}{card Ω}$
„cel puțin”: se trece la evenimentul contrar

Greșeala tipică

Se dă probabilitatea ca număr zecimal rotunjit. Răspunsul se scrie ca fracție ireductibilă cuprinsă între zero și unu, fiindcă rotunjirea pierde informație și nu se potrivește cu baremul.

Exerciții din această mini-lecție

Câte echipe de trei elevi se pot forma dintr-o clasă cu $11$ elevi?
- a) $A_{11}^{3} = 990$
- b) $P_{3} = 6$
- c) $C_{11}^{3} = 165$
- d) $11 \cdot 3 = 33$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $C_{11}^{3} = 165$

Prima întrebare este „contează ordinea?”. O echipă este o submulțime: nu are ordine, deci se numără cu combinări, $C_{11}^{3} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9}{6} = 165$ . Varianta cu aranjamente numără fiecare echipă de $3! = 6$ ori, câte o dată pentru fiecare ordonare a celor trei elevi — exact relația $A_{11}^{3} = C_{11}^{3} \cdot 3!$ , adică $990 = 165 \cdot 6$ .
Determinați numărul natural $n$ , $n \geq 2$ , pentru care $C_{n}^{2} = 21$ .
- a) $n = 7$
- b) $n = 6$
- c) $n = 42$
- d) $n = - 6$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $n = 7$

Etapa 1: condiția $n \geq 2$ e dată în enunț și se scrie. Etapa 2: $C_{n}^{2} = \frac{n ( n - 1 )}{2} = 21$ , deci $n (n - 1) = 42$ . Etapa 3: $n^{2} - n - 42 = 0$ , cu rădăcinile $7$ și $- 6$ ; a doua se elimină, fiind negativă. Verificare: $C_{7}^{2} = \frac{7 \cdot 6}{2} = 21$ ✓. Varianta $42$ confundă produsul $n (n - 1)$ cu $n$ .
Al câtelea termen al dezvoltării $(x + 3)^{12}$ îl conține pe $x^{4}$ ?
- a) al optulea
- b) al nouălea
- c) al patrulea
- d) al cincilea
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) al nouălea

Termenul general este $T_{k + 1} = C_{12}^{k} x^{12 - k} 3^{k}$ . Ecuația se pune pe exponentul lui $x$ : $12 - k = 4$ , deci $k = 8$ . Cerința fiind despre rang, răspunsul este $k + 1 = 9$ : termenul al nouălea. Varianta „al optulea” dă valoarea lui $k$ în loc de rang — confuzia cea mai frecventă din tot capitolul. Variantele $4$ și $5$ citesc exponentul drept rang.

Întrebări conexe

Ce egalitate leagă aranjamentele de combinări?

Numărul aranjamentelor este numărul combinărilor înmulțit cu factorialul lui $k$ : alegi întâi grupul, apoi îl așezi în toate ordinile posibile. Egalitatea scurtează jumătate dintre cerințe, fiindcă permite trecerea de la o numărare la alta fără desfacerea factorialelor.

Unde nu poate sta cifra 0 într-un număr?

Pe prima poziție, fiindcă un număr nu începe cu zero. Restricția se tratează separat: se numără întâi în câte feluri se poate alege prima cifră, apoi restul. Din numărul total se poate scădea și numărul variantelor interzise.

Ce etape are rezolvarea unei ecuații cu combinări?

Trei: se scriu condițiile asupra numerelor naturale care apar, se desfac factorialele și se simplifică, apoi se rezolvă ecuația rămasă și se resping soluțiile care nu respectă condițiile. Ultima etapă are punctajul ei în barem.

Cum se numără așezările în care două obiecte stau alături?

Se lipesc într-un singur bloc, se numără așezările pieselor rămase împreună cu blocul, apoi se înmulțește cu numărul de ordini dinăuntrul lui, adică doi. Pentru cerința contrară se scade rezultatul acesta din numărul total al așezărilor.

Ce deosebire e între k și rangul k plus 1 la binom?

Termenul de rang $k + 1$ are exponentul $k$ la al doilea factor, deci ecuația se pune pe exponent, nu pe numărul de ordine. Confuzia dintre ele mută răspunsul cu o poziție, adică la un termen vecin, dar greșit. Se scrie deci exponentul cerut, nu numărul de ordine al termenului.

Oamenii mai întreabă și: aranjamente sau combinări · când contează ordinea la numărare · probabilitate clasică · binomul lui Newton termen general · combinatorică la Subiectul I