Mai intră inelele și polinoamele la Bac?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Subiectul al II-lea: inele, corpuri și polinoame

Pentru sesiunile de Bacalaureat M1 din $2027$, $2028$ și $2029$ inelele, corpurile și polinoamele peste un corp fac parte din materia de examen și pot ocupa toată a doua problemă a Subiectului al II-lea. Patru tipuri de enunț acoperă aproape tot: două legi pe $\mathbb{R}$, o mulțime de matrice, clasele de resturi, un polinom cu parametru. La primul tip, transportul de structură înlocuiește verificarea axiomelor: se propune $f(x)=x-a$, se arată că e bijectivă și că $f(x\oplus y)=f(x)+f(y)$, $f(x\otimes y)=f(x)f(y)$, iar structura moștenește tot. Elementele remarcabile se citesc prin $f^{-1}$: nulul este $a$, unitatea $a+1$, opusul lui $x$ este $2a-x$, iar inversul, pentru $x\ne a$, este $x^{-1}=a+\frac{1}{x-a}$ — nu $\frac{1}{x}$. La matrice de forma $a{I}_2+bJ$ cu $J^2=d{I}_2$ totul pornește de la pătratul lui $J$, iar dacă structura e corp depinde de corpul de scalari. Mulțimea ${\mathbb{Z}}_n$ este inel comutativ cu unitate pentru orice $n\ge 2$ și este corp dacă și numai dacă $n$ este prim; când $n$ nu e prim, clasele nenule se împart exact în inversabile și divizori ai lui zero. La polinoame, derivata formală arată că o rădăcină e simplă când nu anulează $f^{\prime }$, iar criteriul „reductibil $⟺$ are rădăcină” e valabil numai la gradele $2$ și $3$.

De reținut

• clasele de resturi dau corp $⟺$ numărul este prim
• reductibil $⟺$ are rădăcină: numai la gradele $2$ și $3$
• derivata formală arată rădăcinile multiple

Greșeala tipică

Se folosește criteriul rădăcinii și la gradul al patrulea. Acolo un polinom fără rădăcini poate fi totuși reductibil, ca produs de două polinoame de gradul al doilea.

Exerciții din această mini-lecție

1. Pe $\mathbb{R}$ se consideră legile $x\oplus y=x+y-19$ și $x\otimes y=(x-19)(y-19)+19$. Elementul-unitate al corpului $(\mathbb{R},\oplus ,\otimes )$ este:

   • a) $19$
   • b) $1$
   • c) $0$
   • d) $20$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $20$

   Prin transportul de structură cu $f(x)=x-19$, unitatea este $f^{-1}(1)=1+19=20$. Verificare directă: $20\otimes x=(20-19)(x-19)+19=x-19+19=x$ ✓. Varianta $19$ este elementul nul al structurii, $f^{-1}(0)$; variantele $1$ și $0$ sunt unitatea și nulul lui $(\mathbb{R},+,\cdot )$, adică ale structurii de sosire, nu ale celei din enunț.

2. Pentru legile $x\oplus y=x+y-19$ și $x\otimes y=(x-19)(y-19)+19$, inversul lui $x=23$ față de legea $\otimes$ este:

   • a) $\frac{1}{23}$
   • b) $15$
   • c) $\frac{77}{4}$
   • d) $\frac{1}{4}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $\frac{77}{4}$

   Notația $x^{-1}$ înseamnă aici simetricul față de $\otimes$, nu $\frac{1}{x}$: formula este $x^{-1}=19+\frac{1}{x-19}$, deci $23^{-1}=19+\frac{1}{4}=\frac{77}{4}$. Verificare: $\frac{77}{4}\otimes 23=\frac{1}{4}\cdot 4+19=20$, adică unitatea ✓. Varianta $\frac{1}{23}$ este exact greșeala pe care notația o provoacă, iar $15=2\cdot 19-23$ este opusul față de $\oplus$.

3. În inelul $({\mathbb{Z}}_{21},+,\cdot )$, numărul claselor nenule care sunt divizori ai lui zero este:

   • a) $12$
   • b) $8$
   • c) $20$
   • d) $0$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $8$

   Într-un inel ${\mathbb{Z}}_n$ cu $n$ neprim, clasele nenule se împart exact în două categorii: inversabile și divizori ai lui zero. Clasa $\hat{a}$ e inversabilă când $(a,21)=1$, iar acestea sunt $12$ la număr. Rămân $20-12=8$ divizori ai lui zero: clasele $\hat{3},\hat{6},\hat{9},\widehat{12},\widehat{15},\widehat{18}$ și $\hat{7},\widehat{14}$. Exemplu: $\hat{3}\cdot \hat{7}=\widehat{21}=\hat{0}$, cu ambii factori nenuli. Varianta $0$ ar cere ca $21$ să fie prim.

Întrebări conexe

Oamenii mai întreabă și: inele și corpuri la Bacalaureat · polinoame peste un corp · clasele de resturi corp · programa veche la Bac M1 · derivata formală a unui polinom