Se consideră $$f : \mathbb{R}\setminus\{-5, 5\} \to \mathbb{R}$$, $$f(x) = \dfrac{x^{2}-3x-10}{x^{2}-25}$$. Despre dreapta $$x = 5$$ se poate afirma că:

nu este asimptotă verticală, pentru că limita în $$5$$ este finită

este asimptotă verticală bilaterală

este asimptotă verticală numai la dreapta

Când am voie să folosesc L'Hôpital?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Subiectul al III-lea: limite, continuitate, asimptote

Doar după ce ai notat pe foaie că raportul duce la o nedeterminare de forma zero supra zero ori infinit supra infinit. Verificarea aceasta se punctează separat. Apoi derivezi separat numărătorul și numitorul, nu raportul, și reiei limita. Când nedeterminarea nu apare, regula dă un rezultat fals, iar valoarea se citește direct din operațiile cu limite.

Prima problemă a Subiectului al III-lea are trei subpuncte de câte $5$ puncte, cu dificultate crescătoare, iar primul e aproape mereu o limită. Prima întrebare la orice limită este „este caz de nedeterminare?”; dacă nu, se citește direct din operațiile în $\overline{R}$ , iar dacă da, nedeterminarea se numește în scris și abia apoi se alege unealta: factorizare la $\frac{0}{0}$ raționale, factor dominant la $\frac{\infty}{\infty}$ , conjugata la radicali, limitele fundamentale în jurul lui $0$ , logaritmare la $1^{\infty}$ . Regula lui L'Hôpital se aplică numai după verificarea scrisă a cazului, iar derivarea se face separat la numărător și la numitor. Continuitatea unei funcții pe ramuri se decide numai în punctele de racord, comparând cele două limite laterale cu $f (x_{0})$ ; „speța I” înseamnă limite laterale existente și finite. Asimptotele urmează schema în patru pași: domeniul, verticalele, capătul $- \infty$ , capătul $+ \infty$ . La fiecare capăt infinit se caută întâi orizontala și numai dacă ea lipsește se trece la cei trei pași ai oblicei, $m = lim \frac{f ( x )}{x}$ , apoi $n = lim (f (x) - m x)$ ; cele două se exclud reciproc. Un punct exclus din domeniu nu înseamnă automat asimptotă verticală: dacă limita e finită, graficul are acolo o gaură.

De reținut

L'Hôpital numai după verificarea scrisă a cazului
asimptote: domeniu, verticale, apoi capetele infinite
$m = lim \frac{f ( x )}{x}$ , apoi $n = lim (f (x) - m x)$

Greșeala tipică

Se derivează raportul, nu numărătorul și numitorul separat. Regula cere derivate luate pe rând, iar derivarea câtului duce la altă expresie, deci la un rezultat greșit.

Exerciții din această mini-lecție

Se consideră $f : R ∖ {- 5, 5} \to R$ , $f (x) = \frac{x ^{2} - 3 x - 10}{x ^{2} - 25}$ . Despre dreapta $x = 5$ se poate afirma că:
- a) este asimptotă verticală bilaterală
- b) nu este asimptotă verticală, pentru că limita în $5$ este finită
- c) este asimptotă verticală numai la dreapta
- d) este asimptotă orizontală
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) nu este asimptotă verticală, pentru că limita în $5$ este finită

Factorizăm o dată, pentru toată problema: $\frac{( x - 5 ) ( x + 2 )}{( x - 5 ) ( x + 5 )} = \frac{x + 2}{x + 5}$ pe domeniu. În $x = 5$ limita este $\frac{7}{10}$ , finită, deci graficul are acolo o gaură, în punctul $(5, \frac{7}{10})$ , nu o asimptotă. Verdictul îl dau întotdeauna limitele laterale, nu simpla excludere din domeniu. (În $x = - 5$ , în schimb, numărătorul formei simplificate valorează $- 3 \neq = 0$ , deci acolo chiar există asimptotă verticală.)
Asimptota oblică la graficul funcției $f (x) = \frac{3 x ^{2} - x + 4}{x + 1}$ , spre $+ \infty$ , are ecuația:
- a) $y = 3 x + 4$
- b) $y = 3 x - 1$
- c) $y = 3 x - 4$
- d) $y = 3 x$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $y = 3 x - 4$

Cel mai scurt drum e împărțirea: $3 x^{2} - x + 4 = (x + 1) (3 x - 4) + 8$ , deci $f (x) = 3 x - 4 + \frac{8}{x + 1}$ . Cu cei trei pași ai oblicei: $m = x \to + \infty lim \frac{f ( x )}{x} = 3$ , finit și nenul, apoi $n = x \to + \infty lim (f (x) - 3 x) = - 4$ , finit; concluzia este dreapta $y = 3 x - 4$ . Ordinea e obligatorie: întâi $m$ , apoi $n$ , și numai după ce s-a constatat că nu există orizontală.
Limita $x \to - \infty lim \frac{9 x ^{2} + 2}{x - 5}$ este egală cu:
- a) $3$
- b) $9$
- c) $- 9$
- d) $- 3$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $- 3$

La scoaterea lui $x$ de sub un radical de ordin par apare modulul: $9 x^{2} + 2 = ∣ x ∣ 9 + \frac{2}{x ^{2}}$ , iar pentru $x < 0$ avem $∣ x ∣ = - x$ . Raportul devine $\frac{- x 9 + \frac{2}{x ^{2}}}{x ( 1 - \frac{5}{x} )} \to - 3$ . Varianta $3$ este exact rezultatul obținut fără modul — greșeala din care ies, la funcțiile cu radical, două asimptote orizontale diferite la cele două capete.

Întrebări conexe

Ce se scrie în primul rând la orice limită?

Răspunsul la întrebarea dacă suntem sau nu într-un caz de nedeterminare. Dacă nu suntem, valoarea se citește direct din operațiile cu limite; dacă suntem, se numește tipul nedeterminării, iar abia apoi se alege unealta potrivită.

Ce unealtă se alege la nedeterminarea infinit supra infinit?

Scoaterea factorului dominant, adică a puterii celei mai mari, de la numărător și de la numitor. După simplificare rămâne un raport de coeficienți sau o limită imediată. Regula lui L'Hôpital merge și ea, dar drumul acesta este mai scurt.

Se exclud reciproc asimptota orizontală și cea oblică?

Da, la același capăt. Se caută întâi orizontala, prin limita funcției; dacă ea iese finită, oblica nu mai are cum să existe. Numai când limita este infinită se trece la panta oblicei, calculată ca limită a raportului dintre funcție și variabilă.

Cum se află semnul unei limite laterale infinite?

Din semnele celor doi termeni ai raportului, în apropierea punctului: numărătorul își păstrează semnul, iar numitorul îl schimbă la trecerea prin rădăcină. Tabelul de semn arată astfel dacă ramura urcă spre plus infinit sau coboară spre minus infinit.

Cum se calculează panta unei asimptote oblice?

Ca limită a raportului dintre funcție și variabilă, la capătul cercetat. Dacă acest număr există și este finit și nenul, se calculează apoi limita diferenței dintre funcție și produsul dintre pantă și variabilă, care dă termenul liber.

Oamenii mai întreabă și: regula lui L Hopital · când se aplică L Hopital · cazuri de nedeterminare · asimptote la Bac · limite la Subiectul al III-lea