Teorema bisectoarei; relația lui Stewart și lungimi în triunghi

Un teren triunghiular are laturile de $60$ m, $70$ m și $80$ m. Proprietarul vrea să traseze o alee dreaptă dintr-un colț până într-un punct de pe latura opusă, ales astfel încât cele două parcele rezultate să aibă fronturi stradale în raportul $3:4$. Câți metri de pavaj trebuie comandat? Întrebarea pare banală, dar niciuna dintre uneltele de până acum nu răspunde direct: aleea nu e nici latură, nici înălțime, iar triunghiurile pe care le formează nu sunt dreptunghice.

Segmentul care unește un vârf al unui triunghi cu un punct de pe latura opusă se numește ceviană, iar lecția aceasta îți dă instrumentul universal pentru lungimea lui: relația lui Stewart. Din ea vor cădea, ca niște cazuri particulare, formula lungimii medianei și formula lungimii bisectoarei. Iar pentru ca bisectoarea să poată intra în calcul, avem nevoie mai întâi să știm unde taie ea latura opusă — asta ne spune teorema bisectoarei, una dintre cele mai elegante proporții din toată geometria triunghiului. Programa de mate-info cere explicit toate aceste trei lucruri: lungimea medianei, lungimea bisectoarei și lungimea unui segment care unește un vârf cu un punct de pe latura opusă, când se cunoaște raportul în care punctul împarte latura.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți și să demonstrezi teorema bisectoarei: $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$, precum și reciproca ei.
• Vei ști să calculezi exact unde cade piciorul bisectoarei, cu formulele $BD=\frac{ac}{b+c}$ și $DC=\frac{ab}{b+c}$.
• Vei ști să enunți și să demonstrezi relația lui Stewart pentru o ceviană oarecare, folosind teorema cosinusului aplicată de două ori pentru același unghi.
• Vei ști să deduci și să aplici formula lungimii medianei: $m_a^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}$.
• Vei ști să deduci și să aplici formula lungimii bisectoarei, atât în forma metrică, cât și în forma trigonometrică ${\ell }_a=\frac{2bc\cos \frac{A}{2}}{b+c}$.
• Vei ști să calculezi lungimea oricărei ceviene când cunoști laturile triunghiului și raportul în care ceviana împarte latura opusă.

Hai să descoperim împreună

1. Ceviana: o latură „interioară" a triunghiului

Păstrăm notațiile standard din teorema cosinusului: în triunghiul $ABC$ scriem $a=BC$, $b=CA$, $c=AB$ — fiecare latură poartă litera mică a vârfului opus.

Definiție. Se numește ceviană din vârful $A$ orice segment $AD$ cu $D$ situat pe dreapta $BC$. Dacă $D\in (BC)$, ceviana se numește interioară.

Cele trei ceviene celebre le cunoști deja: mediana (când $D$ este mijlocul lui $BC$), bisectoarea (când $AD$ împarte unghiul $A$ în două unghiuri congruente) și înălțimea (când $AD\perp BC$). Numele vine de la matematicianul italian Giovanni Ceva, pe care îl vei reîntâlni în lecția despre concurența cevienelor.

Problema centrală este simplă de formulat: dacă știu $a$, $b$, $c$ și știu unde cade $D$ pe latura $BC$, cât de lungă este ceviana $AD$? Vom rezolva întâi cazul bisectoarei, pentru că el cere un pas suplimentar — trebuie aflat mai întâi punctul $D$.

2. Teorema bisectoarei

Teoremă (a bisectoarei interioare). Fie triunghiul $ABC$ și $D\in (BC)$ piciorul bisectoarei din $A$. Atunci

$$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{c}{b}.$$

Altfel spus: bisectoarea împarte latura opusă în segmente proporționale cu laturile alăturate lor. Segmentul $BD$, care „stă lângă" $B$, este proporțional cu latura $AB$ care pleacă tot din $B$.

Demonstrație prin arii. Comparăm ariile triunghiurilor $ABD$ și $ADC$ în două moduri.

Primul mod. Ele au aceeași înălțime din $A$ către dreapta $BC$ (este chiar înălțimea triunghiului mare), deci raportul ariilor este raportul bazelor:

$$\frac{{\mathcal{A}}_{ABD}}{{\mathcal{A}}_{ADC}}=\frac{BD}{DC}.$$

Al doilea mod. Notăm $m(\angle BAD)=m(\angle DAC)=\frac{A}{2}$ și folosim formula ariei cu sinus, pe care o sistematizăm în lecția despre aria triunghiului:

$$\frac{{\mathcal{A}}_{ABD}}{{\mathcal{A}}_{ADC}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AD\cdot \sin \frac{A}{2}}{\frac{1}{2}\cdot AC\cdot AD\cdot \sin \frac{A}{2}}=\frac{AB}{AC}.$$

Factorii $AD$ și $\sin \frac{A}{2}$ se simplifică — exact aici lucrează ipoteza că $AD$ este bisectoare. Egalând cele două exprimări ale aceluiași raport, obținem $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$. $■$

