O funcție cu un punct exclus din domeniu se studiază:

într-un singur tabel de variație, în care rândul $$f(x)$$ primește cele două limite laterale despărțite de $$\vert$$

în două tabele de variație, câte unul pe interval

fără tabel de variație, doar cu lista asimptotelor

într-un tabel din care coloana punctului exclus lipsește

Punctele de inflexiune ale funcției $$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$, $$f(x) = x^{4} - 6x^{2} + 5$$, sunt:

$$x = -1$$, $$x = 0$$ și $$x = 1$$

funcția nu are puncte de inflexiune

Se consideră $$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$, $$f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 1$$, cu maximul local $$f(0) = 1$$ și minimul local $$f(2) = -3$$. Ecuația $$f(x) = m$$ are exact două soluții reale pentru:

$$m \in (-\infty, -3) \cup (1, +\infty)$$

Câte soluții are ecuația f de x egal m?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Subiectul al III-lea: studiul funcțiilor și graficul

Se citește din tabelul de variație: numărul soluțiilor este numărul intersecțiilor dintre grafic și dreapta orizontală de înălțime $m$ . Se caută întâi pragurile, adică valorile extreme locale și limitele finite din marginile domeniului, apoi se face un tabel cu două coloane, cu discuția pe fiecare interval dintre praguri. Cazurile de tangență primesc rând separat.

Tabelul de variație complet — rândurile $x$ , $f^{'} (x)$ , $f^{''} (x)$ , $f (x)$ — este obiectul din care se citesc toate răspunsurile subpunctului final: imaginea funcției, inegalitățile, numărul soluțiilor ecuației $f (x) = m$ , punctele de inflexiune și graficul. Studiul complet urmează schema în nouă pași: domeniul cu intersecțiile și paritatea, continuitatea și derivabilitatea, limitele și asimptotele, $f^{'}$ , $f^{''}$ , valorile în punctele marcate, tabelul, citirea lui și trasarea. La un punct exclus din domeniu rămâne un singur tabel, cu $∣$ pe rândurile derivatelor și cu cele două limite laterale despărțite de $∣$ pe rândul funcției. Discuția după parametru pornește de la valorile-prag — extremele locale și limitele finite de la capete — și se scrie într-un tabel cu exact două coloane; cazurile de tangență, în care $m$ e chiar o valoare extremă și ecuația are rădăcină dublă, primesc rând separat, iar regula capătului deschis spune că o ramură care se apropie de o asimptotă orizontală nu aduce nicio soluție. Șirul lui Rolle separă soluțiile ecuației $f (x) = 0$ : două valori consecutive de semne contrare dau exact o soluție între punctele lor, o valoare nulă dă soluție multiplă, două valori de același semn nu dau niciuna. Un zerou al lui $f^{''}$ este punct de inflexiune numai dacă $f^{''}$ își schimbă semnul acolo și funcția e derivabilă în acel punct.

De reținut

soluții $=$ intersecțiile graficului cu dreapta $y = m$
valori-prag: extremele locale și limitele finite
inflexiune: $f^{''}$ își schimbă semnul

Greșeala tipică

Se numără soluțiile fără să se discute și valorile-prag. Chiar în acele puncte numărul se schimbă, deci ele primesc rânduri proprii în tabelul discuției.

Exerciții din această mini-lecție

O funcție cu un punct exclus din domeniu se studiază:
- a) în două tabele de variație, câte unul pe interval
- b) fără tabel de variație, doar cu lista asimptotelor
- c) într-un tabel din care coloana punctului exclus lipsește
- d) într-un singur tabel de variație, în care rândul $f (x)$ primește cele două limite laterale despărțite de $∣$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) într-un singur tabel de variație, în care rândul $f (x)$ primește cele două limite laterale despărțite de $∣$

