Teorema Kronecker-Capelli afirmă că un sistem de ecuații liniare este compatibil dacă și numai dacă:

$$\operatorname{rang} A = \operatorname{rang} \overline{A}$$

$$\operatorname{rang} A = n$$, unde $$n$$ este numărul necunoscutelor

$$\operatorname{rang} \overline{A} = \operatorname{rang} A + 1$$

Când are soluții un sistem de ecuații liniare?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Teorema Kronecker-Capelli

Un sistem are soluții exact când rangul matricei coeficienților este egal cu rangul matricei extinse. Dacă cele două ranguri diferă, sistemul este incompatibil. Când sunt egale, valoarea comună decide restul: dacă rangul este egal cu numărul necunoscutelor, există o singură soluție; dacă este mai mic, apar necunoscute secundare, iar soluțiile formează o familie infinită.

Regula lui Cramer tace ori de câte ori $det A = 0$ sau sistemul nu e pătratic. Teorema Kronecker-Capelli acoperă exact aceste cazuri, comparând două numere: $rang A$ și $rang \overline{A}$ , unde $\overline{A}$ este matricea extinsă.

Enunțul. Un sistem de ecuații liniare este compatibil dacă și numai dacă $rang A = rang \overline{A}$ . Fiind o echivalență, teorema se folosește în ambele sensuri: și ca să arăți că sistemul are soluții, și ca să arăți că nu are.

Precizarea de completare. Fie $r$ valoarea comună a rangurilor și $n$ numărul necunoscutelor. Dacă $r = n$ , sistemul e compatibil determinat; dacă $r < n$ , e compatibil nedeterminat, cu $n - r$ necunoscute secundare — numărul $n - r$ se numește grad de nedeterminare (simplu nedeterminat pentru $1$ , dublu nedeterminat pentru $2$ ). Dacă rangurile diferă, sistemul e incompatibil.

Cum $A$ este formată din primele $n$ coloane ale lui $\overline{A}$ , orice minor al lui $A$ este și minor al lui $\overline{A}$ , deci $rang A \leq rang \overline{A} \leq rang A + 1$ : există numai două situații posibile. Numărul ecuațiilor nu apare nicăieri în concluzie — contează rangul, nu $m$ .

De reținut

Compatibil $⟺ rang A = rang \overset{ˉ}{A}$
Rang comun $=$ numărul necunoscutelor $\Rightarrow$ soluție unică
Rang comun $<$ numărul necunoscutelor $\Rightarrow$ infinitate de soluții

Greșeala tipică

Se trage concluzia că sistemul este incompatibil doar fiindcă determinantul se anulează. Anularea scoate sistemul din regula lui Cramer, dar el poate rămâne compatibil, cu o infinitate de soluții; decizia o dau rangurile.

Exerciții din această mini-lecție

Teorema Kronecker-Capelli afirmă că un sistem de ecuații liniare este compatibil dacă și numai dacă:
- a) $det A \neq = 0$
- b) $rang A = n$ , unde $n$ este numărul necunoscutelor
- c) $rang A = rang \overline{A}$
- d) $rang \overline{A} = rang A + 1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $rang A = rang \overline{A}$

Condiția $det A \neq = 0$ se poate pune numai la sisteme pătratice și este mai tare decât compatibilitatea — ea dă soluție unică. Condiția $rang A = n$ înseamnă tot determinare, nu simplă compatibilitate. Iar $rang \overline{A} = rang A + 1$ este exact situația opusă: sistem incompatibil.
Un sistem cu $4$ ecuații și $3$ necunoscute are $rang A = rang \overline{A} = 2$ . Sistemul este:
- a) compatibil simplu nedeterminat
- b) compatibil determinat
- c) incompatibil
- d) compatibil dublu nedeterminat
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) compatibil simplu nedeterminat

Rangurile fiind egale, sistemul este compatibil. Cum $r = 2 < 3 = n$ , el este nedeterminat, iar gradul de nedeterminare este $n - r = 3 - 2 = 1$ : o singură necunoscută secundară, deci simplu nedeterminat. Numărul ecuațiilor, $4$ , nu intervine în concluzie.
Sistemul $x + 2 y - z = 3$ , $2 x - y + 3 z = 1$ , $3 x + y + 2 z = 5$ este:
- a) compatibil determinat
- b) compatibil simplu nedeterminat
- c) compatibil dublu nedeterminat
- d) incompatibil
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) incompatibil

În matricea sistemului $L_{3} = L_{1} + L_{2}$ , deci $det A = 0$ ; minorul $12 2 - 1 = - 5 \neq = 0$ dă $rang A = 2$ . La termenii liberi însă relația se rupe: $3 + 1 = 4 \neq = 5$ . Minorul lui $\overline{A}$ din coloanele $1$ , $2$ și coloana termenilor liberi este $123 2 - 1 1 315 = - 5 \neq = 0$ , deci $rang \overline{A} = 3 \neq = 2$ : sistem incompatibil.

Întrebări conexe

Ce înseamnă că rangul matricei extinse e mai mare cu 1?

Că printre ecuații s-a strecurat una care le contrazice pe celelalte, de tipul $0 = 5$ după eliminări. Diferența nu poate depăși $1$ , fiindcă tabloul extins are o singură coloană în plus.

Cum arăt că un sistem este incompatibil?

Găsești un minor nenul în matricea extinsă, de ordin mai mare decât rangul matricei coeficienților. Echivalent, eșalonezi tabloul extins și arăți că apare o linie cu zerouri în stânga și un număr nenul în dreapta.

Ce rang are matricea unui sistem cu soluție unică?

Rangul este egal cu numărul necunoscutelor și, în plus, coincide cu cel al matricei extinse. La un sistem pătratic aceasta revine la condiția ca determinantul să fie nenul, adică la regula lui Cramer.

De ce rangul matricei extinse nu poate fi mai mic?

Fiindcă matricea coeficienților este cuprinsă în cea extinsă, deci orice minor nenul al ei rămâne minor nenul și acolo. Rangul poate, așadar, doar să crească prin adăugarea coloanei, niciodată să scadă.

Cum se aplică teorema la un sistem cu mai multe ecuații decât necunoscute?

La fel, fără nicio schimbare: se compară cele două ranguri. Un astfel de sistem este adesea incompatibil, fiindcă ecuațiile în plus impun condiții suplimentare, dar nu obligatoriu — ele pot repeta informația deja existentă.

Ce legătură are teorema cu poziția a două drepte în plan?

Un sistem de două ecuații cu două necunoscute descrie două drepte. Rangurile egale cu $2$ înseamnă drepte concurente, rangurile egale cu $1$ înseamnă drepte confundate, iar ranguri diferite înseamnă drepte paralele distincte.

Oamenii mai întreabă și: teorema Kronecker-Capelli · când are soluții un sistem · rangul matricei extinse egal cu rangul matricei sistemului · sistem compatibil sau incompatibil