Care dintre următoarele limite nu se poate calcula cu rețeta sumelor Riemann?

$$\lim\limits_{n\to\infty}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{n^{2}+k}$$

$$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac1n\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\sqrt{\dfrac kn}$$

$$\lim\limits_{n\to\infty}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{n}{n^{2}+k^{2}}$$

$$\lim\limits_{n\to\infty}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{n+2k}$$

Integralele $$\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^{5}x\,dx$$ și $$\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^{5}x\,dx$$:

sunt egale, prin trucul simetriei $$x \mapsto \dfrac{\pi}{2} - x$$

prima este strict mai mare decât a doua

a doua este strict mai mare decât prima

Cum calculez limita șirului n ori I n?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Subiectul al III-lea: șiruri de integrale și sume Riemann

Ai nevoie de amândouă: de recurență și de faptul că termenii scad ori cresc. Din inegalitatea dintre doi termeni vecini, pusă în recurență, iese o încadrare a termenului general, iar criteriul cleștelui închide calculul. Rezultatul este, de regulă, inversul sumei coeficienților din recurență, iar drumul se scrie în trei-patru rânduri.

Un șir de integrale are drept termeni integralele definite ale unei familii de funcții care depinde de indicele $n$ ; litera lui nu e fixată dinainte, ci se citește din enunț, împreună cu definiția termenului general. Despre el se pun, în ordine, Întrebarea 1 (monotonia), Întrebarea 2 (mărginirea sau o încadrare) și Întrebarea 3 (limita). Monotonia se citește comparând integranzii, nu integralele: pe $[0, 1]$ avem $x^{n + 1} \leq x^{n}$ , dar nu orice șir de integrale e descrescător — depinde de familia de funcții. Mărginirea vine dintr-o încadrare a integrandului, urmată de integrarea inegalităților. Relația de recurență se obține fie printr-o singură integrare prin părți, când integrandul are un factor care coboară gradul prin derivare, fie prin reconstituirea numitorului la numărător, caz în care coeficienții recurenței sunt chiar coeficienții numitorului, iar pasul recurenței este gradul lui. Pentru $lim n I_{n}$ se pornește de la recurență și de la monotonie: rezultatul este inversul sumei coeficienților. O limită de sumă cu $n$ termeni devine integrală numai dacă restul depinde de $k$ prin raportul $\frac{k}{n}$ ; atunci se scoate $\frac{1}{n}$ în față, se recunoaște $f (\frac{k}{n})$ , se scrie propoziția „ $f$ e continuă pe $[0, 1]$ , deci integrabilă” — pas punctat separat — și limita este $\int_{0}^{1} f (x) d x$ .

De reținut

recurență plus monotonie $\Rightarrow$ limita lui $n I_{n}$
sumă Riemann: restul depinde doar de $\frac{k}{n}$
propoziția despre continuitate se punctează

Greșeala tipică

Se trece de la sumă la integrală fără verificarea tiparului. Dacă restul nu depinde numai de raportul dintre indice și numărul termenilor, suma nu este sumă Riemann, iar limita iese greșită.

Exerciții din această mini-lecție

Care dintre următoarele limite nu se poate calcula cu rețeta sumelor Riemann?
- a) $n \to \infty lim \frac{1}{n} k = 1 \sum n \frac{k}{n}$
- b) $n \to \infty lim k = 1 \sum n \frac{n}{n ^{2} + k ^{2}}$
- c) $n \to \infty lim k = 1 \sum n \frac{1}{n + 2 k}$
- d) $n \to \infty lim k = 1 \sum n \frac{1}{n ^{2} + k}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $n \to \infty lim k = 1 \sum n \frac{1}{n ^{2} + k}$