A doua demonstrație (sintetică, prin paralelă). Prin $C$ ducem paralela la $AD$; ea taie dreapta $AB$ în $E$. Din paralelism, $\angle ACE\equiv \angle DAC$ (alterne interne) și $\angle AEC\equiv \angle BAD$ (corespondente). Cum $\angle BAD\equiv \angle DAC$, rezultă $\angle ACE\equiv \angle AEC$, deci triunghiul $ACE$ este isoscel cu $AE=AC$. Aplicând teorema lui Thales în triunghiul $BCE$ cu $AD\parallel CE$, avem $\frac{BD}{DC}=\frac{BA}{AE}=\frac{AB}{AC}$. $■$

Reciproca este adevărată și se demonstrează folosind unicitatea punctului care împarte un segment într-un raport dat: dacă $D\in (BC)$ satisface $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$, atunci $AD$ este bisectoarea unghiului $A$. Într-adevăr, bisectoarea taie $(BC)$ într-un punct $D^{\prime }$ cu același raport, iar pe segmentul $(BC)$ există un singur punct care îl împarte într-un raport dat, deci $D=D^{\prime }$.

3. Unde cade exact piciorul bisectoarei

Din proporția $\frac{BD}{DC}=\frac{c}{b}$ și din $BD+DC=a$ scoatem imediat, cu proprietatea proporțiilor derivate:

$$\frac{BD}{c}=\frac{DC}{b}=\frac{BD+DC}{b+c}=\frac{a}{b+c},$$

de unde

$$BD=\frac{ac}{b+c},DC=\frac{ab}{b+c}.$$

Exemplu. În triunghiul cu $a=BC=7$, $b=CA=8$, $c=AB=6$: $BD=\frac{7\cdot 6}{14}=3$ și $DC=\frac{7\cdot 8}{14}=4$. Verificare: $3+4=7=a$ ✓, iar $\frac{3}{4}=\frac{6}{8}$ ✓.

Reține și verificarea gratuită: suma celor două segmente trebuie să dea latura, iar segmentul mai mare stă lângă latura mai mare.

4. Relația lui Stewart

Acum putem ataca problema generală. Fie $D\in (BC)$ un punct oarecare, cu $BD=m$, $DC=n$ (deci $m+n=a$) și $AD=d$.

Relația lui Stewart. În configurația de mai sus:

$$b^{2}m+c^{2}n=a\left(d^2+mn\right),$$

adică, scrisă cu segmentele explicite,

$$A{C}^2\cdot BD+A{B}^2\cdot DC=BC\left(A{D}^2+BD\cdot DC\right).$$

Observă structura: fiecare latură la pătrat se înmulțește cu segmentul de care NU se atinge. Latura $b=AC$ pleacă din $C$, deci merge cu $m=BD$; latura $c=AB$ pleacă din $B$, deci merge cu $n=DC$. Este cea mai frecventă sursă de eroare, așa că marchează pe desen perechile înainte de a înlocui.

Demonstrație (teorema cosinusului aplicată de două ori pentru același unghi). Este exact tehnica din ultimul exercițiu al lecției despre teorema cosinusului: unghiul $B$ este comun triunghiurilor $ABD$ și $ABC$, deci îl calculăm o dată și îl folosim de două ori.

Pasul 1. În triunghiul $ABC$, teorema cosinusului pentru latura $b$ dă

$$\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}.$$

Pasul 2. În triunghiul $ABD$, unde $AB=c$, $BD=m$ și unghiul dintre ele este chiar $B$:

$$d^2=c^2+m^2-2cm\cos B=c^2+m^2-2cm\cdot \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=c^2+m^2-\frac{m\left(a^2+c^2-b^2\right)}{a}.$$

Pasul 3. Înmulțim totul cu $a$ și grupăm inteligent, folosind $a-m=n$ și $m-a=-n$:

$$a{d}^2=a{c}^2+a{m}^2-m{a}^2-m{c}^2+m{b}^2=c^2(a-m)+am(m-a)+b^{2}m=c^{2}n-amn+b^{2}m.$$

Trecând termenul $-amn$ în stânga, obținem exact $b^{2}m+c^{2}n=a\left(d^2+mn\right)$. $■$

Demonstrația merită reținută ca metodă, nu doar ca rezultat: ori de câte ori un punct împarte o latură, unghiul din capătul acelei laturi este comun triunghiului mic și triunghiului mare — calculează-i o singură dată cosinusul și transferă-l.

Verificare pe un caz cunoscut. În triunghiul echilateral de latură $2$, cu $D$ mijlocul lui $BC$: $b=c=a=2$, $m=n=1$, iar relația dă $4\cdot 1+4\cdot 1=2(d^2+1)$, deci $d^2=3$ și $d=\sqrt{3}$ — chiar înălțimea triunghiului echilateral de latură $2$ ✓.

