Cerința „Arătați că $$F$$ este o primitivă a funcției $$f$$ pe intervalul $$I$$” se rezolvă:

derivând pe $$F$$ și comparând rezultatul cu $$f$$

integrând pe $$f$$ și comparând rezultatul cu $$F$$

calculând $$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$$

arătând că $$f$$ este continuă pe $$I$$

$$\displaystyle\int \dfrac{x}{x^{2}+25}\,dx$$ este egală cu:

$$\dfrac12\ln\left(x^{2}+25\right) + \mathcal{C}$$

$$\dfrac15\operatorname{arctg}\dfrac{x}{5} + \mathcal{C}$$

$$\ln\left(x^{2}+25\right) + \mathcal{C}$$

$$\dfrac12\operatorname{arctg}\dfrac{x}{5} + \mathcal{C}$$

$$\displaystyle\int x e^{3x}\,dx$$ este egală cu:

$$\dfrac{e^{3x}(3x-1)}{9} + \mathcal{C}$$

$$\dfrac{e^{3x}(3x+1)}{9} + \mathcal{C}$$

$$\dfrac{x^{2}e^{3x}}{2} + \mathcal{C}$$

$$\dfrac{e^{3x}(x-1)}{3} + \mathcal{C}$$

Cum arăt că F este o primitivă a lui f?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Subiectul al III-lea: primitive și metode de integrare

Prin derivare, în trei rânduri. Scrii întâi că funcția dată este derivabilă pe intervalul din enunț, apoi calculezi derivata ei și, la sfârșit, spui în cuvinte că ai obținut chiar funcția cerută, deci relația cerută are loc. Nu se integrează nimic: cerința se rezolvă în sens invers, iar cele trei rânduri acoperă tot punctajul.

A doua problemă a Subiectului al III-lea are trei subpuncte legate: a) o verificare pregătitoare, b) calculul primitivelor, c) o proprietate a primitivei. Funcția $F$ este primitivă a lui $f$ pe intervalul $I$ dacă $F$ e derivabilă pe $I$ și $F^{'} = f$ pe $I$ — de aceea subpunctul a) se rezolvă derivând, în trei rânduri: intervalul și derivabilitatea, calculul derivatei, concluzia cu cuvintele enunțului. Varianta înrudită, „arătați că $f$ admite primitive”, se rezolvă cu criteriul „orice funcție continuă pe un interval admite primitive”. Metoda de calcul se alege parcurgând arborele de decizie în ordine și oprindu-te la primul „da”: pasul zero de rescriere, tabelul, schimbarea de variabilă, integrarea prin părți, fracțiile simple, rețeta trinomului, recurența; când o verigă nu ajunge, se scrie lanțul de metode, cu tabelul ca ultimă verigă. La subpunctul c) nu se mai derivează expresia găsită: semnul lui $f$ dă monotonia lui $F$ , iar monotonia lui $f$ dă convexitatea lui $F$ , pentru că $F^{''} = f^{'}$ . Orice rezultat se scrie pe un interval, cu $+ C$ , iar modulul dintr-un logaritm se scoate numai împreună cu propoziția care spune de ce argumentul e pozitiv. Rândul din tabel se alege după numărător, nu după numitor.

De reținut

$F$ primitivă pe $I$ : derivabilă, cu $F^{'} = f$
verificarea se face derivând, nu integrând
modulul se scoate doar cu justificare

Greșeala tipică

Se pornește integrarea funcției, deși cerința era doar de verificat. Drumul acesta este mai lung și se poate împotmoli; derivarea funcției date rezolvă cerința în trei rânduri.

