Pe $$\mathbb{R}$$, $$\displaystyle\int 5^{x}\,dx$$ este egală cu:

$$\dfrac{5^{x}}{\ln 5} + \mathcal{C}$$

$$\dfrac{5^{x+1}}{x+1} + \mathcal{C}$$

Pe intervalul $$\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$$, $$\displaystyle\int \left(\sin x - \frac{1}{\cos^{2}x}\right)dx$$ este egală cu:

$$-\cos x - \operatorname{tg} x + \mathcal{C}$$

$$\cos x - \operatorname{tg} x + \mathcal{C}$$

$$-\cos x + \operatorname{tg} x + \mathcal{C}$$

$$\cos x + \operatorname{ctg} x + \mathcal{C}$$

Pe $$(0, +\infty)$$, $$\displaystyle\int \frac{3}{\sqrt{x}}\,dx$$ este egală cu:

$$\dfrac{3}{2\sqrt{x}} + \mathcal{C}$$

Cât este primitiva funcției sinus?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Tabelul primitivelor uzuale

Este $- cos x + C$ , cu semnul minus în față. El vine din derivata cosinusului, care iese $- sin x$ ; ca să obții $sin x$ prin derivare trebuie deci pornit de la $- cos x$ . Perechea se ține minte împreună: primitiva cosinusului este $sin x + C$ , fără minus. Controlul se face derivând rezultatul și comparându-l cu funcția de la care ai plecat.

Tabelul primitivelor se obține citind invers tabelul derivatelor și împărțind la coeficientul apărut prin derivare. Primele zece rânduri sunt: $\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$ pe $R$ ; $\int x^{r} d x = \frac{x ^{r + 1}}{r + 1} + C$ , cu $r \neq = - 1$ , pe $(0, + \infty)$ ; $\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C$ ; $\int a^{x} d x = \frac{a ^{x}}{ln a} + C$ și $\int e^{x} d x = e^{x} + C$ ; $\int sin x d x = - cos x + C$ , $\int cos x d x = sin x + C$ ; $\int \frac{1}{cos ^{2} x} d x = tg x + C$ , $\int \frac{1}{sin ^{2} x} d x = - ctg x + C$ ; $\int \frac{1}{x} d x = 2 x + C$ .

Fiecare rând vine la pachet cu un interval: rândul 1 lucrează pe $R$ , rândul 2 doar pe $(0, + \infty)$ — de aceea nu se contopesc — iar rândul 3 se aplică separat pe fiecare dintre cele două intervale ale domeniului. Modulul din $ln ∣ x ∣$ nu este podoabă: fără el formula n-ar avea sens pe intervalele de numere negative.

Tabelul intervine abia după Etapa 1, prelucrarea algebrică, și Etapa 2, liniaritatea: fracțiile, produsele și radicalii se aduc întâi la sumă de termeni din tabel, iar orice rezultat se poate controla în zece secunde prin derivare.

De reținut

$\int sin x d x = - cos x + C$ și $\int cos x d x = sin x + C$
$\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C$ , pe fiecare interval separat
$\int a^{x} d x = \frac{a ^{x}}{ln a} + C$

Greșeala tipică

Se pune minusul la primitiva cosinusului, în loc de a sinusului. Minusul apare la $\int sin x d x = - cos x + C$ , iar controlul prin derivare desparte imediat cele două formule.

Exerciții din această mini-lecție

Pe $R$ , $\int 5^{x} d x$ este egală cu:
- a) $5^{x} + C$
- b) $5^{x} ln 5 + C$
- c) $\frac{5 ^{x}}{ln 5} + C$
- d) $\frac{5 ^{x + 1}}{x + 1} + C$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $\frac{5 ^{x}}{ln 5} + C$

Din $(a^{x})^{'} = a^{x} ln a$ rezultă că primitiva se obține împărțind la $ln a$ . Varianta $5^{x} ln 5$ este derivata, nu primitiva, iar $\frac{5 ^{x + 1}}{x + 1}$ aplică regula puterii unei exponențiale: acolo variabila este la exponent, nu la bază.
Pe intervalul $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ , $\int (sin x - \frac{1}{cos ^{2} x}) d x$ este egală cu:
- a) $cos x - tg x + C$
- b) $- cos x + tg x + C$
- c) $cos x + ctg x + C$
- d) $- cos x - tg x + C$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $- cos x - tg x + C$

Rândul 6 dă $\int sin x d x = - cos x + C$ (minusul vine din derivata cosinusului), iar rândul 8 dă $\int \frac{1}{cos ^{2} x} d x = tg x + C$ ; scăderea păstrează semnul minus în fața tangentei. Controlul prin derivare: $(- cos x - tg x)^{'} = sin x - \frac{1}{cos ^{2} x}$ .
Pe $(0, + \infty)$ , $\int \frac{3}{x} d x$ este egală cu:
- a) $6 x + C$
- b) $2 x x + C$
- c) $3 x + C$
- d) $\frac{3}{2 x} + C$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $6 x + C$

Rândul 10 dă $\int \frac{1}{x} d x = 2 x + C$ , iar constanta $3$ iese în față: $6 x + C$ . Varianta $\frac{3}{2 x}$ este derivata lui $3 x$ , deci exact drumul invers.

Întrebări conexe

Ce primitivă are 1 supra radical din x?

Iese $2 x + C$ , pe intervalul $(0, + \infty)$ . Se obține scriind funcția ca $x^{- 1/2}$ și aplicând regula puterii: exponentul urcă la $\frac{1}{2}$ , iar împărțirea la el aduce factorul $2$ . Verificarea prin derivare readuce expresia de la început.

De ce se împarte la $ln a$ la primitiva lui $a^{x}$ ?

Fiindcă derivarea lui $a^{x}$ scoate factorul $ln a$ în față. Ca să anulezi acest factor, primitiva îl are la numitor: $\frac{a ^{x}}{ln a} + C$ . Scrierea cu înmulțire este chiar formula derivatei, deci exact pe dos.

Ce funcție are ca primitivă tangenta?

Funcția $\frac{1}{cos ^{2} x}$ , pe intervalele în care cosinusul rămâne nenul. Rândul pereche spune că $\frac{1}{sin ^{2} x}$ are primitiva $- ctg x$ , cu minus, iar cele două se rețin împreună, ca și perechea sinus–cosinus.

Ce interval însoțește rândul cu exponent real?

Intervalul $(0, + \infty)$ . Puterea cu exponent real este definită numai pentru baze strict pozitive, spre deosebire de cea cu exponent natural, care lucrează pe toată dreapta. De aceea cele două rânduri stau separat în tabel și nu se pot contopi.

Ce se face înainte de a folosi tabelul primitivelor?

Se prelucrează algebric expresia și se aplică liniaritatea. Fracțiile se despart, produsele se desfac, radicalii se scriu ca puteri, până când rămâne o sumă de termeni care se regăsesc în tabel. Tabelul intervine abia la sfârșit.

Cum se controlează un rând din tabelul primitivelor?

Se derivează membrul drept și se compară cu funcția din stânga. Metoda separă instantaneu formulele apropiate, precum cea a lui $a^{x}$ , unde împărțirea și înmulțirea cu logaritmul bazei duc la rezultate diferite.

Oamenii mai întreabă și: tabelul primitivelor · primitiva lui sinus · primitiva lui a la x · primitivele funcțiilor uzuale · primitiva lui 1 supra x