Funcția $$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$, $$f(x) = x^{2} - 6x + 11$$, are:

punctul de minim $$x = 3$$ și valoarea minimă $$2$$

punctul de minim $$x = 2$$ și valoarea minimă $$3$$

punctul de maxim $$x = 3$$ și valoarea maximă $$2$$

punctul de minim $$x = 3$$ și valoarea minimă $$11$$

Punctul de maxim local al funcției $$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$, $$f(x) = x^{2}e^{-x}$$, este:

funcția nu are puncte de maxim

Cum studiez monotonia cu derivata la Bac?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Subiectul al III-lea: derivate, monotonie, extreme

Calculezi derivata, îi afli semnul pe fiecare porțiune a domeniului și scrii concluzia pe intervale, niciodată pe o reuniune. Unde derivata iese pozitivă funcția urcă, unde iese negativă coboară. Punctele în care semnul derivatei se schimbă sunt puncte de extrem: din plus în minus maxim, din minus în plus minim. Se scriu amândouă, și punctul, și valoarea extremă.

Derivata într-un punct este panta tangentei, definită ca limita raportului de creștere $\frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{x - x _{0}}$ ; când limita există și e finită, funcția e derivabilă acolo. Din această unică definiție ies toate cerințele. Ecuația tangentei se scrie $y - f (x_{0}) = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$ , după ce se calculează, în ordine, $f (x_{0})$ și $f^{'} (x_{0})$ ; tangenta paralelă cu o dreaptă de pantă $m$ cere $f^{'} (x_{0}) = m$ , cea perpendiculară cere $f^{'} (x_{0}) m = - 1$ , iar cea orizontală, $f^{'} (x_{0}) = 0$ . Când derivata în punct e infinită, tangenta e verticală și se scrie $x = x_{0}$ . Monotonia se citește din semnul derivatei, prin Consecința 2 a teoremei lui Lagrange, iar concluzia se enunță pe un interval, niciodată pe o reuniune de intervale. Punctele de extrem se recunosc după schimbarea de semn a derivatei: din $+$ în $-$ maxim local, din $-$ în $+$ minim local; un punct critic fără schimbare de semn nu e punct de extrem. Deosebirea urmărită în fiecare an de bareme: punctul de extrem este $x_{0}$ , valoarea extremă este $f (x_{0})$ — se scriu amândouă. Inegalitățile se demonstrează cu metoda funcției auxiliare, iar constanta din inegalitate este chiar extremul global, obținut comparând valorile critice cu limitele de la capete.

De reținut

$f^{'} > 0$ : funcția urcă; $f^{'} < 0$ : coboară
tangenta: $y - f (x_{0}) = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$
punct de extrem: $x_{0}$ ; valoare extremă: $f (x_{0})$

Greșeala tipică

Se scrie monotonia pe o reuniune de intervale. Concluzia despre creștere se sprijină pe teorema lui Lagrange, care cere un interval; intervalele se enumeră separat, despărțite prin virgulă.

Exerciții din această mini-lecție

Ecuația tangentei la graficul funcției $f : R \to R$ , $f (x) = x^{3} - 4 x + 1$ , în punctul de abscisă $x_{0} = 2$ , este:
- a) $y = 8 x + 1$
- b) $y = 8 x - 16$
- c) $y = 8 x - 15$
- d) $y = 12 x - 23$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $y = 8 x - 15$

Se calculează, în ordine, $f (2) = 8 - 8 + 1 = 1$ și $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 4$ , deci $f^{'} (2) = 8$ . Formula „prin punct, cu panta dată” dă $y - 1 = 8 (x - 2)$ , adică $y = 8 x - 15$ . Control: pentru $x = 2$ ecuația dă $y = 1 = f (2)$ ✓ — verificarea care prinde imediat variantele $y = 8 x + 1$ și $y = 8 x - 16$ . Ultima variantă folosește $f^{'} (2) = 12$ , adică derivează greșit termenul liniar.
Funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} - 6 x + 11$ , are:
- a) punctul de minim $x = 2$ și valoarea minimă $3$
- b) punctul de minim $x = 3$ și valoarea minimă $2$
- c) punctul de maxim $x = 3$ și valoarea maximă $2$
- d) punctul de minim $x = 3$ și valoarea minimă $11$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) punctul de minim $x = 3$ și valoarea minimă $2$

$f^{'} (x) = 2 x - 6$ se anulează în $x = 3$ și schimbă semnul din $-$ în $+$ , deci $x = 3$ este punct de minim, iar valoarea minimă este $f (3) = 9 - 18 + 11 = 2$ . Punctul de extrem este o abscisă, valoarea extremă este funcția calculată în ea — cele două se numesc separat, iar inversarea lor este cea mai frecventă pierdere de puncte de la subpunctul b). Varianta cu maxim contrazice semnul lui $f^{'}$ .
Punctul de maxim local al funcției $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} e^{- x}$ , este:
- a) $x = 2$
- b) $x = 0$
- c) $x = - 2$
- d) funcția nu are puncte de maxim
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $x = 2$

Cu regula produsului și cea a funcțiilor compuse, $f^{'} (x) = 2 x e^{- x} - x^{2} e^{- x} = x (2 - x) e^{- x}$ . Cum $e^{- x} > 0$ , semnul lui $f^{'}$ este semnul lui $x (2 - x)$ : negativ pe $(- \infty, 0)$ , pozitiv pe $(0, 2)$ , negativ pe $(2, + \infty)$ . Derivata schimbă semnul din $-$ în $+$ în $0$ (minim) și din $+$ în $-$ în $2$ (maxim local). Valoarea maximă locală este $f (2) = 4 e^{- 2}$ .

Întrebări conexe

Ce ecuație are tangenta la grafic într-un punct dat?

Se scrie cu valoarea funcției și cu derivata ei în acel punct: diferența dintre a doua coordonată și valoarea funcției este egală cu derivata înmulțită cu diferența dintre prima coordonată și abscisa punctului. Se calculează întâi cele două numere.

Ce condiție cere tangenta perpendiculară pe o dreaptă dată?

Produsul dintre derivata în punct și panta dreptei date trebuie să fie minus unu. Pentru tangenta paralelă, cele două pante se egalează, iar pentru cea orizontală derivata se anulează. Din fiecare condiție iese o ecuație în abscisa punctului.

Ce se scrie când derivata într-un punct este infinită?

Tangenta este verticală, deci se scrie sub forma cu prima coordonată constantă, egală cu abscisa punctului. Formula obișnuită nu se poate folosi acolo, fiindcă panta nu este un număr; cazul se semnalează în rezolvare.

Ce constantă apare într-o inegalitate demonstrată cu derivate?

Chiar valoarea extremă globală a funcției auxiliare. Se construiește diferența dintre cei doi membri, i se studiază variația și se compară valorile din punctele critice cu limitele de la capete; cea mai mică dintre ele dă constanta căutată.

Când nu este punct de extrem un punct critic?

Când derivata se anulează, dar nu își schimbă semnul acolo. Graficul are atunci o tangentă orizontală, însă funcția își păstrează sensul de variație. Anularea derivatei este deci o condiție necesară, nu una suficientă.

Oamenii mai întreabă și: monotonia cu derivata · puncte de extrem la Bac · ecuația tangentei la grafic · semnul derivatei · inegalități cu derivate