Graficul funcției $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$, $$f(x)=\sqrt[3]{x-1}$$, are în punctul de abscisă $$x_0=1$$:

tangentă verticală, de ecuație $$x=1$$, care nu are pantă

tangentă orizontală, de ecuație $$y=0$$

tangentă de pantă $$+\infty$$

Cum scriu ecuația tangentei la un grafic?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Ecuația tangentei la grafic

Verifici că funcția este derivabilă în $x_{0}$ , calculezi $f (x_{0})$ și $f^{'} (x_{0})$ , apoi înlocuiești în $y - f (x_{0}) = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$ . Derivata dă panta, punctul dă restul. La $f (x) = x^{2}$ și $x_{0} = 1$ obții $f (1) = 1$ , $f^{'} (1) = 2$ , deci tangenta este $y = 2 x - 1$ . Controlul este imediat: pentru $x = x_{0}$ ecuația trebuie să dea chiar $f (x_{0})$ .

Panta secantei prin $M_{0} (x_{0}, f (x_{0}))$ și $M (x, f (x))$ este raportul de diferențe; când $M \to M_{0}$ pe grafic, secantele se rotesc spre o poziție-limită. De aici, interpretarea geometrică a derivatei: $f^{'} (x_{0})$ este panta tangentei la graficul lui $f$ în punctul $M_{0}$ .

Având un punct și o pantă, ecuația tangentei se scrie imediat: $y - f (x_{0}) = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) .$ Algoritmul are patru pași: verifici derivabilitatea în $x_{0}$ , calculezi $f (x_{0})$ , calculezi $f^{'} (x_{0})$ , scrii ecuația. Controlul gratuit: pentru $x = x_{0}$ ecuația trebuie să dea $y = f (x_{0})$ . La $f (x) = x^{2}$ și $x_{0} = 1$ obții $y = 2 x - 1$ .

Legătura cu unghiul: $f^{'} (x_{0}) = tg α$ , unde $α \in [0^{\circ}, 18 0^{\circ})$ este unghiul făcut de tangentă cu semiaxa pozitivă $O x$ . Derivată pozitivă înseamnă unghi ascuțit, derivată negativă înseamnă unghi obtuz.

Două cazuri speciale: dacă $f^{'} (x_{0}) = 0$ , tangenta este orizontală, $y = f (x_{0})$ ; dacă $f^{'} (x_{0})$ este infinită, tangenta este verticală, $x = x_{0}$ , și nu are pantă — formularea „panta este infinită" se depunctează.

Problemele inverse pornesc de la altceva decât punctul de tangență: tangentă de pantă dată sau paralelă cu o dreaptă ( $f^{'} (x_{0}) = m$ ), perpendiculară pe o dreaptă ( $f^{'} (x_{0}) \cdot m_{d} = - 1$ ), dusă dintr-un punct exterior $P (a, b)$ (se impune $b - f (x_{0}) = f^{'} (x_{0}) (a - x_{0})$ ). Necunoscuta reală este mereu $x_{0}$ .

De reținut

$y - f (x_{0}) = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$
$f^{'} (x_{0}) = 0$ dă tangentă orizontală, iar o derivată infinită dă tangenta $x = x_{0}$
$f^{'} (x_{0}) = tg α$ , unghiul cu semiaxa pozitivă $O x$

Greșeala tipică

Se calculează $f^{'} (x)$ și se lasă în ecuație expresia cu $x$ , în loc de valoarea numerică din punct. Panta este un număr, obținut înlocuind $x_{0}$ în derivată.

Exerciții din această mini-lecție

Ecuația tangentei la graficul funcției $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} - 2 x$ , în punctul de abscisă $x_{0} = 3$ este:
- a) $y = 4 x + 3$
- b) $y = 3 x - 4$
- c) $y = 4 x - 3$
- d) $y = 4 x - 9$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $y = 4 x - 9$