5. Lungimea medianei

Punem în relația lui Stewart $m=n=\frac{a}{2}$ (cazul medianei $AD=m_a$):

$$b^2\cdot \frac{a}{2}+c^2\cdot \frac{a}{2}=a\left(m_a^2+\frac{a^2}{4}\right).$$

Împărțim prin $a$ (nenul) și izolăm:

$$\frac{b^2+c^2}{2}=m_a^2+\frac{a^2}{4}⟹\boxed{m_a^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}}$$

Test de sănătate. Într-un triunghi dreptunghic cu ipotenuza $a=10$ și catetele $b=8$, $c=6$: $m_a^2=\frac{128+72-100}{4}=25$, deci $m_a=5=\frac{a}{2}$ — regăsim teorema „mediana corespunzătoare ipotenuzei este jumătate din ipotenuză". Formula își confirmă singură corectitudinea pe un caz pe care îl știi din gimnaziu.

O consecință frumoasă, care apare des la concursuri: adunând cele trei formule ale medianelor,

$$m_a^2+m_b^2+m_c^2=\frac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{4}.$$

6. Lungimea bisectoarei

Acum combinăm cele două rezultate: în relația lui Stewart punem $m=BD=\frac{ac}{b+c}$ și $n=DC=\frac{ab}{b+c}$, iar $d={\ell }_a$ este lungimea bisectoarei din $A$. Membrul stâng devine

$$b^2\cdot \frac{ac}{b+c}+c^2\cdot \frac{ab}{b+c}=\frac{abc(b+c)}{b+c}=abc.$$

Membrul drept este $a\left({\ell }_a^2+\frac{a^{2}bc}{(b+c{)}^2}\right)$. Împărțim prin $a$:

$$bc={\ell }_a^2+\frac{a^{2}bc}{(b+c{)}^2}⟹\boxed{{\ell }_a^2=bc\left[1-\frac{a^2}{(b+c{)}^2}\right]=\frac{bc\left[(b+c{)}^2-a^2\right]}{(b+c{)}^2}}$$

Descompunând diferența de pătrate, $(b+c{)}^2-a^2=(a+b+c)(b+c-a)$, iar cu semiperimetrul $s=\frac{a+b+c}{2}$ formula capătă forma compactă

$${\ell }_a=\frac{2\sqrt{bc\cdot s(s-a)}}{b+c}.$$

Merită reținută și forma „mnemonică" ${\ell }_a^2=bc-BD\cdot DC$, adică pătratul bisectoarei = produsul laturilor alăturate minus produsul segmentelor determinate pe latura opusă — se citește direct din relația lui Stewart, împărțită prin $a$.

Exemplu. Pentru $a=7$, $b=8$, $c=6$ am găsit deja $BD=3$, $DC=4$. Atunci ${\ell }_a^2=8\cdot 6-3\cdot 4=48-12=36$, deci ${\ell }_a=6$. Un rezultat perfect întreg — triunghiul $(6,7,8)$ merită ținut minte ca exemplu de lucru.

Forma trigonometrică. Există și o cale complet independentă, prin arii: aria triunghiului $ABC$ este suma ariilor triunghiurilor $ABD$ și $ADC$, deci

$$\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}c{\ell }_a\sin \frac{A}{2}+\frac{1}{2}b{\ell }_a\sin \frac{A}{2}.$$

Folosim formula unghiului dublu, $\sin A=2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2}$, simplificăm prin $\sin \frac{A}{2}\ne 0$ și obținem

$${\ell }_a=\frac{2bc\cos \frac{A}{2}}{b+c}.$$

Verificare pe același triunghi: $\cos A=\frac{64+36-49}{2\cdot 8\cdot 6}=\frac{51}{96}=\frac{17}{32}$, de unde ${\cos }^2\frac{A}{2}=\frac{1+\frac{17}{32}}{2}=\frac{49}{64}$ și $\cos \frac{A}{2}=\frac{7}{8}$. Atunci ${\ell }_a=\frac{2\cdot 8\cdot 6\cdot \frac{7}{8}}{14}=\frac{84}{14}=6$ ✓. Două drumuri, același număr — semn bun.

7. Rutina de lucru

1. Localizează $D$. Dacă $D$ e dat prin raportul $\frac{BD}{DC}=k$, atunci $BD=\frac{ka}{k+1}$ și $DC=\frac{a}{k+1}$. Dacă $AD$ e bisectoare, folosește $\frac{BD}{DC}=\frac{c}{b}$.
2. Aplică Stewart cu perechile corecte: $b^2\cdot BD+c^2\cdot DC=a\left(A{D}^2+BD\cdot DC\right)$.
3. Verifică. Ceviana interioară din $A$ este mereu cel puțin egală cu înălțimea din $A$ (egalitate doar când ea este înălțimea) și mai mică decât cea mai mare dintre $b$ și $c$. Un rezultat în afara acestor limite trădează o eroare de pereche.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Unde cade bisectoarea

În triunghiul $ABC$, $AB=6$, $AC=9$ și $BC=10$. Bisectoarea din $A$ taie $BC$ în $D$. Calculați $BD$ și $DC$.

