Regula de memorat a dedublării este:

$$x^2 \to 2x x_0$$, $$y^2 \to 2y y_0$$

$$x^2 \to x_0^2$$, $$y^2 \to y_0^2$$

$$x \to x_0$$, $$y \to y_0$$, termenul liber se dublează

Tangenta la parabola $$y^2 = 16x$$ în punctul $$(1, 4)$$ este:

$$4y = 8(x + 1)$$, adică $$y = 2x + 2$$

Cum se transformă x la pătrat prin dedublare?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Tangenta la o conică prin dedublare

Devine $x x_{0}$ , adică se păstrează o variabilă și se înlocuiește cealaltă cu coordonata punctului. Regula merge la fel pentru $y^{2}$ , care devine $y y_{0}$ , în timp ce $2 x$ devine $x + x_{0}$ , iar $2 y$ devine $y + y_{0}$ ; termenul liber rămâne neatins. Aplicată unui punct de pe curbă, transformarea dă direct ecuația tangentei, fără pante și fără discriminanți.

Dedublarea transformă ecuația unei conice în ecuația tangentei într-un punct $M_{0} (x_{0}, y_{0})$ al ei, după o regulă mecanică: $x^{2} \to x x_{0}$ , $y^{2} \to y y_{0}$ , $2 x \to x + x_{0}$ , $2 y \to y + y_{0}$ , iar termenul liber rămâne neschimbat. Metoda dă tangenta direct, fără pante și fără discriminanți.

Cele patru formule fixate sunt: cerc, $(x - a) (x_{0} - a) + (y - b) (y_{0} - b) = r^{2}$ ; elipsă, $\frac{x x _{0}}{a ^{2}} + \frac{y y _{0}}{b ^{2}} = 1$ ; hiperbolă, $\frac{x x _{0}}{a ^{2}} - \frac{y y _{0}}{b ^{2}} = 1$ ; parabolă, $y y_{0} = p (x + x_{0})$ , unde $p$ este parametrul, adică jumătate din coeficientul lui $x$ . La cerc formula se demonstrează din perpendicularitatea tangentei pe rază, iar la elipsă din condiția $Δ = 0$ , care duce la un pătrat perfect și arată că prin fiecare punct al curbei trece exact o tangentă.

Prima etapă a rețetei este obligatorie: se verifică prin substituție că punctul aparține conicei. Aplicată unui punct care nu e pe curbă, dedublarea dă tot o dreaptă, dar nu tangenta căutată. A doua capcană este înlocuirea ambelor variabile: dedublarea păstrează câte o variabilă în fiecare termen, deci $x^{2}$ devine $x x_{0}$ , nu $x_{0}^{2}$ . Dintr-un punct exterior se duc două tangente, găsite rezolvând condiția de tangență ca ecuație în panta $m$ , iar verticala prin acel punct se verifică întotdeauna separat. Controlul final: substituția dreptei în ecuația curbei trebuie să dea o rădăcină dublă.

De reținut

$x^{2} \to x x_{0}$ , $y^{2} \to y y_{0}$ , $2 x \to x + x_{0}$ , $2 y \to y + y_{0}$
elipsă: $\frac{x x _{0}}{a ^{2}} + \frac{y y _{0}}{b ^{2}} = 1$ ; parabolă: $y y_{0} = p (x + x_{0})$
metoda se aplică numai unui punct aflat pe conică

Greșeala tipică

Se folosește $2 p$ în loc de $p$ la tangenta parabolei. Din $y^{2} = 20 x$ rezultă $p = 10$ , deci dreapta este $y y_{0} = 10 (x + x_{0})$ , fiindcă regula cere jumătate din coeficientul termenului de gradul întâi.

Exerciții din această mini-lecție

Regula de memorat a dedublării este:
- a) $x^{2} \to 2 x x_{0}$ , $y^{2} \to 2 y y_{0}$
- b) $x^{2} \to x_{0}^{2}$ , $y^{2} \to y_{0}^{2}$
- c) $x^{2} \to x x_{0}$ , $y^{2} \to y y_{0}$ , $2 x \to x + x_{0}$ , $2 y \to y + y_{0}$
- d) $x \to x_{0}$ , $y \to y_{0}$ , termenul liber se dublează
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $x^{2} \to x x_{0}$ , $y^{2} \to y y_{0}$ , $2 x \to x + x_{0}$ , $2 y \to y + y_{0}$

