În tabla unei legi de compoziție, compusul $$x \ast y$$ se citește:

pe linia lui $$x$$ și pe coloana lui $$y$$

pe linia lui $$y$$ și pe coloana lui $$x$$

Într-o tablă, fiecare linie reproduce antetul de sus. Ce se poate spune despre elementul neutru?

nu rezultă nimic: trebuie verificate și coloanele

orice element al mulțimii este neutru

primul element din antet este neutru

legea este cu siguranță comutativă

Care proprietate nu se poate citi direct din tabla unei legi de compoziție?

lista elementelor simetrizabile

Ce se citește din tabla unei operații?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Tabla legii de compoziție

Trei lucruri, fără niciun calcul. Comutativitatea apare ca simetrie față de diagonala principală. Elementul neutru este acela a cărui linie repetă antetul de sus și a cărui coloană repetă antetul din stânga — se cer amândouă. Iar un element este simetrizabil dacă $e$ apare pe linia lui, în coloana partenerului, și tot acolo în poziția oglindită. Asociativitatea, în schimb, nu se poate citi.

Tabla unei legi de compoziție pe o mulțime finită este tabelul pătratic care are semnul legii în colțul din stânga sus, elementele mulțimii pe prima linie și pe prima coloană în aceeași ordine, iar în căsuța de la intersecția liniei lui $x$ cu coloana lui $y$ compusul $x * y$ . Se completează linie cu linie și se verifică la final: dacă apare o valoare din afara mulțimii, operația nu este lege de compoziție pe acea mulțime, iar tabla nici nu se poate scrie. Aceeași lege se poate descrie și prin dependență funcțională, prin diagramă sau prin arbore.

Din tablă se citesc, fără niciun calcul, trei lucruri. Comutativitatea este simetria față de diagonala principală, șirul căsuțelor $x * x$ . Elementul neutru $e$ este acela a cărui linie reproduce antetul de sus și a cărui coloană reproduce antetul din stânga; ambele condiții se verifică, altfel legea $x * y = y$ ar părea că are neutru. Elementele simetrizabile se găsesc căutând $e$ în interiorul tablei: dacă $e$ stă pe linia lui $x$ , în coloana lui $y$ , și simetric, atunci $x^{'} = y$ .

Asociativitatea nu se vede în tablă, fiindcă implică trei elemente; ea se demonstrează algebric, dar se respinge cu un singur triplet. Pe o mulțime cu $n$ elemente există $n^{n^{2}}$ legi de compoziție.

De reținut

comutativitatea apare ca simetrie față de diagonala principală
elementul neutru are linia și coloana identice cu antetele
asociativitatea nu se poate citi din tablă

Greșeala tipică

Se declară neutru un element numai pentru că linia lui reproduce antetul. Se cere și ca a lui coloană să repete antetul din stânga, altfel condiția e îndeplinită doar pe jumătate.

Exerciții din această mini-lecție

În tabla unei legi de compoziție, compusul $x * y$ se citește:
- a) pe linia lui $y$ și pe coloana lui $x$
- b) pe diagonala principală
- c) pe linia lui $x$ și pe coloana lui $y$
- d) în colțul din stânga sus
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) pe linia lui $x$ și pe coloana lui $y$

Convenția este: întâi linia (elementul din stânga al compunerii), apoi coloana. Varianta a este inversarea liniei cu coloana — greșeala care trece neobservată la legile comutative, dar schimbă rezultatul la cele necomutative. Pe diagonala principală stau numai compusele $x * x$ , iar în colț stă semnul legii.
Într-o tablă, fiecare linie reproduce antetul de sus. Ce se poate spune despre elementul neutru?
- a) orice element al mulțimii este neutru
- b) primul element din antet este neutru
- c) legea este cu siguranță comutativă
- d) nu rezultă nimic: trebuie verificate și coloanele
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) nu rezultă nimic: trebuie verificate și coloanele

Elementul neutru cere amândouă condițiile: $e * x = x$ (linia reproduce antetul de sus) și $x * e = x$ (coloana reproduce antetul din stânga). Contraexemplul standard este legea $x * y = y$ : toate liniile reproduc antetul, dar nicio coloană nu o face, deci element neutru nu există. Variantele a și b declară neutrul după o singură linie, iar c confundă neutrul cu simetria tablei.
Care proprietate nu se poate citi direct din tabla unei legi de compoziție?
- a) asociativitatea
- b) comutativitatea
- c) existența elementului neutru
- d) lista elementelor simetrizabile
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) asociativitatea

Asociativitatea leagă trei elemente, iar tabla arată numai compuneri de câte două; nicio simetrie și nicio culoare nu o dezvăluie, iar verificarea directă ar cere $n^{3}$ triplete. Celelalte trei se citesc dintr-o privire: simetria față de diagonala principală, liniile și coloanele care reproduc antetele, respectiv pozițiile în care apare elementul neutru.

Întrebări conexe

Ce se pune în colțul din stânga sus al tablei?

Semnul legii, de pildă asteriscul folosit în enunț. Pe prima linie și pe prima coloană se scriu elementele mulțimii, obligatoriu în aceeași ordine. Restul căsuțelor se completează linie cu linie.

Ce stă pe diagonala principală a tablei?

Compusele unui element cu el însuși, adică valorile $x * x$ . Ele nu se compară cu nimic la verificarea comutativității, fiindcă oglinda lor este chiar căsuța în care se află. De aceea rămân de verificat doar perechile de elemente diferite.

Cum găsesc simetricul unui element în tablă?

Cauți pe linia elementului căsuța în care apare neutrul, apoi cobori la antetul coloanei: acela este simetricul. Verifici și pe coloana elementului, ca să fii sigur că funcționează în amândouă sensurile. Un element fără neutru pe linia lui nu are simetric.

Ce înseamnă că în tablă apare o valoare din afara mulțimii?

Că mulțimea nu este închisă la acea operație, așa că nu ai cum să scrii tabla. Verificarea se face la final, trecând în revistă toate căsuțele. Un singur rezultat străin dărâmă totul.

Câte căsuțe are tabla unei legi pe o mulțime cu n elemente?

Exact $n^{2}$ , câte una pentru fiecare pereche ordonată. Pe o mulțime cu patru elemente ies șaisprezece căsuțe, iar completarea lor cere tot atâtea calcule. Numărul acesta explică și de ce tabla se poate scrie numai pentru mulțimi finite.

Ce arată o linie în care apare de două ori aceeași valoare?

Că legea nu poate fi de tip grup. Într-un grup, fiecare linie a tablei conține fiecare element exact o dată, ca la un careu latin, fiindcă altfel două elemente diferite ar avea același compus cu cel de pe linie. O valoare repetată arată deci imediat că lipsește ceva.

Oamenii mai întreabă și: tabla unei legi de compoziție · tabla operației · cum se citește tabla · simetrie față de diagonala principală · element neutru din tablă