Calculul $$\displaystyle\int_{-1}^{1}\dfrac{dx}{x^{2}} = \left(-\dfrac1x\right)\Big\vert_{-1}^{1} = -2$$ este greșit, pentru că:

funcția nu e definită în $$0$$, punct interior intervalului, deci nu e mărginită și nu e integrabilă pe $$[-1,1]$$

primitiva corectă este $$\dfrac1x$$, nu $$-\dfrac1x$$

lipsește constanta $$\mathcal{C}$$ din rezultat

trebuia scris $$\ln\lvert x \rvert$$ în loc de $$-\dfrac1x$$

Cum determin punctul c din teorema de medie?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Subiectul al III-lea: integrala definită și teorema de medie

Calculezi integrala, o împarți la lungimea intervalului și rezolvi ecuația în care funcția ia această valoare. Soluțiile căzute în afara intervalului închis din enunț se resping. Pentru $f (x) = x^{2}$ pe intervalul de la $0$ la $3$ media este $3$ , deci ecuația devine $c^{2} = 3$ , iar valoarea potrivită este $c = 3$ .

Problema de integrală definită cere, de regulă, un calcul la a), o proprietate la b) și o limită sau o proprietate a funcției integrale la c). Unealta principală este formula Leibniz–Newton, $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a) = F (x)_{a}^{b}$ , valabilă când $f$ e integrabilă pe $[a, b]$ și admite acolo o primitivă; când o ipoteză lipsește, formula dă un rezultat fals, iar semnalul de alarmă e limpede: un integrand pozitiv nu poate da o integrală negativă. La modul sau la funcții pe ramuri se aplică cei patru pași — justificarea integrabilității, tăierea intervalului prin aditivitate, Leibniz–Newton pe fiecare bucată, adunarea —, precedați de tabelul de semn al expresiei de sub bare. Subpunctul b) cere adesea o încadrare: se mărginește integrandul, se scrie dubla inegalitate cu justificarea ei și se integrează, prin monotonia integralei. A doua unealtă este inegalitatea modulului, $\int_{a}^{b} f \leq \int_{a}^{b} ∣ f ∣$ , cu egalitate doar când $f$ nu schimbă semnul. Teorema de medie afirmă doar existența unui $c \in [a, b]$ cu $\int_{a}^{b} f = f (c) (b - a)$ : $c$ nu e unic și nu e mijlocul intervalului. Pentru funcția integrală $F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$ cu $f$ continuă avem $F^{'} = f$ , deci monotonia lui $F$ vine din semnul lui $f$ , nu din monotonia ei.

De reținut

$\int_{a}^{b} f = f (c) (b - a)$ , cu $c \in [a, b]$
$\int_{a}^{b} f \leq \int_{a}^{b} ∣ f ∣$
$F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$ are $F^{'} = f$

Greșeala tipică

Se ia drept punct din teorema de medie mijlocul intervalului. Teorema nu spune unde se află, ci doar că există; el se determină rezolvând ecuația în care funcția ia valoarea medie.

Exerciții din această mini-lecție

Valoarea medie a funcției $f : [0, 2] \to R$ , $f (x) = 3 x^{2}$ , pe intervalul $[0, 2]$ este:
- a) $8$
- b) $2$
- c) $4$
- d) $12$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $4$

Valoarea medie este $\frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ . Aici $\int_{0}^{2} 3 x^{2} d x = x^{3}_{0}^{2} = 8$ , iar intervalul are lungimea $2$ , deci valoarea medie este $\frac{8}{2} = 4$ . Varianta $8$ dă integrala, nu media; varianta $12 = f (2)$ confundă media cu valoarea de la capăt, iar $2$ ia lungimea intervalului. Atenție: valoarea medie nu este $f (\frac{a + b}{2}) = f (1) = 3$ .
$\int_{- 1}^{2} ∣ x ∣ d x$ este egală cu:
- a) $1, 5$
- b) $0, 5$
- c) $4, 5$
- d) $2, 5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $2, 5$

Se face întâi tabelul de semn al expresiei de sub bare: $x < 0$ pe $[- 1, 0)$ și $x \geq 0$ pe $[0, 2]$ . Prin aditivitate, $\int_{- 1}^{2} ∣ x ∣ d x = \int_{- 1}^{0} (- x) d x + \int_{0}^{2} x d x = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2} = 2, 5$ . Fiecare bucată iese pozitivă, cum trebuie. Varianta $1, 5$ este integrala fără modul, $\int_{- 1}^{2} x d x$ — exact greșeala pe care ruperea intervalului o previne.
Calculul $\int_{- 1}^{1} \frac{d x}{x ^{2}} = (- \frac{1}{x})_{- 1}^{1} = - 2$ este greșit, pentru că:
- a) primitiva corectă este $\frac{1}{x}$ , nu $- \frac{1}{x}$
- b) funcția nu e definită în $0$ , punct interior intervalului, deci nu e mărginită și nu e integrabilă pe $[- 1, 1]$
- c) lipsește constanta $C$ din rezultat
- d) trebuia scris $ln ∣ x ∣$ în loc de $- \frac{1}{x}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) funcția nu e definită în $0$ , punct interior intervalului, deci nu e mărginită și nu e integrabilă pe $[- 1, 1]$

Formula Leibniz–Newton cere ca funcția să fie integrabilă pe $[a, b]$ , iar orice funcție integrabilă e mărginită. Aici funcția explodează în $0$ , punct interior intervalului, deci ipoteza cade și „rezultatul” obținut mecanic e fals. Semnalul se vede fără niciun calcul: integrandul este strict pozitiv, deci integrala nu are cum să iasă negativă. Primitiva $- \frac{1}{x}$ este corectă — pe fiecare dintre intervalele $(- \infty, 0)$ și $(0, + \infty)$ separat.

Întrebări conexe

Ce semnal arată că am aplicat greșit formula Leibniz-Newton?

Un rezultat negativ pentru un integrand care rămâne pozitiv pe interval. Semnalul apare când formula a fost dusă peste un punct în care funcția nu este definită sau nu rămâne mărginită, deci acolo unde primitiva lipsește.

Ce se scrie la o încadrare ca să iasă baremul?

Marginile integrandului, împreună cu motivul pentru care ele au loc, apoi propoziția care spune că integrala păstrează inegalitățile, iar la sfârșit cele două numere obținute. Sărirea peste justificarea marginilor este pierderea obișnuită de punctaj.

Este punctul c din teorema de medie mijlocul intervalului?

Nu, decât la funcțiile de gradul întâi. Teorema spune doar că un asemenea punct există în intervalul închis; el se află rezolvând o ecuație și poate să nu fie singurul. Presupunerea că ar fi mijlocul duce la un răspuns greșit.

De unde vine monotonia funcției integrale la subpunctul c)?

Din semnul integrandului, fiindcă derivata funcției integrale este chiar el. Acolo unde integrandul stă peste axă funcția urcă, iar unde stă dedesubt coboară. Sensul de variație al integrandului dă cu totul altceva: convexitatea.

Ce ipoteze se enunță înainte de a folosi teorema de medie?

Continuitatea funcției pe intervalul închis și mărginit din enunț. Propoziția se scrie înaintea concluziei, fiindcă fără ea teorema nu se aplică: pentru o funcție în trepte nu există niciun punct în care media să fie atinsă.

Oamenii mai întreabă și: punctul c din teorema de medie · valoarea medie a unei funcții · încadrarea unei integrale la Bac · integrala cu modul la examen · funcția integrală la Subiectul al III-lea