Dedublarea păstrează câte o variabilă în fiecare termen: pătratele devin produse mixte, iar termenii de gradul întâi devin semisume. Dacă înlocuiești tot cu coordonatele punctului, obții numere, nu o dreaptă — semn sigur că regula a fost aplicată greșit. Termenul liber rămâne neschimbat.
Tangenta la elipsa $\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{9} = 1$ în punctul $M_{0} (4, \frac{9}{5})$ are ecuația:
- a) $4 x + 5 y - 25 = 0$
- b) $4 x + 9 y - 25 = 0$
- c) $5 x + 4 y - 25 = 0$
- d) $4 x + 5 y - 1 = 0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $4 x + 5 y - 25 = 0$

Punctul e pe elipsă: $\frac{16}{25} + \frac{81/25}{9} = \frac{16}{25} + \frac{9}{25} = 1$ . Dedublând: $\frac{4 x}{25} + \frac{( 9/5 ) y}{9} = 1$ , adică $\frac{4 x}{25} + \frac{y}{5} = 1$ , deci $4 x + 5 y = 25$ . Control: substituția în elipsă dă $25 x^{2} - 200 x + 400 = 0$ , cu rădăcina dublă $x = 4$ .
Tangenta la parabola $y^{2} = 16 x$ în punctul $(1, 4)$ este:
- a) $4 y = 16 (x + 1)$
- b) $4 y = 8 (x + 1)$ , adică $y = 2 x + 2$
- c) $y = 4 x$
- d) $4 y = 16 x + 1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $4 y = 8 (x + 1)$ , adică $y = 2 x + 2$

Formula este $y y_{0} = p (x + x_{0})$ , iar $p$ este parametrul: din $2 p = 16$ rezultă $p = 8$ , nu $16$ . Deci $4 y = 8 (x + 1)$ , adică $y = 2 x + 2$ . Verificare: $(2 x + 2)^{2} = 16 x$ devine $(x - 1)^{2} = 0$ , rădăcină dublă. Folosirea lui $2 p$ în locul lui $p$ este capcana clasică la parabolă.

Întrebări conexe

De ce se numește dedublare acest procedeu?

Fiindcă fiecare produs de două variabile identice se desface într-un produs de două variabile diferite: una rămâne liberă, cealaltă primește coordonata punctului. Numele descrie exact mișcarea și ajută la ținut minte că nu se înlocuiesc amândouă deodată.

Ce tangentă are hiperbola într-un punct al ei?

Dreapta $\frac{x x _{0}}{a ^{2}} - \frac{y y _{0}}{b ^{2}} = 1$ , cu $(x_{0}, y_{0})$ punctul de contact. Este ecuația canonică cu fiecare pătrat despicat, iar semnul minus se păstrează. La elipsă formula arată la fel, doar cu plus între cei doi termeni.

Ce se verifică înainte de a aplica dedublarea?

Apartenența punctului la conică, prin substituirea coordonatelor lui în ecuație. Pentru un punct din afara curbei metoda dă tot o dreaptă, dar aceea nu este tangenta căutată, așa că întreaga rezolvare ar porni greșit.

Ce greșeală faci dacă înlocuiești ambele variabile?

Obții o egalitate numerică, nu o ecuație de dreaptă. Din $x^{2}$ trebuie să iasă $x x_{0}$ , cu o variabilă păstrată; scriind $x_{0}^{2}$ dispare necunoscuta și rămâne chiar condiția de apartenență a punctului la curbă.

Ce tangentă are cercul de centru $C (a, b)$ într-un punct al lui?

Dreapta $(x - a) (x_{0} - a) + (y - b) (y_{0} - b) = r^{2}$ . Se obține despicând fiecare pătrat din ecuația canonică, iar rezultatul coincide cu dreapta scrisă prin perpendicularitate pe rază. Controlul final: distanța de la centru la dreapta găsită trebuie să iasă $r$ .

Ce se face cu verticala dusă printr-un punct exterior?

Se cercetează separat, fiindcă ea nu are pantă și nu intră în ecuația scrisă cu $m$ . Se substituie $x = x_{0}$ în ecuația conicei și se vede dacă rezultă o rădăcină dublă; altfel una dintre cele două tangente ar rămâne nedescoperită.

Oamenii mai întreabă și: metoda dedublării · tangenta la elipsă · tangenta la conică · ecuația tangentei prin dedublare · tangente dintr-un punct exterior