La tabelul de variație, punctul exclus primește $∣$ pe rândurile derivatelor și cele două limite laterale pe rândul funcției, iar tabelul rămâne unul singur. Două tabele se scriu doar la șirul lui Rolle, unde domeniul cu punct exclus cere câte un tabel pe interval — deosebirea dintre cele două situații e locul din care se pierde cel mai des un punct la subpunctul c).
Punctele de inflexiune ale funcției $f : R \to R$ , $f (x) = x^{4} - 6 x^{2} + 5$ , sunt:
- a) $x = - 1$ și $x = 1$
- b) $x = 0$
- c) $x = - 1$ , $x = 0$ și $x = 1$
- d) funcția nu are puncte de inflexiune
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $x = - 1$ și $x = 1$

$f^{''} (x) = 12 x^{2} - 12 = 12 (x - 1) (x + 1)$ se anulează în $\pm 1$ și își schimbă semnul în amândouă: pozitiv pe $(- \infty, - 1)$ , negativ pe $(- 1, 1)$ , pozitiv pe $(1, + \infty)$ . Deci ambele sunt puncte de inflexiune ale funcției. În $x = 0$ se anulează $f^{'}$ , nu $f^{''}$ — acolo funcția are un maxim local, nu o inflexiune. Contraexemplul-pereche de reținut: la $x^{4}$ , $f^{''} (0) = 0$ fără schimbare de semn, deci $0$ nu e punct de inflexiune.
Se consideră $f : R \to R$ , $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ , cu maximul local $f (0) = 1$ și minimul local $f (2) = - 3$ . Ecuația $f (x) = m$ are exact două soluții reale pentru:
- a) $m \in (- 3, 1)$
- b) $m \in {- 3, 1}$
- c) $m \in (- \infty, - 3) \cup (1, + \infty)$
- d) $m = 0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $m \in {- 3, 1}$

Valorile-prag sunt cele două extreme locale, $- 3$ și $1$ . Pentru $m$ strict între ele dreapta $y = m$ taie graficul în trei puncte; în afara lor, într-unul singur. Exact în valorile-prag apare tangența: dreapta atinge graficul fără să-l traverseze, ecuația are acolo o rădăcină dublă și, cu cea simplă de pe cealaltă ramură, exact două soluții reale. Cazurile de tangență se scriu pe rând separat în tabelul discuției — sărirea lor costă jumătate din subpunct.

Întrebări conexe

Ce valori-prag se caută la discuția după parametru?

Extremele locale ale funcției și limitele finite de la capetele domeniului. Ele taie axa în intervale, iar pe fiecare dintre acestea numărul soluțiilor rămâne același. Valorile-prag se trec în tabel și se discută și ele, una câte una.

Ce înseamnă caz de tangență la discuția cu parametru?

Situația în care parametrul este chiar o valoare extremă, deci dreapta orizontală atinge graficul fără să îl traverseze. Ecuația are atunci o rădăcină dublă, iar cazul se scrie pe un rând al lui, nu se amestecă cu intervalele vecine.

Ce înseamnă o valoare nulă în șirul lui Rolle?

Că punctul critic din dreptul ei este el însuși rădăcină a ecuației, deci o rădăcină multiplă a funcției. Se numără o dată, iar intervalele vecine se cercetează separat, ca să nu se piardă celelalte soluții.

Ce rânduri are tabelul de variație complet?

Patru: variabila, prima derivată, a doua derivată și funcția. Din primele trei se citesc monotonia și convexitatea, iar ultimul strânge valorile, limitele și săgețile. Din el ies apoi mulțimea valorilor, inegalitățile și numărul soluțiilor.

Ce se citește din tabelul de variație despre imaginea funcției?

Mulțimea valorilor, obținută reunind intervalele parcurse de funcție pe fiecare porțiune de monotonie. Capetele se iau din valorile extreme și din limitele de la marginile domeniului, cu paranteză închisă acolo unde valoarea chiar se atinge.

Oamenii mai întreabă și: numărul soluțiilor ecuației f de x egal m · discuție după parametru · tabelul de variație complet · șirul lui Rolle · imaginea unei funcții din tabel