Suma Riemann asociată funcției $$f$$, diviziunii $$\Delta = (x_0, \dots, x_n)$$ și sistemului $$\xi$$ este:

$$\sum\limits_{i=1}^{n} f(\xi_i)(x_i - x_{i-1})$$

$$\sum\limits_{i=1}^{n} f(x_i)(\xi_i - \xi_{i-1})$$

$$\sum\limits_{i=1}^{n} f(\xi_i)$$

$$\sum\limits_{i=1}^{n} f(x_i)(x_i - x_{i-1})$$

Ce este o sumă Riemann?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Sume Riemann

Este numărul $σ_{Δ} (f, ξ) = i = 1 \sum n f (ξ_{i}) (x_{i} - x_{i - 1})$ , format din valorile funcției în punctele intermediare, fiecare înmulțită cu lungimea bucății ei. Depinde de funcție, de diviziune și de punctele alese. Pentru o funcție continuă și pozitivă el măsoară aria unei figuri făcute din dreptunghiuri lipite, așezată peste regiunea de sub grafic; când funcția coboară sub axă, termenii respectivi intră cu minus.

Suma Riemann asociată funcției $f$ , diviziunii $Δ$ și sistemului de puncte intermediare $ξ$ este $σ_{Δ} (f, ξ) = i = 1 \sum n f (ξ_{i}) (x_{i} - x_{i - 1})$ . Ea depinde de toate cele trei date: schimbând punctele intermediare pe aceeași diviziune, numărul se schimbă.

Citirea geometrică, pentru $f$ continuă și pozitivă: suma este aria unei figuri în trepte, formată din dreptunghiuri de baze $[x_{i - 1}, x_{i}]$ și înălțimi $f (ξ_{i})$ , care aproximează subgraficul. Punctele diviziunii dau lungimea bucății, iar punctele intermediare dau înălțimea — de aceea $\sum f (ξ_{i})$ , fără factorul de lungime, nu este o sumă Riemann.

Alegerile standard se notează $σ_{st}$ , $σ_{mij}$ și $σ_{dr}$ . Sumele dreptunghiurilor înscrise și circumscrise ale unei funcții crescătoare sunt exact $σ_{st}$ și $σ_{dr}$ . La diviziunea echidistantă factorul $\frac{b - a}{n}$ este constant și se scoate în față.

Când $f$ ia și valori negative, termenii respectivi intră cu semnul minus: suma măsoară o arie cu semn. Pentru $f$ crescătoare și diviziune echidistantă, toate sumele Riemann stau într-o bandă de lățime $∥ Δ ∥ (f (b) - f (a))$ , care se strânge la zero odată cu norma — nu cu numărul de bucăți.

De reținut

$σ_{Δ} (f, ξ) = \sum f (ξ_{i}) (x_{i} - x_{i - 1})$
depinde de $f$ , de $Δ$ și de $ξ$
$f$ crescătoare: $s_{n} = σ_{st}$ , $S_{n} = σ_{dr}$

Greșeala tipică

Se scrie suma valorilor funcției, fără lungimile bucăților. Ce rezultă nu mai este o sumă Riemann și nu se apropie de nicio arie, fiindcă factorul de lungime face parte din fiecare termen.

Exerciții din această mini-lecție

Se consideră $f : [0, 4] \to R$ , $f (x) = x^{2}$ , diviziunea $Δ = (0, 1, 3, 4)$ și punctele intermediare luate în capetele din dreapta. Suma Riemann $σ_{Δ} (f, ξ)$ este:
- a) $26$
- b) $11$
- c) $35$
- d) $\frac{41}{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $35$