Pasul $2$ al rețetei cere ca restul să depindă de $k$ numai prin raportul $\frac{k}{n}$ . Scriind $\frac{1}{n ^{2} + k} = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n + \frac{k}{n}}$ , în paranteză rămâne un $n$ singur, deci nu e sumă Riemann (limita ei este $0$ , prin încadrare). Celelalte trei se scriu ca $\frac{1}{n} \sum f (\frac{k}{n})$ și dau $\int_{0}^{1} x d x = \frac{2}{3}$ , $\int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + x ^{2}} = \frac{π}{4}$ și $\int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + 2 x} = \frac{ln 3}{2}$ .
Pentru $A_{n} = \int_{0}^{1} x^{n} e^{x} d x$ , $n \geq 1$ , integrarea prin părți dă:
- a) $A_{n} = e - n A_{n - 1}$
- b) $A_{n} = e + n A_{n - 1}$
- c) $A_{n} = e - A_{n - 1}$
- d) $A_{n} = n e - A_{n - 1}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $A_{n} = e - n A_{n - 1}$

Se derivează $x^{n}$ și se integrează $e^{x}$ : $A_{n} = x^{n} e^{x}_{0}^{1} - n \int_{0}^{1} x^{n - 1} e^{x} d x = e - n A_{n - 1}$ . Termenul din afara integralei se evaluează între limite — pas propriu integralei definite. Semnul minus vine din formula $\int f g^{'} = f g - \int f^{'} g$ , iar factorul $n$ din derivata lui $x^{n}$ ; variantele care le pierd se prind imediat pe $n = 1$ : $A_{1} = e - A_{0} = e - (e - 1) = 1$ , iar $\int_{0}^{1} x e^{x} d x = 1$ ✓.
Integralele $\int_{0}^{π /2} sin^{5} x d x$ și $\int_{0}^{π /2} cos^{5} x d x$ :
- a) sunt opuse
- b) prima este strict mai mare decât a doua
- c) sunt egale, prin trucul simetriei $x \mapsto \frac{π}{2} - x$
- d) a doua este strict mai mare decât prima
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) sunt egale, prin trucul simetriei $x \mapsto \frac{π}{2} - x$

Lema oglinzii spune că $\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (a + b - x) d x$ . Aplicată pe $[0, \frac{π}{2}]$ , substituția $x \mapsto \frac{π}{2} - x$ schimbă $sin$ cu $cos$ , deci cele două integrale sunt egale — fără niciun calcul. (Valoarea lor comună este $\frac{8}{15}$ .) Simetriile nu înlocuiesc recurențele, dar scurtează calculul primilor termeni și, uneori, dau direct răspunsul.

Întrebări conexe

Ce coeficienți are recurența obținută din reconstituirea numitorului?

Sunt luați de la numitor, iar recurența sare cu atâția pași cât este gradul acestuia. Se adună termenii potriviți astfel încât la numărător să apară numitorul, care se simplifică, lăsând o integrală ușor de calculat direct.

Când devine o limită de sumă o integrală?

Numai dacă, după scoaterea factorului din față, restul depinde de indice doar prin raportul dintre el și numărul termenilor. Atunci suma este o sumă Riemann, iar limita ei este integrala funcției citite din acel raport.

Ce pas este punctat separat la sumele Riemann?

Propoziția care spune că funcția este continuă pe interval, deci integrabilă. Ea justifică trecerea de la sumă la integrală și are punctajul ei în barem; fără ea rezolvarea rămâne incompletă, chiar dacă numărul final este cel bun.

Ce fac cu o sumă în care restul nu depinde de raportul k supra n?

Nu o tratezi ca sumă Riemann. Se caută atunci alte căi: criteriul cleștelui, o telescopare sau o comparație cu o sumă cunoscută. Forțarea trecerii la integrală dă un rezultat fals, fiindcă lipsește tocmai tiparul cerut.

Ce încadrare se folosește pentru mărginirea unui șir de integrale?

Cea obținută mărginind integrandul pe intervalul dat și integrând apoi inegalitatea. Rezultatul dă două șiruri simple între care stă termenul general; dacă amândouă au aceeași limită, se află și limita șirului.

Oamenii mai întreabă și: limita lui n ori In · șiruri de integrale la Bac · recurență și monotonie · sumă Riemann într-o limită · mărginirea unui șir de integrale