Despre dreapta determinată de punctele $$A(3, -1)$$ și $$B(3, 5)$$ se poate afirma că:

nu are pantă, iar ecuația ei este $$x = 3$$

are panta $$0$$ și ecuația $$y = 3$$

Ce formule intră la geometrie analitică?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Subiectul I: geometrie analitică și trigonometrie

Distanța dintre două puncte, mijlocul unui segment, panta unei drepte, ecuația dreptei prin două puncte, condițiile de paralelism și de perpendicularitate, formula distanței până la o dreaptă și determinantul din care se citesc coliniaritatea sau aria unui triunghi. La trigonometrie se adaugă valorile remarcabile, formula fundamentală și teoremele din triunghiul oarecare.

În reperul cartezian, două formule susțin totul: $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$ și mijlocul $M (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}, \frac{y _{A} + y _{B}}{2})$ , din care iese și simetricul, $x_{A^{'}} = 2 x_{M} - x_{A}$ . Panta este $m = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$ , iar dreapta verticală nu are pantă și se scrie direct $x = x_{0}$ — cazul se verifică înainte de orice împărțire. Din forma generală $a x + b y + c = 0$ panta se citește ca $m = - \frac{a}{b}$ ; paralelismul cere $m_{1} = m_{2}$ , perpendicularitatea $m_{1} m_{2} = - 1$ , iar distanța de la un punct la o dreaptă este $d = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$ . Un singur determinant $3 \times 3$ răspunde la două întrebări: punctele sunt coliniare când $Δ = 0$ , iar altfel $S = \frac{1}{2} ∣ Δ ∣$ — modulul nu e decorativ, o arie nu iese niciodată negativă. În trigonometrie se lucrează cu tabelul valorilor remarcabile și cu reducerea la primul cadran; din $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ se află o funcție din alta, iar semnul îl decide cadranul, nu obișnuința. În triunghiul oarecare lucrează teorema cosinusului, teorema sinusurilor și $S = \frac{1}{2} b c sin A$ .

De reținut

$m = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$ ; perpendiculare: $m_{1} m_{2} = - 1$
$d = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$
$S = \frac{1}{2} ∣ Δ ∣$

Greșeala tipică

Se scrie aria unui triunghi fără modul. Determinantul poate ieși negativ, după ordinea în care au fost luate punctele, dar aria rămâne un număr pozitiv.

Exerciții din această mini-lecție

Despre dreapta determinată de punctele $A (3, - 1)$ și $B (3, 5)$ se poate afirma că:
- a) are panta $0$ și ecuația $y = 3$
- b) are panta $2$
- c) are panta $\frac{1}{3}$
- d) nu are pantă, iar ecuația ei este $x = 3$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) nu are pantă, iar ecuația ei este $x = 3$

Cele două puncte au aceeași abscisă, deci $x_{B} - x_{A} = 0$ : raportul $\frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$ nu are sens, iar dreapta este verticală. Ea se scrie direct $x = 3$ și se recunoaște în forma generală după $b = 0$ . Varianta cu panta $0$ descrie o dreaptă orizontală, adică exact cazul opus; celelalte două împart la zero fără să observe.
Determinați numărul real $a$ pentru care dreptele $d_{1} : y = - 4 x + 1$ și $d_{2} : y = (a + 2) x - 5$ sunt perpendiculare.
- a) $a = - 6$
- b) $a = - \frac{7}{4}$
- c) $a = 2$
- d) $a = \frac{1}{4}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $a = - \frac{7}{4}$

Condiția de perpendicularitate este $m_{1} m_{2} = - 1$ , adică $- 4 (a + 2) = - 1$ , deci $a + 2 = \frac{1}{4}$ și $a = - \frac{7}{4}$ . Varianta $- 6$ rezolvă condiția de paralelism, $a + 2 = - 4$ ; varianta $2$ ia $a + 2 = 4$ ; varianta $\frac{1}{4}$ oprește calculul la $a + 2$ , fără să scadă $2$ . Control: $- 4 \cdot \frac{1}{4} = - 1$ ✓.
Aria triunghiului cu vârfurile $O (0, 0)$ , $A (5, 2)$ și $B (2, 7)$ este egală cu:
- a) $31$
- b) $62$
- c) $\frac{31}{2}$
- d) $- \frac{31}{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $\frac{31}{2}$

Când un vârf este originea, determinantul se simplifică și rămâne $S_{O A B} = \frac{1}{2} ∣ x_{A} y_{B} - x_{B} y_{A} ∣ = \frac{1}{2} ∣ 35 - 4 ∣ = \frac{31}{2}$ . Varianta $31$ uită împărțirea la $2$ , varianta $62$ o înmulțește, iar varianta negativă uită modulul: semnul determinantului depinde numai de ordinea în care au fost scrise vârfurile, iar o arie este întotdeauna pozitivă.

Întrebări conexe

Ce se întâmplă cu panta la o dreaptă verticală?

Nu există, fiindcă la numitorul raportului ar apărea zero. Dreapta se scrie atunci direct sub forma cu prima coordonată constantă. Cazul se verifică înaintea oricărei împărțiri, ca să nu se piardă o soluție sau să apară o formulă fără sens.

Cum se citește panta din ecuația ax plus by plus c egal 0?

Este raportul dintre primul și al doilea coeficient, luat cu semn schimbat. Când al doilea coeficient este zero, dreapta iese verticală și nu are pantă. Din pantă se scriu apoi condiția de paralelism și cea de perpendicularitate.

Ce determinant răspunde la două întrebări deodată?

Cel format din coordonatele celor trei puncte, cu o coloană de unu. Dacă se anulează, punctele stau pe aceeași dreaptă; dacă nu, jumătate din modulul lui dă aria triunghiului. Barele nu sunt de ornament, fiindcă o arie nu iese niciodată negativă.

Cum se află simetricul unui punct față de alt punct?

Din formula mijlocului, citită invers: fiecare coordonată a simetricului este dublul coordonatei mijlocului, din care se scade coordonata punctului dat. Verificarea se face calculând mijlocul dintre punct și simetricul găsit.

Cum verific dacă un punct se află pe o dreaptă dată?

Se înlocuiesc coordonatele lui în ecuația dreptei și se vede dacă egalitatea se păstrează. Același calcul, cu modul și împărțit la radicalul din suma pătratelor primilor doi coeficienți, dă distanța de la punct la dreaptă atunci când egalitatea nu are loc.

Oamenii mai întreabă și: formule de geometrie analitică · distanța dintre două puncte · condiția de perpendicularitate · aria triunghiului cu determinant · trigonometrie la Subiectul I