Punctele intermediare sunt $1$ , $3$ și $4$ , iar lungimile bucăților $1$ , $2$ și $1$ : $σ_{Δ} (f, ξ) = 1 \cdot 1 + 9 \cdot 2 + 16 \cdot 1 = 35$ . Varianta $11$ este suma cu punctele la stânga, varianta $26$ adună doar valorile $f (ξ_{i})$ , fără lungimi, iar $\frac{41}{2}$ este suma cu punctele la mijloc.
Suma Riemann asociată funcției $f$ , diviziunii $Δ = (x_{0}, \dots, x_{n})$ și sistemului $ξ$ este:
- a) $i = 1 \sum n f (x_{i}) (ξ_{i} - ξ_{i - 1})$
- b) $i = 1 \sum n f (ξ_{i}) (x_{i} - x_{i - 1})$
- c) $i = 1 \sum n f (ξ_{i})$
- d) $i = 1 \sum n f (x_{i}) (x_{i} - x_{i - 1})$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $i = 1 \sum n f (ξ_{i}) (x_{i} - x_{i - 1})$

Fiecare termen este o arie: înălțimea $f (ξ_{i})$ înmulțită cu lungimea $x_{i} - x_{i - 1}$ . Varianta c) pierde lungimile, varianta a) inversează rolurile celor două familii de puncte, iar varianta d) este corectă numai dacă s-a spus explicit că punctele intermediare se iau la dreapta.
Pentru $f : [0, 1] \to R$ , $f (x) = x$ , diviziunea echidistantă cu $n$ intervale și punctele intermediare luate la dreapta, suma Riemann este:
- a) $\frac{n + 1}{2 n}$
- b) $\frac{n - 1}{2 n}$
- c) $\frac{1}{2}$
- d) $\frac{n + 1}{2 n ^{2}}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{n + 1}{2 n}$

Punctele intermediare sunt $\frac{k}{n}$ , cu $k$ de la $1$ la $n$ , iar pasul este $\frac{1}{n}$ : $σ_{dr} = \frac{1}{n} k = 1 \sum n \frac{k}{n} = \frac{1}{n ^{2}} \cdot \frac{n ( n + 1 )}{2} = \frac{n + 1}{2 n}$ . Cu punctele la stânga suma este $\frac{n - 1}{2 n}$ ; ambele tind la $\frac{1}{2}$ , dar niciuna nu este constant $\frac{1}{2}$ .

Întrebări conexe

De ce trebuie înmulțit fiecare termen cu lungimea bucății?

Pentru că fiecare termen măsoară aria unui dreptunghi, iar aria cere și înălțime, și bază. Punctele diviziunii dau lungimea bucății, punctele intermediare dau înălțimea. Fără factorul de lungime ai aduna doar valori ale funcției, iar numărul obținut ar crește odată cu numărul bucăților.

Ce notații au sumele cu capetele din stânga, din mijloc și din dreapta?

Se scriu $σ_{st}$ , $σ_{mij}$ și $σ_{dr}$ , după punctul intermediar ales pe fiecare bucată. Sunt trei alegeri dintre o infinitate, dar cele mai folosite în calcule și în estimări, fiindcă se scriu ușor pe o diviziune cu bucăți egale.

Ce legătură au sumele dreptunghiurilor înscrise cu sumele Riemann?

Pentru o funcție crescătoare ele sunt exact $σ_{st}$ și $σ_{dr}$ : valoarea cea mai mică de pe fiecare bucată se atinge în capătul din stânga, iar cea mai mare în capătul din dreapta. Sumele înscrise și circumscrise sunt deci cazuri particulare, nu obiecte noi.

Cât de lată e banda în care stau sumele unei funcții crescătoare?

Cel mult $∥ Δ ∥ (f (b) - f (a))$ . Banda se strânge odată cu norma, nu odată cu numărul de bucăți, ceea ce explică de ce definiția integrabilității cere ca norma să tindă la zero. Pentru o funcție constantă banda are lățimea zero.

Ce sumă Riemann dă o funcție constantă?

Toate sumele dau același număr, $c (b - a)$ , indiferent de diviziune și de punctele alese: fiecare termen este $c$ înmulțit cu lungimea bucății, iar lungimile se adună la lungimea intervalului. Este cazul cel mai simplu în care valoarea nu depinde de alegeri.

Oamenii mai întreabă și: sumă Riemann definiție · formula sumei Riemann · interpretarea geometrică a sumei Riemann · figură în trepte · sume Riemann pe diviziune echidistantă