Se consideră $$f : \mathbb{R}^{*} \to \mathbb{R}$$, $$f(x) = x + \dfrac{4}{x}$$. În tabelul de variație, celula din rândul $$f(x)$$, în coloana lui $$0$$, conține:

nimic, pentru că $$0$$ nu se marchează

Ce săgeți se pun în tabelul de variație?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Tabelul de variație cu derivata întâi

Pe rândul funcției se pune $↗$ sub fiecare interval în care derivata are semnul plus și $↘$ sub fiecare interval cu semnul minus. Tabelul are trei rânduri, în ordinea $x$ , $f^{'} (x)$ , $f (x)$ , iar coloanele alternează punct–interval. Într-o coloană de punct se trece valoarea funcției, ori limita ei, alături de marcajul $M$ la maxim și $m$ la minim.

Tabelul de variație strânge într-o singură imagine tot ce ai calculat despre o funcție. Are trei rânduri, în ordinea $x$ , $f^{'} (x)$ , $f (x)$ , iar rândul lui $x$ este chiar antetul tabelului. După coloana etichetelor, coloanele alternează punct–interval, de la stânga la dreapta pe axă; cu $k$ puncte marcate în interior ies $2 k + 4$ coloane, iar numărătoarea aceasta este cea mai rapidă verificare a unui tabel.

Se marchează zerourile derivatei, punctele în care $f$ nu este derivabilă, capetele domeniului și punctele scoase din domeniu. În coloanele-interval, rândul derivatei primește $+$ sau $-$ , iar rândul funcției săgeata potrivită: sub fiecare $+$ stă $↗$ , sub fiecare $-$ stă $↘$ . În coloanele-punct se trec valori sau limite, urmate de marcajele $M$ și $m$ .

Regulile de la capete merită memorate ca atare: la $\pm \infty$ celula derivatei rămâne goală, pentru că acolo nu există niciun punct al axei; într-un capăt finit care nu aparține domeniului se pune bara $∣$ în rândul derivatei și cele două limite laterale, despărțite tot de $∣$ , în rândul funcției — într-un singur tabel. Într-un capăt închis se scriu valoarea derivatei laterale și valoarea funcției, cu marcajul de extrem cuvenit.

Sub tabel se scrie întotdeauna citirea lui în cuvinte. Un tabel cu trei rânduri nu spune însă nimic despre curbură — aceea cere derivata a doua.

De reținut

trei rânduri: $x$ , $f^{'} (x)$ , $f (x)$
sub semnul $+$ se pune $↗$ , sub semnul $-$ se pune $↘$
cu $k$ puncte interioare, tabelul are $2 k + 4$ coloane

Greșeala tipică

Se pun săgeți fără să se fi stabilit întâi semnul derivatei pe fiecare interval. Săgeata este consecința semnului, deci rândul derivatei se completează primul.

Exerciții din această mini-lecție

Tabelul de variație al unei funcții definite pe $R$ , cu trei puncte marcate în interiorul domeniului, are:
- a) $8$ coloane
- b) $9$ coloane
- c) $12$ coloane
- d) $10$ coloane
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $10$ coloane

Formula este $2 k + 4$ , unde $k$ este numărul punctelor marcate în interior. Cu $k = 3$ se obțin $10$ coloane: eticheta, cele două capete, cele trei puncte și cele patru intervale dintre ele. Dacă numărătoarea ta dă altceva, ai uitat o coloană-interval sau ai folosit un punct pe post de interval.
Într-un tabel de variație, în coloana lui $+ \infty$ , celula din rândul $f^{'} (x)$ :
- a) conține limita derivatei
- b) conține bara $∣$
- c) rămâne goală
- d) conține $∄$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) rămâne goală

Simbolul $+ \infty$ nu este un punct al axei, deci nu ai unde să calculezi $f^{'}$ acolo: celula rămâne goală, iar limita derivatei nu se trece în tabel. Bara $∣$ se pune într-un punct finit care nu aparține domeniului, iar $∄$ se scrie doar acolo unde punctul este în domeniu, dar derivata nu există.
Se consideră $f : R^{*} \to R$ , $f (x) = x + \frac{4}{x}$ . În tabelul de variație, celula din rândul $f (x)$ , în coloana lui $0$ , conține:
- a) valoarea $0$
- b) $- \infty ∣ + \infty$
- c) bara $∣$
- d) nimic, pentru că $0$ nu se marchează
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $- \infty ∣ + \infty$

Punctul $0$ nu aparține domeniului, dar taie domeniul în două, deci se marchează. Convenția cere bara $∣$ în rândul derivatei și cele două limite laterale în rândul funcției: la stânga lui $0$ raportul $\frac{4}{x}$ duce funcția spre $- \infty$ , la dreapta spre $+ \infty$ . Se scrie un singur tabel, nu două, iar monotonia se enunță separat pe fiecare interval.

Întrebări conexe

Ce se scrie în coloanele-punct ale tabelului?

Valoarea funcției acolo, sau limita, dacă punctul nu aparține domeniului. Alături se pune marcajul potrivit: $M$ la un maxim, $m$ la un minim. Rândul derivatei primește $0$ , bară verticală sau semnul care arată că ea nu există.

Ce puncte se marchează pe axa tabelului cu derivata întâi?

Zerourile derivatei, locurile în care derivabilitatea lipsește, marginile domeniului și punctele excluse din el. Lista se face înainte de a desena tabelul, altfel rămân coloane lipsă. Cu $k$ puncte interioare ies $2 k + 4$ coloane.

Ce se scrie în rândul funcției într-un capăt finit exclus?

Cele două limite laterale, despărțite de o bară verticală, într-un singur tabel. Rândul derivatei primește tot bară în acea coloană. Celula rămâne goală doar la $\pm \infty$ , unde nu există niciun punct al axei.

În ce ordine se așază cele trei rânduri ale tabelului?

Întâi $x$ , care este chiar antetul, apoi $f^{'} (x)$ , apoi $f (x)$ . Ordinea nu este decorativă: semnul derivatei se citește înainte de a scrie săgeata, iar săgeata depinde numai de el.

Cu ce diferă tabelul cu trei rânduri de cel complet?

Îi lipsește rândul derivatei a doua, deci din el nu se poate citi curbura și nu are unde marca punctele de inflexiune. Pentru monotonie și extreme el ajunge; pentru un studiu complet se adaugă rândul lipsă, așezat înaintea rândului funcției.

Cum verific repede numărul de coloane al unui tabel?

Numeri punctele marcate în interior și aplici formula $2 k + 4$ : fiecare punct aduce o coloană proprie și una de interval, la care se adaugă eticheta și coloanele de capăt. Nepotrivirea arată imediat o coloană uitată.

Oamenii mai întreabă și: tabelul de variație cu derivata întâi · săgeți în tabelul de variație · cum completez tabelul de variație · marcajele M și m · rândurile tabelului de variație