Exerciții din această mini-lecție

Cerința „Arătați că $F$ este o primitivă a funcției $f$ pe intervalul $I$ ” se rezolvă:
- a) derivând pe $F$ și comparând rezultatul cu $f$
- b) integrând pe $f$ și comparând rezultatul cu $F$
- c) calculând $\int_{a}^{b} f (x) d x$
- d) arătând că $f$ este continuă pe $I$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) derivând pe $F$ și comparând rezultatul cu $f$

Definiția spune că $F$ e primitivă a lui $f$ pe $I$ dacă $F$ e derivabilă pe $I$ și $F^{'} (x) = f (x)$ pentru orice $x \in I$ — deci verificarea este o derivare, cel mai ieftin punctaj din toată lucrarea. Integrarea aici înseamnă timp pierdut. Continuitatea lui $f$ e argumentul pentru cerința diferită „arătați că $f$ admite primitive”, nu pentru aceasta.
$\int \frac{x}{x ^{2} + 25} d x$ este egală cu:
- a) $\frac{1}{5} arctg \frac{x}{5} + C$
- b) $\frac{1}{2} ln (x^{2} + 25) + C$
- c) $ln (x^{2} + 25) + C$
- d) $\frac{1}{2} arctg \frac{x}{5} + C$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\frac{1}{2} ln (x^{2} + 25) + C$

Numărătorul decide rândul din tabel, nu numitorul. Aici numărătorul e proporțional cu derivata numitorului, deci se aplică $\int \frac{u ^{'}}{u} d x = ln ∣ u ∣ + C$ : cu $u = x^{2} + 25 > 0$ , rezultatul este $\frac{1}{2} ln (x^{2} + 25) + C$ , fără modul, pentru că argumentul e strict pozitiv. Varianta cu arctangentă ar fi răspunsul pentru $\int \frac{d x}{x ^{2} + 25}$ — același numitor, alt numărător.
$\int x e^{3 x} d x$ este egală cu:
- a) $\frac{e ^{3 x} ( 3 x + 1 )}{9} + C$
- b) $\frac{x ^{2} e ^{3 x}}{2} + C$
- c) $\frac{e ^{3 x} ( x - 1 )}{3} + C$
- d) $\frac{e ^{3 x} ( 3 x - 1 )}{9} + C$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $\frac{e ^{3 x} ( 3 x - 1 )}{9} + C$

Integrandul e produs de tipuri diferite, deci se integrează prin părți; regula descreșterii cere derivarea lui $x$ și integrarea lui $e^{3 x}$ : $\int x e^{3 x} d x = \frac{x e ^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int e^{3 x} d x = \frac{x e ^{3 x}}{3} - \frac{e ^{3 x}}{9} + C = \frac{e ^{3 x} ( 3 x - 1 )}{9} + C$ . Verificarea costă treizeci de secunde: derivând rezultatul se regăsește $x e^{3 x}$ ✓.

Întrebări conexe

Ce trei rânduri se scriu la subpunctul a) cu primitive?

Intervalul împreună cu derivabilitatea, calculul derivatei și concluzia scrisă cu cuvintele enunțului. Fiecare rând are punctajul lui, iar concluzia lipsește cel mai des, deși ea este cea care leagă calculul de ceea ce s-a cerut.

Cum se rezolvă cerința arătați că f admite primitive?

Cu criteriul de continuitate: se arată că funcția este continuă pe intervalul dat și se scrie că o funcție continuă pe un interval are primitive acolo. La funcțiile pe ramuri, continuitatea se cercetează în punctul de racord.

Ce se scrie la subpunctul c) fără să derivez expresia găsită?

Proprietățile primitivei se citesc din funcția dată: semnul ei arată unde urcă primitiva, iar sensul ei de variație arată unde primitiva devine convexă. Derivarea expresiei găsite ar fi un drum mai lung, cu riscuri de calcul în plus.

Ce se pierde dacă scot modulul din logaritm fără justificare?

Punctele pentru pasul de justificare. Barele se scot numai împreună cu propoziția care arată că argumentul rămâne pozitiv pe intervalul dat; altfel scrierea este incompletă, chiar dacă acolo rezultatul se nimerește corect.

Cum se leagă cele trei subpuncte ale problemei de primitive?

Primul dă o funcție sau o relație folosită mai departe, al doilea cere calculul propriu-zis, iar al treilea o proprietate a rezultatului. Dacă unul nu iese, se scrie că se presupune demonstrat și se merge mai departe.

Oamenii mai întreabă și: cum arăt că F este primitivă · subpunctul a) cu primitive · arătați că f admite primitive · redactarea la primitive · metode de integrare la Bac