Care este scrierea corectă a relației lui Stewart pentru ceviana $$AD$$, cu $$D \in (BC)$$?

$$AC^2 \cdot BD + AB^2 \cdot DC = BC\left(AD^2 + BD \cdot DC\right)$$

$$AC^2 \cdot DC + AB^2 \cdot BD = BC\left(AD^2 + BD \cdot DC\right)$$

$$AC^2 \cdot BD + AB^2 \cdot DC = BC \cdot AD^2$$

$$AC^2 \cdot BD + AB^2 \cdot DC = BC\left(AD^2 - BD \cdot DC\right)$$

Ce spune teorema bisectoarei?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Teorema bisectoarei și relația lui Stewart

Bisectoarea unui unghi taie latura opusă în două bucăți al căror raport este egal cu raportul laturilor alăturate acelui unghi. Dacă laturile care pleacă din vârf măsoară $12$ și $15$ , iar latura opusă are $18$ , bucățile ies $8$ și $10$ . Verificarea e imediată: suma lor dă latura întreagă, iar bucata mai mare stă lângă latura mai mare.

Segmentul care unește un vârf cu un punct de pe latura opusă se numește ceviană. Notațiile standard sunt $a = B C$ , $b = C A$ , $c = A B$ .

Teorema bisectoarei. Dacă $A D$ este bisectoarea din $A$ , cu $D \in (B C)$ , atunci $\frac{B D}{D C} = \frac{A B}{A C} = \frac{c}{b}$ — bisectoarea împarte latura opusă în segmente proporționale cu laturile alăturate. Împreună cu $B D + D C = a$ rezultă $B D = \frac{a c}{b + c}$ și $D C = \frac{ab}{b + c}$ . Verificare gratuită: suma lor dă $a$ , iar segmentul mai mare stă lângă latura mai mare.

Relația lui Stewart dă lungimea oricărei ceviene: dacă $B D = m$ , $D C = n$ și $A D = d$ , atunci

$b^{2} m + c^{2} n = a (d^{2} + mn) .$

Structura de reținut: fiecare latură la pătrat merge cu segmentul de care NU se atinge — $b^{2}$ cu $B D$ , $c^{2}$ cu $D C$ . Se demonstrează aplicând teorema cosinusului de două ori pentru același unghi $B$ , comun triunghiurilor $A B D$ și $A B C$ .

Din ea cad, ca simple substituții, cele două formule celebre: pentru mediană ( $m = n = \frac{a}{2}$ ) $m_{a}^{2} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{4}$ , iar pentru bisectoare forma mnemonică $ℓ_{a}^{2} = b c - B D \cdot D C$ , echivalentă cu $ℓ_{a} = \frac{2 b c \cdot s ( s - a )}{b + c}$ sau, trigonometric, $ℓ_{a} = \frac{2 b c cos \frac{A}{2}}{b + c}$ .

De reținut

$\frac{B D}{D C} = \frac{A B}{A C}$ , cu $D$ piciorul bisectoarei din $A$
$B D = \frac{a c}{b + c}$ și $D C = \frac{ab}{b + c}$
Stewart: $b^{2} m + c^{2} n = a (d^{2} + mn)$
mediana: $m_{a}^{2} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{4}$

Greșeala tipică

Se crede că bisectoarea cade în mijlocul laturii opuse; asta se întâmplă doar când laturile alăturate sunt egale, altfel bucata mai mare stă lângă latura mai mare.

Exerciții din această mini-lecție

În triunghiul $A B C$ se cunosc $A B = 12$ , $A C = 15$ și $B C = 18$ , iar $A D$ este bisectoarea din $A$ , cu $D \in (B C)$ . Cât este $B D$ ?
- a) $B D = 8$
- b) $B D = 9$
- c) $B D = 10$
- d) $B D = 7, 5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $B D = 8$

