Ce se cere la Subiectul I din complexe?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Subiectul I: complexe, exponențiale, logaritmi

Operații cu numere scrise în formă algebrică, împărțirea prin amplificare cu conjugatul numitorului, modulul și conjugatul, puterile unității imaginare, ecuația de gradul al doilea când discriminantul iese negativ și, pentru exponenți mari, trecerea la forma trigonometrică. Se cer și legături cu relațiile lui Viete, care rămân valabile și pentru rădăcini complexe conjugate.

Un număr complex se scrie $z = a + bi$ , cu $i^{2} = - 1$ ; operațiile se fac ca la binoame, iar împărțirea are o singură rețetă — amplificarea cu conjugatul numitorului, pentru că $(c + d i) (c - d i) = c^{2} + d^{2}$ . Merită știute pe de rost $(1 + i)^{2} = 2 i$ și $(1 - i)^{2} = - 2 i$ . Conjugatul este $\overset{z}{ˉ} = a - bi$ , modulul $∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}$ , iar relația care le leagă, $z \overset{z}{ˉ} = ∣ z ∣^{2}$ ; din $∣ z^{n} ∣ = ∣ z ∣^{n}$ se află modulul unei puteri fără a o calcula. Puterile lui $i$ se repetă din patru în patru, deci $i^{n} = i^{r}$ , unde $r$ este restul împărțirii lui $n$ la $4$ . Când $Δ < 0$ , ecuația de gradul al doilea are două soluții complexe conjugate, $x_{1, 2} = \frac{- b \pm i - Δ}{2 a}$ , iar relațiile lui Viète rămân neschimbate. Pentru exponenți mari se trece la forma trigonometrică și se aplică formula lui Moivre, $z^{n} = r^{n} (cos n φ + i sin n φ)$ , cu argumentul ales din cadran. Ecuațiile exponențiale se rezolvă prin aceeași bază, substituție ( $t = a^{x} > 0$ ) sau factor comun; la cele logaritmice, condițiile de existență se scriu înaintea oricărui calcul, iar soluțiile care nu le respectă se resping motivat.

De reținut

$i^{n} = i^{r}$ , cu $r$ restul împărțirii la $4$
$z \overset{z}{ˉ} = ∣ z ∣^{2}$
$z^{n} = r^{n} (cos n φ + i sin n φ)$

Greșeala tipică

Se împart două numere complexe fără amplificare. La numitor rămâne unitatea imaginară, deci rezultatul nu este scris în formă algebrică; amplificarea cu conjugatul face numitorul real.

Exerciții din această mini-lecție

Numărul $i^{115}$ este egal cu:
- a) $- i$
- b) $i$
- c) $- 1$
- d) $1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $- i$

Puterile lui $i$ se repetă din patru în patru, deci se împarte exponentul la $4$ și se citește restul: $115 = 4 \cdot 28 + 3$ , iar $i^{115} = i^{3} = - i$ . Fiecare dintre celelalte variante corespunde altui rest: $i^{1} = i$ , $i^{2} = - 1$ , $i^{4} = 1$ . Control: $i^{112} = (i^{4})^{28} = 1$ , deci $i^{115} = i^{3}$ .
Partea reală a numărului $z = \frac{2 + i}{1 - i}$ este egală cu:
- a) $\frac{3}{2}$
- b) $2$
- c) $\frac{1}{2}$
- d) $- \frac{1}{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $\frac{1}{2}$

Se amplifică cu conjugatul numitorului: $z = \frac{( 2 + i ) ( 1 + i )}{( 1 - i ) ( 1 + i )} = \frac{2 + 2 i + i - 1}{2} = \frac{1 + 3 i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ . Deci $Re (z) = \frac{1}{2}$ , iar $\frac{3}{2}$ este partea imaginară — confuzia cea mai frecventă. Varianta $2$ împarte părțile reale între ele, iar ultima greșește semnul lui $i^{2}$ .
Fie $x_{1}$ și $x_{2}$ soluțiile complexe ale ecuației $x^{2} - 6 x + 25 = 0$ . Atunci $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ este egal cu:
- a) $36$
- b) $14$
- c) $- 50$
- d) $- 14$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $- 14$

Nu e nevoie de rădăcini: din relațiile lui Viète, $x_{1} + x_{2} = 6$ și $x_{1} x_{2} = 25$ , iar identitatea $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2 x_{1} x_{2}$ dă $36 - 50 = - 14$ . Varianta $36$ oprește calculul la pătratul sumei, varianta $14$ greșește semnul, iar $- 50$ păstrează doar al doilea termen. Control direct: $Δ = - 64$ , deci $x_{1, 2} = 3 \pm 4 i$ și $(3 + 4 i)^{2} + (3 - 4 i)^{2} = - 7 + 24 i - 7 - 24 i = - 14$ ✓.

Întrebări conexe

Cât face 1 plus i, ridicat la pătrat?

Face $2 i$ . Dezvolți pătratul ca la binoame și folosești faptul că pătratul unității imaginare este $- 1$ : cei doi termeni de la capete se reduc, iar dublul produsului rămâne. Merită știut pe de rost, fiindcă scurtează puterile mari.

Cum se află modulul unei puteri fără să o calculez?

Modulul unei puteri este puterea modulului, deci se calculează întâi modulul numărului și apoi se ridică la exponentul cerut. Drumul acesta ocolește dezvoltarea unei puteri mari și se scrie în două rânduri.

Ce relație leagă un număr complex de conjugatul lui?

Produsul dintre ele este pătratul modulului, adică un număr real pozitiv. De aici vine și rețeta împărțirii: amplificarea cu conjugatul numitorului îl preschimbă într-un număr real, iar fracția se desface în parte reală și parte imaginară.

Rămân relațiile lui Viete valabile la rădăcini complexe?

Da, ele nu depind de semnul discriminantului. Când acesta iese negativ, cele două rădăcini sunt conjugate, suma lor rămâne un număr real, iar produsul la fel. Verificarea sumei și a produsului este un control rapid al rezolvării.

De ce se cere t strict pozitiv la substituția t egal a la x?

Fiindcă o putere cu bază pozitivă nu poate lua valori negative sau nule. Condiția aceasta respinge, la sfârșit, valorile care nu se pot întoarce la necunoscuta din enunț, iar respingerea se scrie, nu se face în gând.

Oamenii mai întreabă și: numere complexe la Bac · împărțirea numerelor complexe · puterile lui i · ecuație cu discriminant negativ · forma trigonometrică și Moivre