Rezolvare. Cu $c=AB=6$, $b=AC=9$, $a=10$:

$$BD=\frac{ac}{b+c}=\frac{10\cdot 6}{15}=4,DC=\frac{ab}{b+c}=\frac{10\cdot 9}{15}=6.$$

Verificare: $4+6=10$ ✓ și $\frac{4}{6}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$ ✓. Segmentul mai mare, $DC=6$, stă lângă latura mai mare, $AC=9$. $■$

Exemplul 2 — Stewart pentru o ceviană oarecare

În triunghiul $ABC$ cu $AB=5$, $AC=7$, $BC=6$, punctul $M\in (BC)$ are $BM=2$. Calculați $AM$.

Rezolvare. Aici $a=6$, $b=AC=7$, $c=AB=5$, $m=BM=2$, $n=MC=4$. Relația lui Stewart:

$$b^{2}m+c^{2}n=a\left(A{M}^2+mn\right)⟹49\cdot 2+25\cdot 4=6\left(A{M}^2+8\right).$$

Deci $198=6A{M}^2+48$, de unde $A{M}^2=25$ și $AM=5$. Rezultatul e plauzibil: $AM$ este cuprins între înălțimea din $A$ și $\max (b,c)=7$. $■$

Exemplul 3 — Mediana din laturi

Calculați lungimea medianei din $A$ în triunghiul cu $BC=8$, $CA=7$, $AB=9$.

Rezolvare. $m_a^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}=\frac{2\cdot 49+2\cdot 81-64}{4}=\frac{98+162-64}{4}=\frac{196}{4}=49$, deci $m_a=7$.

Observă că mediana a ieșit egală cu latura $CA$ — perfect posibil, formula nu are nimic împotrivă. $■$

Exemplul 4 — Lungimea bisectoarei, pe două drumuri

În triunghiul $ABC$, $AB=4$, $AC=6$, $BC=5$. Calculați lungimea bisectoarei din $A$.

Rezolvare. Piciorul bisectoarei: $BD=\frac{5\cdot 4}{10}=2$, $DC=\frac{5\cdot 6}{10}=3$.

Drumul scurt: ${\ell }_a^2=bc-BD\cdot DC=24-6=18$, deci ${\ell }_a=3\sqrt{2}$.

Drumul cu formula generală: ${\ell }_a^2=\frac{bc\left[(b+c{)}^2-a^2\right]}{(b+c{)}^2}=\frac{24(100-25)}{100}=\frac{1800}{100}=18$ ✓.

Un detaliu care merită observat: în lecția despre teorema cosinusului, ultimul exercițiu cerea exact $AM$ în triunghiul $AB=4$, $BC=5$, $CA=6$ cu $BM=2$, iar răspunsul era $3\sqrt{2}$. Acum știi de ce numărul se repetă: punctul $M$ de acolo era piciorul bisectoarei. $■$

Exemplul 5 — Aleea din grădină

Terenul triunghiular din deschidere are laturile $AB=60$ m, $BC=70$ m, $CA=80$ m. Se trasează aleea $AD$ cu $D\in (BC)$ astfel încât $\frac{BD}{DC}=\frac{3}{4}$. Câți metri are aleea?

Rezolvare. Din $BD+DC=70$ și $\frac{BD}{DC}=\frac{3}{4}$ rezultă $BD=30$, $DC=40$. Cu $b=80$, $c=60$, $a=70$:

$$6400\cdot 30+3600\cdot 40=70\left(A{D}^2+1200\right)⟹192000+144000=70A{D}^2+84000.$$

Deci $70A{D}^2=252000$, $A{D}^2=3600$ și $AD=60$ m. (Nu e o coincidență că raportul $3:4$ a dat un rezultat rotund: $\frac{BD}{DC}=\frac{60}{80}=\frac{AB}{AC}$, deci aleea este chiar bisectoarea unghiului $A$.) $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

În triunghiul $ABC$ se cunosc $AB=6$, $AC=8$, $BC=7$, iar $AD$ este bisectoarea din $A$, $D\in (BC)$. a) Calculați $BD$ și $DC$. b) Calculați $AD$. c) Calculați $\cos \frac{A}{2}$.

Rezolvare. a) $BD=\frac{7\cdot 6}{8+6}=3$, $DC=\frac{7\cdot 8}{14}=4$.

b) $A{D}^2=AB\cdot AC-BD\cdot DC=48-12=36$, deci $AD=6$.

c) Din forma trigonometrică ${\ell }_a=\frac{2bc\cos \frac{A}{2}}{b+c}$ avem $6=\frac{2\cdot 8\cdot 6\cdot \cos \frac{A}{2}}{14}$, deci $\cos \frac{A}{2}=\frac{6\cdot 14}{96}=\frac{7}{8}$.

Verificare independentă: $\cos A=\frac{64+36-49}{96}=\frac{17}{32}$, iar $2{\cos }^2\frac{A}{2}-1=2\cdot \frac{49}{64}-1=\frac{17}{32}$ ✓. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Pentru fiecare problemă desenează triunghiul, notează $a$, $b$, $c$ și marchează segmentele $BD$, $DC$ înainte de a înlocui în formule; rezultatele iraționale rămân în formă exactă.