Cu notațiile $a = B C = 18$ , $b = C A = 15$ , $c = A B = 12$ avem $B D = \frac{a c}{b + c} = \frac{18 \cdot 12}{27} = 8$ și $D C = \frac{ab}{b + c} = \frac{18 \cdot 15}{27} = 10$ . Verificări: $8 + 10 = 18 = B C$ ✓ și $\frac{8}{10} = \frac{12}{15}$ ✓. Varianta b) este mijlocul laturii — capcana clasică: bisectoarea trece prin mijloc doar când $A B = A C$ .
Care este scrierea corectă a relației lui Stewart pentru ceviana $A D$ , cu $D \in (B C)$ ?
- a) $A C^{2} \cdot D C + A B^{2} \cdot B D = B C (A D^{2} + B D \cdot D C)$
- b) $A C^{2} \cdot B D + A B^{2} \cdot D C = B C (A D^{2} + B D \cdot D C)$
- c) $A C^{2} \cdot B D + A B^{2} \cdot D C = B C \cdot A D^{2}$
- d) $A C^{2} \cdot B D + A B^{2} \cdot D C = B C (A D^{2} - B D \cdot D C)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $A C^{2} \cdot B D + A B^{2} \cdot D C = B C (A D^{2} + B D \cdot D C)$

Regula este: fiecare latură la pătrat se înmulțește cu segmentul depărtat de ea. Latura $b = A C$ pleacă din $C$ , deci merge cu $B D$ ; latura $c = A B$ pleacă din $B$ , deci merge cu $D C$ . Varianta a) inversează perechile, iar c) uită produsul $B D \cdot D C$ din membrul drept. Testează pe un triunghi scalen: pentru $a = 6$ , $b = 7$ , $c = 5$ și $B M = 2$ , varianta corectă dă $198 = 6 (A M^{2} + 8)$ , adică $A M = 5$ , pe când varianta a) ar da $246 = 6 (A M^{2} + 8)$ , adică $A M = 33$ .
În triunghiul $A B C$ , $A D$ este bisectoarea din $A$ , $D \in (B C)$ , $B D = 4$ , $D C = 6$ și $A B = 10$ . Cât este $A C$ ?
- a) $A C = 12$
- b) $A C = 20$
- c) $A C = 15$
- d) $A C = 6$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $A C = 15$

Teorema bisectoarei se folosește și „invers”: din $\frac{B D}{D C} = \frac{A B}{A C}$ obținem $\frac{4}{6} = \frac{10}{A C}$ , deci $A C = \frac{10 \cdot 6}{4} = 15$ . Triunghiul există: $B C = 4 + 6 = 10$ , iar $10 + 10 > 15$ ✓. Coerență: segmentul mai mare, $D C = 6$ , stă într-adevăr lângă latura mai mare, $A C = 15$ .

Întrebări conexe

Cum aplic relația lui Stewart pas cu pas?

Notezi cele două bucăți ale laturii tăiate și lungimea cevianei, apoi înmulțești fiecare latură la pătrat cu bucata de care nu se atinge. Suma obținută este egală cu latura întreagă înmulțită cu suma dintre pătratul cevianei și produsul bucăților. De aici scoți lungimea căutată.

Ce spune reciproca teoremei bisectoarei?

Dacă un punct de pe latura opusă o împarte în bucăți proporționale cu laturile alăturate, atunci segmentul dus din vârf până la el este bisectoare. Așa poți demonstra că o dreaptă înjumătățește un unghi, folosind doar lungimi.

Ce este bisectoarea exterioară și ce raport dă?

Este dreapta care înjumătățește unghiul format de o latură cu prelungirea celeilalte. Ea taie dreapta laturii opuse în afara segmentului, într-un punct pentru care raportul distanțelor la capete este tot raportul laturilor alăturate. Există doar dacă cele două laturi nu sunt egale.

Cum verific dacă un punct se află pe bisectoarea unui unghi?

Măsori distanțele de la el la cele două laturi ale unghiului: dacă ies egale, punctul se află pe bisectoare. Aceasta este chiar proprietatea care explică de ce centrul cercului înscris stă la intersecția bisectoarelor.

Unde folosesc teorema bisectoarei la probleme cu arii?

Două triunghiuri cu aceeași înălțime au ariile în raportul bazelor, iar bisectoarea taie latura opusă într-un raport cunoscut. De aceea ariile celor două bucăți se află în raportul laturilor alăturate unghiului împărțit.

Oamenii mai întreabă și: teorema bisectoarei într-un triunghi · cum împarte bisectoarea latura opusă · raportul segmentelor determinate de bisectoare · teorema bisectoarei interioare