Cum iau punctajul la o problemă de arie?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Subiectul al III-lea: arii și volume

Scrii formula folosită, apoi justifici pe rând pașii care se punctează: punctele comune ale curbelor, propoziția care spune cine merge pe deasupra, iar la volum ipoteza de continuitate și pozitivitate. Integrala se scrie fără bare, cu funcțiile puse în ordinea potrivită. La final dai rezultatul cu unitatea lui și faci un control de semn.

Problema de arii și volume cere, de regulă, un calcul pregătitor la a), o arie la b) și un volum sau o modelare la c). Formulele, în notațiile unității: aria subgraficului este $S (Γ_{f}) = \int_{a}^{b} f (x) d x$ , pentru $f$ continuă și pozitivă; aria dintre două grafice este $S = \int_{a}^{b} ∣ f (x) - g (x)∣ d x$ ; volumul corpului de rotație în jurul axei $O x$ este $V (C_{f}) = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x$ — cu pătratul funcției și cu $π$ la vedere. Aria dintre două grafice se calculează în trei etape: intersecțiile, stabilirea în scris a funcției de deasupra pe fiecare interval, apoi integrala diferenței fără modul, cu funcția de deasupra prima. Când funcția își schimbă semnul, aria nu este integrala: se află zerourile, se face tabelul de semn și se adună integralele luate cu semnul care le face pozitive. La conice lucrează formula de buzunar $\int_{- r}^{r} r^{2} - x^{2} d x = \frac{π r ^{2}}{2}$ , din care ies aria discului și aria interiorului elipsei, $π ab$ ; iar la o parabolă cu axa orizontală se integrează după $y$ . Fiecare rezultat se controlează: o arie iese pozitivă, un volum e cel mult cât al cilindrului de rază $max f$ , iar o modelare se încheie cu unitatea de măsură scrisă.

De reținut

$S = \int_{a}^{b} ∣ f - g ∣ d x$ , desfăcut pe bucăți
$V = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x$
parabolă culcată: se integrează după a doua variabilă

Greșeala tipică

Se sare peste propoziția care spune cine merge deasupra. Ea se punctează separat, iar fără ea integrala scrisă pare aleasă la întâmplare, chiar dacă ordinea nimerită este cea bună.

Exerciții din această mini-lecție

Aria suprafeței cuprinse între graficul funcției $f : [0, 6] \to R$ , $f (x) = 6 x - x^{2}$ , și axa $O x$ este egală cu:
- a) $36$
- b) $18$
- c) $72$
- d) $12$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $36$

Pe $[0, 6]$ avem $f (x) = x (6 - x) \geq 0$ , deci aria este integrala: $S = \int_{0}^{6} (6 x - x^{2}) d x = (3 x^{2} - \frac{x ^{3}}{3})_{0}^{6} = 108 - 72 = 36$ . Verificarea semnului este pasul care decide dacă se poate folosi formula simplă — fără el, riscul e să se aplice pe un interval unde funcția schimbă semnul. Control de încadrare: regiunea intră într-un dreptunghi $6 \times 9 = 54$ , iar $36 < 54$ ✓.
Aria suprafeței delimitate de graficul funcției $f (x) = x^{2} - 4 x$ , axa $O x$ și dreptele $x = 0$ , $x = 6$ este egală cu:
- a) $0$
- b) $\frac{32}{3}$
- c) $\frac{64}{3}$
- d) $24$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $\frac{64}{3}$

Funcția își schimbă semnul în $x = 4$ : negativă pe $(0, 4)$ , pozitivă pe $(4, 6)$ . Aria este suma integralelor luate cu semnul care le face pozitive: $\int_{0}^{4} (4 x - x^{2}) d x + \int_{4}^{6} (x^{2} - 4 x) d x = \frac{32}{3} + \frac{32}{3} = \frac{64}{3}$ . Varianta $0$ este exact $\int_{0}^{6} (x^{2} - 4 x) d x$ — integrala adună cu semn, aria răstoarnă bucata de sub axă. O arie nulă pentru o regiune nedegenerată e imposibilă.
Volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei $O x$ a subgraficului funcției $f : [0, 2] \to R$ , $f (x) = x + 1$ , este egal cu:
- a) $4 π$
- b) $\frac{26 π}{3}$
- c) $26 π$
- d) $\frac{8 π}{3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\frac{26 π}{3}$

Funcția e continuă și pozitivă pe $[0, 2]$ , deci $V = π \int_{0}^{2} (x + 1)^{2} d x = π \cdot \frac{( x + 1 ) ^{3}}{3}_{0}^{2} = π \frac{27 - 1}{3} = \frac{26 π}{3}$ . Varianta $4 π$ folosește $π \int f$ în loc de $π \int f^{2}$ — formula fără pătrat nu are nicio semnificație geometrică. Control: corpul e cuprins în cilindrul de rază $max f = 3$ și înălțime $2$ , adică $V \leq 18 π$ , iar $\frac{26 π}{3} \approx 8, 7 π$ ✓.

Întrebări conexe

Ce se pierde dacă nu tratez intersecția graficelor din interior?

Punctele pentru împărțirea intervalului și, de obicei, rezultatul însuși. Când curbele se încrucișează între capete, ordinea lor se schimbă, deci integrala trebuie ruptă în două, cu funcțiile inversate pe a doua bucată.

Ce formulă de buzunar rezolvă ariile cu conice?

Integrala radicalului dintr-o diferență de pătrate, luată între cele două capete opuse, care dă jumătate din aria discului. Din ea ies aria discului întreg și aria interiorului unei elipse, fără refacerea substituției de fiecare dată.

De ce se scrie fără modul integrala diferenței?

Fiindcă barele se desfac înaintea calculului, după ce s-a stabilit cine merge deasupra pe fiecare porțiune. O integrală lăsată cu bare nu se poate calcula direct, iar corectorul așteaptă să vadă ordinea funcțiilor scrisă explicit.

Ce se cere de obicei la subpunctul a) al problemei de arii?

Un calcul pregătitor: o primitivă, o valoare a funcției, un punct comun sau o verificare scurtă. Rezultatul lui se folosește la subpunctul următor, dar se punctează separat, deci merită scris cu grijă chiar dacă pare ușor.

Ce unități se scriu la o arie și ce unități la un volum?

Aria se dă în unități pătratice, iar volumul în unități cubice; la problemele cu poveste se folosesc unitățile din enunț. Lipsa lor costă puncte la modelări, unde răspunsul trebuie să fie o mărime, nu doar un număr.

Oamenii mai întreabă și: problema de arii și volume la Bac · cum se punctează o arie · volumul unui corp de rotație la examen · controale la arie și volum · aria dintre grafice la Bacalaureat