1. În triunghiul $ABC$, $AB=8$, $AC=12$, $BC=15$, iar $AD$ este bisectoarea din $A$. Calculează $BD$ și $DC$.

2. În triunghiul $ABC$, $AB=6$, $AC=8$, $BC=7$, iar $AD$ este bisectoarea din $A$. Calculează $BD$ și $DC$.

3. În triunghiul $ABC$, $AD$ este bisectoarea din $A$, $D\in (BC)$, $BD=4$, $DC=6$ și $AB=10$. Calculează $AC$.

4. În triunghiul $ABC$, $AB=9$, $AC=6$, iar bisectoarea din $A$ determină pe $BC$ segmentele $BD$ și $DC$ cu $BD-DC=2$. Calculează $BC$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Într-un triunghi oarecare, bisectoarea din $A$ trece prin mijlocul laturii $BC$."

6. În triunghiul $ABC$ cu $AB=5$, $AC=7$, $BC=6$, punctul $M\in (BC)$ are $BM=2$. Calculează $AM$ cu relația lui Stewart.

7. În triunghiul $ABC$ cu $AB=7$, $AC=8$, $BC=5$, punctul $M\in (BC)$ are $BM=2$. Calculează $AM$.

8. Într-un triunghi dreptunghic cu catetele $6$ și $8$, calculează cu formula medianei lungimea medianei din vârful unghiului drept și compar-o cu jumătatea ipotenuzei.

9. Calculează lungimea medianei din $A$ în triunghiul cu $BC=6$, $CA=7$, $AB=5$.

10. În triunghiul cu $a=10$, $b=9$, $c=7$, calculează $m_a$.

11. Calculează lungimea bisectoarei din $A$ în triunghiul cu $BC=7$, $CA=8$, $AB=6$, folosind formula ${\ell }_a^2=bc-BD\cdot DC$.

12. Calculează lungimea bisectoarei din $A$ în triunghiul cu $BC=5$, $CA=6$, $AB=4$, folosind formula cu semiperimetrul.

13. (Problemă aplicată.) Un teren triunghiular are laturile $AB=30$ m, $AC=40$ m, $BC=35$ m. Din colțul $A$ se trasează un gard drept până în punctul $D\in (BC)$ cu $BD=15$ m. Câți metri de gard sunt necesari?

14. Demonstrează că într-un triunghi oarecare $m_a^2+m_b^2+m_c^2=\frac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{4}$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) În triunghiul $ABC$ se cunosc $AB=4$, $AC=8$, $BC=6$, iar $AD$ este bisectoarea din $A$, $D\in (BC)$. a) Calculează $BD$ și $DC$. b) Arată că $AD=2\sqrt{6}$. c) Calculează $\cos A$.

16. Pornind de la relația lui Stewart, demonstrează formula ${\ell }_a^2=AB\cdot AC-BD\cdot DC$, valabilă când $AD$ este bisectoare.

17. (Raționament.) Folosind formula medianei și inegalitatea $2b^2+2c^2-a^2<(b+c{)}^2$ (echivalentă cu $(b-c{)}^2<a^2$), demonstrează că $m_a<\frac{b+c}{2}$. Ce interpretare geometrică are inegalitatea $|b-c|<a$?

18. (Provocare.) Fie triunghiul $ABC$ cu laturile $a$, $b$, $c$ și $M\in (BC)$ astfel încât $\frac{BM}{MC}=k$, cu $k>0$. Demonstrează că

$$A{M}^2=\frac{k{b}^2+c^2}{k+1}-\frac{k{a}^2}{(k+1{)}^2},$$

apoi verifică formula pe triunghiul cu $a=6$, $b=7$, $c=5$ și $k=\frac{1}{2}$.

Răspunsuri și explicații

1. $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$, iar $BD+DC=15$. Deci $BD=\frac{15\cdot 8}{20}=6$ și $DC=\frac{15\cdot 12}{20}=9$. Verificare: $6+9=15$ ✓.

2. $BD=\frac{7\cdot 6}{14}=3$, $DC=\frac{7\cdot 8}{14}=4$. Segmentul mai mare stă lângă latura mai mare ✓.

3. Din teorema bisectoarei, $\frac{4}{6}=\frac{10}{AC}$, deci $AC=\frac{10\cdot 6}{4}=15$. (Triunghiul cu laturile $10$, $15$, $10$ există: $10+10>15$ ✓.)

4. $\frac{BD}{DC}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$, deci $BD=3t$, $DC=2t$. Din $3t-2t=2$ rezultă $t=2$, deci $BD=6$, $DC=4$ și $BC=10$. Verificare cu inegalitatea triunghiului: $9$, $6$, $10$ formează triunghi ✓.

5. Fals în general. Bisectoarea împarte $BC$ în raportul $\frac{AB}{AC}$, iar acest raport este $1$ (adică $D$ este mijloc) exact când $AB=AC$, adică în triunghiul isoscel cu vârful în $A$. Într-un triunghi oarecare, mediana și bisectoarea din același vârf sunt drepte diferite.