$f (3) = 9 - 6 = 3$ și $f^{'} (3) = 4$ (din definiție, $\frac{x ^{2} - 2 x - 3}{x - 3} = x + 1 \to 4$ ). Ecuația este $y - 3 = 4 (x - 3)$ , adică $y = 4 x - 9$ . Controlul: pentru $x = 3$ se obține $y = 3 = f (3)$ ; variantele $y = 4 x + 3$ și $y = 4 x - 3$ nu trec prin punctul de tangență.
Graficul funcției $f : R \to R$ , $f (x) = 3 x - 1$ , are în punctul de abscisă $x_{0} = 1$ :
- a) tangentă orizontală, de ecuație $y = 0$
- b) tangentă verticală, de ecuație $x = 1$ , care nu are pantă
- c) tangentă de pantă $+ \infty$
- d) două semitangente distincte
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) tangentă verticală, de ecuație $x = 1$ , care nu are pantă

$f (1) = 0$ , iar raportul $\frac{3 x - 1}{x - 1} = \frac{1}{3 ( x - 1 ) ^{2}}$ tinde la $+ \infty$ din ambele părți. Derivata există și este infinită, deci tangenta este dreapta verticală $x = 1$ . Formularea corectă este că această dreaptă nu are pantă, fiindcă $tg 9 0^{\circ}$ nu există.
Tangenta la graficul funcției $f : R \to R$ , $f (x) = x^{3}$ , este paralelă cu dreapta $d : y = 12 x + 5$ în punctele de abscise:
- a) doar $x_{0} = 2$
- b) $x_{0} \in {- 4, 4}$
- c) $x_{0} \in {- 2, 2}$
- d) $x_{0} = \pm 12$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $x_{0} \in {- 2, 2}$

Două drepte neverticale sunt paralele exact când au aceeași pantă, deci condiția este $f^{'} (x_{0}) = 12$ . Cum $f^{'} (x_{0}) = 3 x_{0}^{2}$ , obținem $3 x_{0}^{2} = 12$ , adică $x_{0}^{2} = 4$ și $x_{0} \in {- 2, 2}$ . Soluția negativă nu se pierde: pătratul are două rădăcini.

Întrebări conexe

Ce ecuație are tangenta la parabola x pătrat în punctul de abscisă 1?

Punctul de tangență este $(1, 1)$ , iar panta este $f^{'} (1) = 2$ . Înlocuind, obții $y - 1 = 2 (x - 1)$ , adică $y = 2 x - 1$ . Verificarea: pentru $x = 1$ dreapta dă $y = 1$ , exact ordonata punctului. Fiind vorba de un polinom, derivabilitatea în acel punct nu ridică nicio problemă.

Ce pantă are tangenta paralelă cu o dreaptă dată?

Aceeași pantă ca dreapta, deci condiția devine $f^{'} (x_{0}) = m$ . Necunoscuta este abscisa punctului de tangență, iar ecuația se rezolvă în $x_{0}$ . Pot ieși mai multe puncte, caz în care fiecare dă câte o tangentă.

Cum scriu condiția ca tangenta să fie perpendiculară pe o dreaptă?

Pui produsul pantelor egal cu $- 1$ , adică $f^{'} (x_{0}) \cdot m_{d} = - 1$ . De aici afli panta cerută, apoi rezolvi ecuația în $x_{0}$ . Metoda este aceeași ca la paralelism, se schimbă doar relația dintre pante.

De ce nu se spune că panta unei tangente verticale este infinită?

Pentru că o dreaptă verticală pur și simplu nu are pantă: unghiul ei fiind drept, tangenta unghiului nu există. Formularea corectă este că tangenta are ecuația $x = x_{0}$ . Varianta cu „pantă infinită” se depunctează la examen.

Ce control gratuit am după ce scriu ecuația tangentei?

Înlocuiești $x_{0}$ în ecuația găsită și verifici dacă iese $f (x_{0})$ . Dreapta trebuie să treacă prin punctul de tangență, altfel undeva s-a strecurat o greșeală de calcul. Controlul durează câteva secunde și prinde majoritatea erorilor.

Ce unghi face tangenta cu axa când derivata este negativă?

Un unghi obtuz, adică între $9 0^{\circ}$ și $18 0^{\circ}$ , fiindcă $f^{'} (x_{0}) = tg α$ . Cu derivată pozitivă unghiul este ascuțit, iar cu derivată nulă tangenta devine orizontală. Unghiul se măsoară față de semiaxa pozitivă $O x$ .

Oamenii mai întreabă și: ecuația tangentei · formula tangentei la grafic · panta tangentei · tangenta într-un punct al graficului · cum scriu tangenta la o curbă