Mulțimea soluțiilor inecuației $$\dfrac{x-3}{x+2} \ge 0$$ este:

$$(-\infty, -2) \cup [3, +\infty)$$

$$(-\infty, -2] \cup [3, +\infty)$$

Ce se dă la Subiectul I din logaritmi?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Subiectul I: numere reale, ecuații, inecuații

Cerințele se învârt în jurul acelorași tipuri: operații cu logaritmi și schimbarea bazei, radicali și raționalizare, puteri cu exponent rațional, relațiile lui Viete, inecuații, ecuații exponențiale sau logaritmice și ecuații cu modul. Reflexul de învățat este că primul rând scris nu este calculul, ci condiția de existență, acolo unde ea se cere.

Din capitolul numerelor reale și al ecuațiilor, cerințele Subiectului I iau zece tipuri: calcul cu radicali, raționalizare, puteri cu exponent rațional, calcul cu logaritmi, schimbarea bazei, ecuația de gradul al doilea cu relațiile lui Viète, inecuații, ecuații exponențiale, ecuații logaritmice, ecuații și inecuații cu modul. Reflexul de învățat este unul singur: primul rând scris pe foaie nu este calculul, ci condiția — tipurile 1–6 nu au condiții și încep cu transformarea, tipurile 8–10 au și le pierd cei grăbiți. Reguli care se plătesc: $a^{2} = ∣ a ∣$ , deci înainte de a scoate un radical de sub pătrat se compară cele două numere și se decide semnul; $lo g_{a} x^{2} = 2 lo g_{a} ∣ x ∣$ , iar forma fără modul cere $x > 0$ . Un produs de logaritmi cu baze diferite se lipește prin $lo g_{a} b \cdot lo g_{b} c = lo g_{a} c$ , iar o sumă cu aceeași bază se strânge sub un singur logaritm; orice argument se scrie ca putere a bazei. Expresiile simetrice ale rădăcinilor se calculează din $S$ și $P$ : $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = S^{2} - 2 P$ . La ecuațiile exponențiale rezolvate prin substituție, revenirea la necunoscuta inițială este un pas punctat separat. Răspunsul unei inecuații se scrie ca interval, cu paranteză deschisă unde funcția nu e definită și închisă unde se anulează.

De reținut

$a^{2} = ∣ a ∣$
$lo g_{a} x^{2} = 2 lo g_{a} ∣ x ∣$
$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = S^{2} - 2 P$

Greșeala tipică

Se scot rădăcinile de sub pătrat fără modul. Radicalul unui pătrat dă modulul, deci înaintea simplificării se cercetează care număr e mai mare, ca să se afle semnul.

Exerciții din această mini-lecție

Calculați $(2 - 7)^{2}$ .
- a) $2 - 7$
- b) $7 - 2$
- c) $7 + 2$
- d) $3$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $7 - 2$

Rezultatul unui radical de ordin par este nenegativ, deci $a^{2} = ∣ a ∣$ . Cum $7 > 2$ (pentru că $7 > 4$ ), avem $2 - 7 < 0$ și $∣ 2 - 7 ∣ = 7 - 2$ . Varianta a) este greșeala clasică: se scoate expresia cu semnul ei, fără să se compare cele două numere.
Calculați $lo g_{3} 45 - lo g_{3} 5$ .
- a) $3$
- b) $9$
- c) $lo g_{3} 40$
- d) $2$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $2$

Diferența a doi logaritmi cu aceeași bază se strânge sub un singur logaritm, cu argumentele împărțite: $lo g_{3} \frac{45}{5} = lo g_{3} 9 = 2$ , pentru că $9 = 3^{2}$ . Varianta $lo g_{3} 40$ scade argumentele în loc să le împartă, iar $9$ oprește calculul la argument, fără să ia logaritmul.
Mulțimea soluțiilor inecuației $\frac{x - 3}{x + 2} \geq 0$ este:
- a) $(- \infty, - 2] \cup [3, + \infty)$
- b) $(- 2, 3)$
- c) $(- \infty, - 2) \cup [3, + \infty)$
- d) $[- 2, 3]$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $(- \infty, - 2) \cup [3, + \infty)$

Punem condiția $x \neq = - 2$ și facem tabelul de semn al câtului: acesta este pozitiv în afara rădăcinilor. În $- 2$ funcția nu este definită, deci paranteza rămâne deschisă; în $3$ câtul se anulează, iar inecuația fiind cu $\geq$ , paranteza se închide. Varianta a) închide paranteza în punctul exclus — exact deosebirea care aduce punctul de finalizare.

Întrebări conexe

Care tipuri de cerințe nu au condiții de existență?

Cele de calcul direct: radicali, raționalizare, puteri cu exponent rațional, operații cu logaritmi la argumente numerice, relațiile lui Viete. Ele încep cu transformarea. Condițiile apar la ecuațiile logaritmice, la cele cu modul și oriunde necunoscuta stă sub radical sau la numitor.

Cum se lipesc doi logaritmi cu baze diferite?

Cu formula care leagă trei numere: logaritmul celui de al doilea în baza primului, înmulțit cu logaritmul celui de al treilea în baza celui de al doilea, dă logaritmul celui de al treilea în baza primului. Produsul se scurtează astfel dintr-un rând.

Ce pas se punctează separat la o ecuație rezolvată prin substituție?

Întoarcerea la necunoscuta din enunț. După ce ai găsit valorile literei noi, mai trebuie rezolvată câte o ecuație pentru fiecare dintre ele. O rezolvare care se oprește la valorile substituției pierde punctele de finalizare.

Cum se scrie răspunsul unei inecuații de gradul al doilea?

Sub formă de interval, iar când soluția are două bucăți, ca reuniune. Paranteza rămâne deschisă unde funcția nu are sens și se închide unde egalitatea este permisă. O mulțime scrisă cu inegalități se acceptă, dar forma cu intervale se citește mai ușor.

Ce se calculează din suma și produsul rădăcinilor?

Expresiile simetrice, fără a afla rădăcinile: suma pătratelor este pătratul sumei minus dublul produsului, iar suma inverselor este raportul dintre sumă și produs. Drumul acesta scurtează cerințele în care rădăcinile ar ieși cu radicali greoi.

Oamenii mai întreabă și: Subiectul I numere reale · cerințe cu logaritmi la Bac · ecuații exponențiale la examen · condiții de existență la logaritmi · inecuații la Subiectul I