6. $a=6$, $b=7$, $c=5$, $m=2$, $n=4$: $49\cdot 2+25\cdot 4=6\left(A{M}^2+8\right)$, adică $198=6A{M}^2+48$, deci $A{M}^2=25$ și $AM=5$.

7. $a=5$, $b=8$, $c=7$, $m=2$, $n=3$: $64\cdot 2+49\cdot 3=5\left(A{M}^2+6\right)$, adică $275=5A{M}^2+30$, deci $A{M}^2=49$ și $AM=7$.

8. Ipotenuza este $\sqrt{36+64}=10$. Cu $a=10$ (latura opusă vârfului unghiului drept), $b=8$, $c=6$: $m_a^2=\frac{128+72-100}{4}=25$, deci $m_a=5=\frac{10}{2}$ ✓ — formula confirmă teorema medianei din triunghiul dreptunghic.

9. $m_a^2=\frac{2\cdot 49+2\cdot 25-36}{4}=\frac{98+50-36}{4}=\frac{112}{4}=28$, deci $m_a=2\sqrt{7}\approx 5,29$. Este același triunghi ca la exercițiul 6: acolo ceviana ajungea la $2$ unități de $B$ și măsura $5$, aici ajunge la mijloc și măsoară $2\sqrt{7}$ — ceviana își schimbă lungimea odată cu punctul de pe latură.

10. $m_a^2=\frac{2\cdot 81+2\cdot 49-100}{4}=\frac{162+98-100}{4}=\frac{160}{4}=40$, deci $m_a=2\sqrt{10}$.

11. $BD=\frac{7\cdot 6}{14}=3$, $DC=4$, deci ${\ell }_a^2=8\cdot 6-3\cdot 4=36$ și ${\ell }_a=6$.

12. $s=\frac{5+6+4}{2}=\frac{15}{2}$, $s-a=\frac{5}{2}$. Atunci ${\ell }_a=\frac{2\sqrt{6\cdot 4\cdot \frac{15}{2}\cdot \frac{5}{2}}}{10}=\frac{2\sqrt{450}}{10}=\frac{2\cdot 15\sqrt{2}}{10}=3\sqrt{2}$. Coincide cu Exemplul 4 ✓.

13. $a=35$, $b=AC=40$, $c=AB=30$, $m=BD=15$, $n=DC=20$. Stewart: $1600\cdot 15+900\cdot 20=35\left(A{D}^2+300\right)$, adică $24000+18000=35A{D}^2+10500$. Deci $35A{D}^2=31500$, $A{D}^2=900$ și $AD=30$ m. (Din nou $\frac{15}{20}=\frac{30}{40}$, deci gardul este bisectoarea.)

14. Scriem cele trei formule și le adunăm:

$$m_a^2+m_b^2+m_c^2=\frac{\left(2b^2+2c^2-a^2\right)+\left(2a^2+2c^2-b^2\right)+\left(2a^2+2b^2-c^2\right)}{4}=\frac{3a^2+3b^2+3c^2}{4}.$$

Fiecare pătrat apare de două ori cu coeficientul $+2$ și o dată cu $-1$, deci în total $+3$. $■$

15. a) Cu $a=6$, $b=8$, $c=4$: $BD=\frac{ac}{b+c}=\frac{6\cdot 4}{12}=2$ și $DC=\frac{ab}{b+c}=\frac{6\cdot 8}{12}=4$ (suma $6=a$ ✓). b) $A{D}^2=AB\cdot AC-BD\cdot DC=32-8=24$, deci $AD=2\sqrt{6}$. c) $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{64+16-36}{2\cdot 8\cdot 4}=\frac{44}{64}=\frac{11}{16}$.

16. În Stewart punem $m=\frac{ac}{b+c}$, $n=\frac{ab}{b+c}$. Membrul stâng devine $\frac{a{b}^{2}c+ab{c}^2}{b+c}=\frac{abc(b+c)}{b+c}=abc$, iar membrul drept $a\left({\ell }_a^2+mn\right)$. Împărțind prin $a\ne 0$: $bc={\ell }_a^2+mn$, adică ${\ell }_a^2=bc-mn=AB\cdot AC-BD\cdot DC$. $■$

17. Din $|b-c|<a$ (inegalitatea triunghiului) rezultă $(b-c{)}^2<a^2$, adică $b^2-2bc+c^2<a^2$. Adăugând $b^2+2bc+c^2$ în ambii membri: $2b^2+2c^2<a^2+(b+c{)}^2$, deci $2b^2+2c^2-a^2<(b+c{)}^2$. Împărțind prin $4$: $m_a^2<\frac{(b+c{)}^2}{4}$, deci $m_a<\frac{b+c}{2}$. Geometric, $|b-c|<a$ spune că o latură este mai lungă decât diferența celorlalte două — jumătatea „inferioară" a inegalității triunghiului.

