Ce se dă la Subiectul al II-lea cu matrice?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Subiectul al II-lea: matrice și determinanți

O matrice concretă, o familie cu parametru sau un sistem, cu trei subpuncte legate între ele, de câte $5$ puncte. Se cer de obicei un determinant, o putere a matricei, o ecuație matriceală ori regula de compunere a familiei date. Primul subpunct pregătește terenul pentru al doilea, iar acesta pentru al treilea, însă fiecare se punctează pe cont propriu.

Prima problemă a Subiectului al II-lea valorează $15$ puncte, are trei subpuncte de câte $5$ și pornește de la o matrice concretă, de la o familie cu parametru sau de la un sistem. Subpunctul a) dă unealta pentru b), iar b) pentru c), dar cele trei se punctează independent: dacă b) nu iese, la c) se scrie „presupunem demonstrat la b) că …” și se continuă. La o familie $G = {M (x)}$ , primul gest este calculul produsului $M (x) M (y)$ ; propoziția care aduce punctele este chiar regula de compunere, de tipul $M (x) M (y) = M (x + y)$ , din care se citesc apoi puterile și inversa. Determinantul se calculează după ordin: formula directă la ordinul $2$ , Sarrus numai la ordinul $3$ , iar de la ordinul $4$ transformări elementare urmate de dezvoltare. Proprietățile de reținut sunt $det (A B) = det A det B$ , $det (A^{k}) = (det A)^{k}$ , $det (^{t} A) = det A$ și, cu grijă, $det (α A) = α^{n} det A$ — factorul iese din fiecare linie. Ridicarea la putere are cinci metode: inducția, binomul lui Newton, șirurile recurente, matricea de rotație și ecuația Hamilton–Cayley, $A^{2} - tr (A) A + (det A) I_{2} = O_{2}$ . Împărțirea de matrice nu există: la $A X = B$ se înmulțește cu $A^{- 1}$ la stânga, la $Y A = B$ la dreapta, după ce s-a scris că $det \neq = 0$ .

De reținut

$det (A B) = det A det B$ , $det (A^{k}) = (det A)^{k}$
$det (α A) = α^{n} det A$
regula lui Sarrus numai la ordinul $3$

Greșeala tipică

Se scoate factorul comun din toată matricea o singură dată. Numărul iese din fiecare linie, deci la ordinul al doilea el apare la pătrat, iar la ordinul al treilea la cub.

Exerciții din această mini-lecție

Fie $A \in M_{3} (R)$ cu $det A = 3$ . Valoarea lui $det (- 2 A)$ este:
- a) $- 6$
- b) $- 24$
- c) $24$
- d) $6$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $- 24$

Scalarul se scoate din fiecare dintre cele $3$ linii, deci $det (α A) = α^{n} det A$ pentru $A \in M_{n}$ : aici $det (- 2 A) = (- 2)^{3} \cdot 3 = - 24$ . Varianta $- 6$ scoate factorul o singură dată — greșeala clasică. Varianta $24$ pierde semnul, uitând că $(- 2)^{3} < 0$ , iar $6$ le combină pe amândouă.
Fie $A, B, C \in M_{2} (R)$ , cu $det A \neq = 0$ și $det C \neq = 0$ . Soluția ecuației matriceale $A Z C = B$ este:
- a) $Z = A^{- 1} B C^{- 1}$
- b) $Z = C^{- 1} B A^{- 1}$
- c) $Z = A^{- 1} C^{- 1} B$
- d) $Z = B A^{- 1} C^{- 1}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $Z = A^{- 1} B C^{- 1}$

Se înmulțește de partea în care apare fiecare matrice: la stânga cu $A^{- 1}$ și la dreapta cu $C^{- 1}$ , adică $A^{- 1} (A Z C) C^{- 1} = A^{- 1} B C^{- 1}$ , de unde $Z = A^{- 1} B C^{- 1}$ . Înmulțirea matricelor nu este comutativă, deci celelalte trei aranjări dau, în general, matrice diferite. Redactarea completă începe cu propoziția „cum $det A \neq = 0$ și $det C \neq = 0$ , matricele sunt inversabile”.
Pentru $A = (53 - 6 - 4)$ , ecuația Hamilton–Cayley este:
- a) $A^{2} - A + 2 I_{2} = O_{2}$
- b) $A^{2} + A - 2 I_{2} = O_{2}$
- c) $A^{2} + 2 A - I_{2} = O_{2}$
- d) $A^{2} - A - 2 I_{2} = O_{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $A^{2} - A - 2 I_{2} = O_{2}$

Ecuația se scrie $A^{2} - tr (A) A + (det A) I_{2} = O_{2}$ . Aici $tr (A) = 5 + (- 4) = 1$ și $det A = - 20 + 18 = - 2$ , deci $A^{2} - A - 2 I_{2} = O_{2}$ . Prima variantă greșește semnul determinantului, a doua pe cel al urmei, iar ultima le schimbă rolurile. Control: $A^{2} = (73 - 6 - 2)$ , iar $A^{2} - A = (2002) = 2 I_{2}$ ✓.

Întrebări conexe

Ce se face dacă subpunctul b) nu iese?

Se trece mai departe și se scrie, la c), că se presupune demonstrat rezultatul cerut anterior. Subpunctele se punctează independent, deci ultimul poate lua punctajul întreg chiar dacă cel dinaintea lui a rămas neterminat.

Ce spune relația Hamilton-Cayley pentru o matrice de ordinul 2?

Că pătratul matricei, minus urma ei înmulțită cu matricea, plus determinantul înmulțit cu matricea unitate, dă matricea nulă. Din ea se scot ușor puterile mari și, uneori, inversa, fiindcă leagă pătratul de matricea însăși.

De ce nu există împărțirea matricelor?

Fiindcă înmulțirea lor nu este comutativă, deci nu s-ar ști care factor se simplifică. La o ecuație se înmulțește cu inversa, la stânga sau la dreapta, după locul necunoscutei, iar înainte se scrie că determinantul nu se anulează.

Ce proprietăți ale determinantului se rețin pentru examen?

Determinantul unui produs este produsul determinanților, cel al unei puteri este puterea determinantului, iar transpusa are același determinant. Când toată matricea se înmulțește cu un număr, acesta iese din fiecare linie, deci la puterea egală cu ordinul.

Care e primul gest la o familie de matrice cu parametru?

Calculul produsului a doi membri ai familiei. De acolo iese regula de compunere, adesea de forma în care parametrii se adună, iar din ea se citesc apoi puterile, elementul neutru și inversa. Propoziția aceasta aduce punctele.

Oamenii mai întreabă și: Subiectul al II-lea matrice · puterea unei matrice · ecuație matriceală · determinanți la Bac · familie de matrice cu parametru