În concluzia teoremei de medie, punctul $$c$$:

aparține intervalului închis $$[a, b]$$, deci poate fi și un capăt

există și fără ipoteza de continuitate

aparține numai intervalului deschis $$(a, b)$$

Ce spune teorema de medie?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Teorema de medie

Pentru o funcție continuă pe $[a, b]$ există un punct $c$ din acest interval cu $\int_{a}^{b} f (x) d x = f (c) (b - a)$ . Altfel spus, valoarea medie $\frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ este atinsă efectiv de funcție undeva pe interval. Geometric, dreptunghiul cu baza cât intervalul și înălțimea $f (c)$ are aceeași arie cu regiunea de sub grafic.

Valoarea medie a unei funcții continue $f$ pe $[a, b]$ este $μ = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ : integrala împărțită la lungimea intervalului. Ea generalizează media aritmetică a unui număr finit de valori.

Teorema de medie spune că, dacă $f$ este continuă pe $[a, b]$ , atunci există $c \in [a, b]$ cu $\int_{a}^{b} f (x) d x = f (c) (b - a)$ : media este efectiv atinsă de funcție. Demonstrația folosește trei ingrediente — marginile atinse (teorema lui Weierstrass pentru funcții), monotonia integralei și proprietatea valorilor intermediare.

Interpretarea geometrică: dreptunghiul cu baza $[a, b]$ și înălțimea $f (c)$ are aceeași arie cu subgraficul funcției. Punctul $c$ se determină rezolvând ecuația $f (c) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ ; el poate să nu fie unic, deci se spune „valorile $c$ ” până la constatarea unicității, iar intervalul din concluzie este închis, deci un capăt este o soluție acceptabilă.

Ipoteza de continuitate nu este decor: pentru o funcție în trepte nu există niciun $c$ . Două capcane: valoarea medie a lui $f$ nu este $f (\frac{a + b}{2})$ decât la funcțiile de gradul întâi, iar factorul $b - a$ nu se pierde. Din demonstrație rămâne o unealtă independentă: încadrarea integralei, $m (b - a) \leq \int_{a}^{b} f \leq M (b - a)$ .

De reținut

$\int_{a}^{b} f = f (c) (b - a)$ , cu $c \in [a, b]$
$μ = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f$
$m (b - a) \leq \int_{a}^{b} f \leq M (b - a)$

Greșeala tipică

Se pierde factorul $b - a$ din concluzie. Teorema egalează integrala cu $f (c)$ înmulțit cu lungimea intervalului, iar la lungimea $1$ factorul se face nevăzut și naște obișnuința greșită.

Exerciții din această mini-lecție

Valoarea medie a funcției $f : [0, 6] \to R$ , $f (x) = x^{2}$ , este:
- a) $72$
- b) $12$
- c) $9$
- d) $36$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $12$

Valoarea medie este $\frac{1}{6} \int_{0}^{6} x^{2} d x = \frac{1}{6} \cdot \frac{216}{3} = 12$ . Varianta $72$ este chiar integrala, fără împărțirea la $b - a$ ; varianta $9$ este $f (\frac{0 + 6}{2})$ — egalitate valabilă numai la funcțiile de gradul întâi; varianta $36$ este $f (6)$ .
Punctul $c$ dat de teorema de medie pentru $f : [1, 5] \to R$ , $f (x) = 2 x + 1$ , este:
- a) $3$
- b) $2$
- c) $7$
- d) $4$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $3$

Valoarea medie este $\frac{1}{4} \int_{1}^{5} (2 x + 1) d x = \frac{28}{4} = 7$ , iar ecuația $2 c + 1 = 7$ dă $c = 3$ — mijlocul intervalului, ca la orice funcție de gradul întâi. Varianta $7$ confundă valoarea medie cu punctul în care este atinsă.
În concluzia teoremei de medie, punctul $c$ :
- a) este unic întotdeauna
- b) există și fără ipoteza de continuitate
- c) aparține numai intervalului deschis $(a, b)$
- d) aparține intervalului închis $[a, b]$ , deci poate fi și un capăt
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) aparține intervalului închis $[a, b]$ , deci poate fi și un capăt

Spre deosebire de teorema lui Lagrange, aici concluzia se scrie cu $c \in [a, b]$ : demonstrația se sprijină pe valorile intermediare dintre marginile atinse, iar un capăt este o soluție legitimă. Unicitatea nu este garantată — la $sin$ pe $[0, π]$ există două valori —, iar fără continuitate concluzia poate fi falsă.

Întrebări conexe

Ce valoare medie are o funcție care își schimbă semnul?

Poate ieși zero sau chiar negativă, fiindcă integrala face compensări între porțiunile de deasupra axei și cele de sub ea. Media nu se confundă atunci cu media modulului, care măsoară cât de departe stă graficul de axă, indiferent de parte.

Ce valoare medie are o funcție constantă?

Chiar constanta. Integrala ei pe interval este produsul dintre constantă și lungimea intervalului, iar împărțirea la lungime lasă constanta neatinsă. Este un control simplu al formulei mediei, înainte de a o folosi pe funcții mai complicate.

Ce încadrare rămâne din demonstrația teoremei de medie?

Inegalitatea $m (b - a) \leq \int_{a}^{b} f \leq M (b - a)$ , unde $m$ și $M$ sunt valorile extreme ale funcției pe interval. Se obține integrând inegalitatea dintre funcție și cele două constante și rămâne o unealtă de sine stătătoare, folosită la orice încadrare.

Ce teoreme se folosesc în demonstrația teoremei de medie?

Trei: teorema lui Weierstrass, care dă valorile extreme atinse; monotonia integralei, care preschimbă inegalitatea dintre funcții în inegalitate între numere; și proprietatea valorilor intermediare, care produce punctul căutat. Toate cer continuitatea, deci ipoteza nu este de ornament.

Ce legătură are teorema de medie cu teorema lui Lagrange?

Sunt aceeași afirmație, privită prin primitive. Aplicând teorema lui Lagrange funcției $F$ , care are derivata $f$ , se obține $F (b) - F (a) = f (c) (b - a)$ , adică tocmai concluzia teoremei de medie, scrisă cu integrala.

Oamenii mai întreabă și: teorema de medie pentru integrale · valoarea medie a unei funcții · punctul c din teorema de medie · interpretarea geometrică a teoremei de medie · media unei funcții pe un interval