18. Din $\frac{BM}{MC}=k$ și $BM+MC=a$ obținem $m=BM=\frac{ka}{k+1}$, $n=MC=\frac{a}{k+1}$. Înlocuim în Stewart și împărțim prin $a$:

$$\frac{b^2\cdot \frac{ka}{k+1}+c^2\cdot \frac{a}{k+1}}{a}=A{M}^2+\frac{k{a}^2}{(k+1{)}^2}⟹\frac{k{b}^2+c^2}{k+1}=A{M}^2+\frac{k{a}^2}{(k+1{)}^2},$$

de unde formula cerută. Verificare cu $a=6$, $b=7$, $c=5$, $k=\frac{1}{2}$: $\frac{\frac{49}{2}+25}{\frac{3}{2}}-\frac{\frac{1}{2}\cdot 36}{\frac{9}{4}}=\frac{\frac{99}{2}}{\frac{3}{2}}-8=33-8=25$, deci $AM=5$ — exact rezultatul de la exercițiul 6, unde $BM=2$ și $MC=4$ dau într-adevăr $k=\frac{1}{2}$ ✓.

De reținut

• Teorema bisectoarei: $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$, de unde $BD=\frac{ac}{b+c}$ și $DC=\frac{ab}{b+c}$. Segmentul mai mare stă lângă latura mai mare.
• Relația lui Stewart: $b^2\cdot BD+c^2\cdot DC=a\left(A{D}^2+BD\cdot DC\right)$ — fiecare latură la pătrat merge cu segmentul depărtat de ea.
• Mediana: $m_a^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}$; verificarea rapidă e triunghiul dreptunghic, unde mediana din unghiul drept iese exact $\frac{a}{2}$.
• Bisectoarea: ${\ell }_a^2=bc-BD\cdot DC=\frac{bc\left[(b+c{)}^2-a^2\right]}{(b+c{)}^2}$, iar trigonometric ${\ell }_a=\frac{2bc\cos \frac{A}{2}}{b+c}$.
• Metoda din spatele tuturor: teorema cosinusului aplicată de două ori pentru același unghi — unghiul din capătul laturii împărțite este comun triunghiului mic și triunghiului mare.

Greșeli frecvente

• Perechile inversate în Stewart. Se scrie $b^2\cdot DC+c^2\cdot BD$ în loc de $b^2\cdot BD+c^2\cdot DC$. Atenție: un triunghi isoscel sau o mediană nu demască greșeala, pentru că acolo termenii sunt egali; testează pe un caz scalen, de exemplu cel din Exemplul 2 ($a=6$, $b=7$, $c=5$, $BM=2$), unde varianta corectă dă $AM=5$, iar cea inversată ar da $\sqrt{33}$.
• Confundarea bisectoarei cu mediana. Bisectoarea împarte latura opusă în raportul laturilor alăturate, nu în părți egale; ele coincid doar în triunghiul isoscel cu vârful în același punct.
• Uitarea produsului $BD\cdot DC$ din membrul drept al relației lui Stewart — fără el rezultatul iese mereu prea mare.
• Formula medianei scrisă cu latura greșită. În $m_a^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}$, latura $a$ este cea pe care cade mediana; ea intră cu semnul minus, celelalte două cu $+2$.
• Aplicarea teoremei bisectoarei la bisectoarea exterioară fără ajustare. Când $AB\ne AC$, bisectoarea exterioară din $A$ taie prelungirea lui $BC$ într-un punct $A^{\prime }$ cu $\frac{A^{\prime }B}{A^{\prime }C}=\frac{AB}{AC}$ — același raport, dar punctul este în afara segmentului (iar dacă $AB=AC$, ea este paralelă cu $BC$ și punctul nu există). Detaliul e esențial în lecția despre teorema lui Menelaus.

Aplică acasă

1. Triunghiul din curte. Marchează în curte sau în parc trei repere care formează un triunghi și măsoară cu pasul (sau cu ruleta de pe telefon) cele trei laturi. Calculează, cu formulele din lecție, unde ar cădea piciorul bisectoarei din fiecare vârf și lungimea fiecărei mediane. Apoi întinde o sfoară de la un vârf până la punctul calculat și verifică lungimea cu ruleta — abaterea îți arată cât de precise au fost măsurătorile inițiale.

2. Harta digitală. Alege pe o hartă online trei intersecții din orașul tău și citește distanțele dintre ele. Calculează mediana din fiecare vârf și găsește punctul de întâlnire al medianelor (centrul de greutate) — el este „centrul echilibrat" al celor trei locuri. Compară cu locul pe care l-ai fi ales intuitiv ca punct de întâlnire cu doi prieteni.

3. Verificarea cu foarfeca. Decupează din carton un triunghi scalen și trasează cu rigla bisectoarea dintr-un vârf, folosind formula $BD=\frac{ac}{b+c}$ pentru a marca punctul $D$. Verifică apoi cu raportorul că unghiurile $BAD$ și $DAC$ sunt într-adevăr egale. Repetă pentru mediană și observă cât de mult diferă cele două ceviene într-un triunghi „turtit".

Pentru părinți și profesori

Lecția închide blocul de relații metrice al unității de trigonometrie aplicată și acoperă trei cerințe explicite ale programei de matematică-informatică: determinarea lungimii medianei, determinarea lungimii bisectoarei și determinarea lungimii unui segment care unește un vârf cu un punct de pe latura opusă, atunci când se cunoaște raportul în care punctul împarte latura. Elevul trebuie să vadă relația lui Stewart nu ca pe o formulă în plus de memorat, ci ca pe teorema generală din care mediana și bisectoarea se obțin prin simple substituții — este primul exemplu clar, la geometrie, de „o teoremă-mamă și cazurile ei particulare".

Întrebări bune de control: „De ce bisectoarea nu trece prin mijlocul laturii opuse?" (raportul e $\frac{c}{b}$, egal cu $1$ doar la isoscel); „Cu ce segment se înmulțește $b^2$ în relația lui Stewart?" (cu $BD$, cel depărtat de $b$); „Ce obții din formula medianei într-un triunghi dreptunghic?" (teorema medianei din gimnaziu); „Ce unghi se folosește de două ori în demonstrația lui Stewart?" (unghiul $B$, comun triunghiurilor $ABD$ și $ABC$). Semne că a înțeles: deduce singur formula medianei din Stewart, nu o recită; verifică fiecare rezultat cu inegalitatea triunghiului și cu ordinea segmentelor; recunoaște, într-o problemă cu $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$, că ceviana este de fapt bisectoare.

La Bacalaureatul M1, aceste rezultate apar în subiectele de geometrie sub forme recurente: calculul unei ceviene într-un triunghi cu laturi date, calculul lungimii bisectoarei sau al segmentelor determinate de ea, probleme în care se cere $\cos \frac{A}{2}$ pornind de la bisectoare, precum și probleme combinate cu aria triunghiului. Exercițiile 15 și 18 din lecție reproduc fidel acest tipar.

Întrebări frecvente

Ce spune teorema bisectoarei într-un triunghi? Bisectoarea unui unghi al triunghiului împarte latura opusă în două segmente proporționale cu laturile alăturate: dacă $AD$ este bisectoarea din $A$ și $D\in (BC)$, atunci $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$.

Cum calculez lungimile segmentelor determinate de bisectoare? Cu formulele $BD=\frac{ac}{b+c}$ și $DC=\frac{ab}{b+c}$, unde $a=BC$, $b=CA$, $c=AB$. Verifică mereu că suma lor dă latura $a$.

Ce este relația lui Stewart și la ce folosește? Este formula care dă lungimea oricărei ceviene: $b^2\cdot BD+c^2\cdot DC=BC\left(A{D}^2+BD\cdot DC\right)$. Folosește-o ori de câte ori cunoști cele trei laturi ale triunghiului și poziția punctului de pe latura opusă.

Care este formula lungimii medianei unui triunghi? $m_a^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}$, unde $a$ este latura pe care cade mediana. Se obține din relația lui Stewart punând $BD=DC=\frac{a}{2}$.

Care este formula lungimii bisectoarei unui triunghi? Cea mai ușor de folosit este ${\ell }_a^2=AB\cdot AC-BD\cdot DC$. Echivalent, ${\ell }_a=\frac{2\sqrt{bc\cdot s(s-a)}}{b+c}$ cu $s$ semiperimetrul, sau trigonometric ${\ell }_a=\frac{2bc\cos \frac{A}{2}}{b+c}$.

Cum aflu lungimea unui segment de la un vârf la un punct de pe latura opusă? Dacă punctul $M$ împarte latura în raportul $\frac{BM}{MC}=k$, calculezi întâi $BM=\frac{ka}{k+1}$ și $MC=\frac{a}{k+1}$, apoi aplici relația lui Stewart. Este exact cerința din programa de mate-info.

De ce demonstrația relației lui Stewart folosește teorema cosinusului de două ori? Pentru că unghiul din vârful $B$ este același în triunghiul mic $ABD$ și în triunghiul mare $ABC$. Îi calculezi cosinusul o dată, în triunghiul mare, și îl transferi în cel mic — astfel scapi de singura necunoscută în plus.

Bisectoarea este mereu mai scurtă decât mediana din același vârf? Da. Cele trei ceviene din același vârf se ordonează întotdeauna după lungime: $h_a\le {\ell }_a\le m_a$, adică înălțimea este cea mai scurtă, mediana cea mai lungă, iar bisectoarea stă mereu între ele. Egalitatea are loc doar când $b=c$, caz în care cele trei ceviene coincid. Motivul: dacă $AB<AC$, atunci pe dreapta $BC$ picioarele apar în ordinea $H$, $D$, $M$ măsurate dinspre $B$, iar lungimea $AX$ crește pe măsură ce $X$ se depărtează de piciorul $H$ al înălțimii. De exemplu, pentru $a=7$, $b=8$, $c=6$: $h_a\approx 5,81$, ${\ell }_a=6$, $m_a=\frac{\sqrt{151}}{2}\approx 6,14$.