Fie $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$, $$f(x)=x^{5}$$. Care afirmație este corectă?

$$0$$ este punct critic, dar nu este punct de extrem

$$0$$ este punct de minim local

Pentru $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$, $$f(x)=x^{2}-10x+21$$, formularea corectă este:

punctul de minim este $$x_0=5$$, iar valoarea minimă este $$f(5)=-4$$

punctul de minim este $$-4$$, iar valoarea minimă este $$5$$

punctul de minim este $$5$$, iar valoarea minimă este $$5$$

funcția nu are puncte de extrem

Ce spune teorema lui Fermat despre extreme?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Puncte de extrem și teorema lui Fermat

Dacă $x_{0}$ este punct de extrem local aflat în interiorul unui interval, iar funcția este derivabilă acolo, atunci $f^{'} (x_{0}) = 0$ . Teorema restrânge căutarea, dar nu o încheie: punctele în care derivata se anulează rămân doar candidați, cum arată $x^{3}$ în origine. Niciuna dintre cele două ipoteze nu se poate scoate — modulul are minim în $0$ fără să fie derivabil.

$x_{0}$ este punct de maxim local al lui $f$ dacă există o vecinătate $V$ a lui $x_{0}$ cu $f (x) \leq f (x_{0})$ pentru orice $x \in V \cap D$ ; analog pentru minim local. Regula permanentă de redactare: punctul nu este valoarea — punctul de extrem este $x_{0}$ , valoarea extremă este $f (x_{0})$ . Dacă inegalitatea are loc pe tot domeniul, extremul se numește global.

Teorema lui Fermat. Fie $f : I \to R$ , $I$ interval, și $x_{0}$ un punct de extrem local din interiorul lui $I$ . Dacă $f$ este derivabilă în $x_{0}$ , atunci $f^{'} (x_{0}) = 0$ . Demonstrația compară semnele raportului de diferențe pe cele două părți: $f_{s}^{'} (x_{0}) \geq 0$ și $f_{d}^{'} (x_{0}) \leq 0$ , iar derivabilitatea le lipește într-o singură valoare.

Punctele în care $f$ e derivabilă și $f^{'} (x_{0}) = 0$ se numesc puncte critice (staționare). Ele sunt doar candidați: reciproca este falsă, cum arată $f (x) = x^{3}$ în $0$ . Nici ipoteza „din interior", nici „derivabilă" nu se pot scoate — pe $[0, 3]$ , funcția $x^{2} - 4 x + 7$ are maximul în capătul $0$ , iar $∣ x ∣$ are minim în $0$ fără să fie derivabilă acolo.

Extremele se caută în trei locuri: punctele critice, capetele domeniului și punctele de nederivabilitate. Natura unui punct critic se decide, deocamdată, algebric: studiezi semnul diferenței $f (x) - f (x_{0})$ , după o factorizare.

De reținut

extrem local interior plus derivabilitate dau $f^{'} (x_{0}) = 0$
reciproca este falsă: $x^{3}$ are $f^{'} (0) = 0$ fără extrem
extremele se caută în puncte critice, capete și puncte de nederivabilitate

Greșeala tipică

Se confundă punctul de extrem cu valoarea extremă. Punctul este abscisa $x_{0}$ , iar valoarea este $f (x_{0})$ ; cerința „punctul de minim” cere primul număr, „minimul” cere pe al doilea.

Exerciții din această mini-lecție

Punctele critice ale funcției $f : R \to R$ , $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 36 x + 1$ , sunt:
- a) ${- 2, 3}$
- b) ${0, 6}$
- c) ${- 3, 2}$
- d) ${1, - 6}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) ${- 3, 2}$

$f^{'} (x) = 6 x^{2} + 6 x - 36 = 6 (x + 3) (x - 2)$ , iar ecuația $f^{'} (x) = 0$ are soluțiile $- 3$ și $2$ . Atenție la semne: rădăcinile trinomului $x^{2} + x - 6$ sunt $- 3$ și $2$ , nu $3$ și $- 2$ .
Fie $f : R \to R$ , $f (x) = x^{5}$ . Care afirmație este corectă?
- a) $0$ este punct de minim local
- b) $0$ este punct critic, dar nu este punct de extrem
- c) $f^{'} (0) \neq = 0$
- d) $0$ este punct de maxim local
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $0$ este punct critic, dar nu este punct de extrem

$f^{'} (x) = 5 x^{4}$ , deci $f^{'} (0) = 0$ și $0$ este punct critic. Funcția putere cu exponent impar este însă strict crescătoare, deci în orice vecinătate a originii ia și valori negative, și valori pozitive: nu poate fi extrem. Reciproca teoremei lui Fermat este falsă.
Pentru $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} - 10 x + 21$ , formularea corectă este:
- a) punctul de minim este $- 4$ , iar valoarea minimă este $5$
- b) punctul de minim este $5$ , iar valoarea minimă este $5$
- c) punctul de minim este $x_{0} = 5$ , iar valoarea minimă este $f (5) = - 4$
- d) funcția nu are puncte de extrem
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) punctul de minim este $x_{0} = 5$ , iar valoarea minimă este $f (5) = - 4$

$f^{'} (x) = 2 x - 10$ se anulează în $x_{0} = 5$ , iar din forma canonică $f (x) = (x - 5)^{2} - 4$ rezultă $f (x) \geq - 4 = f (5)$ pentru orice $x$ real. Punctul de extrem este abscisa $5$ ; valoarea extremă este ordonata $- 4$ . Confuzia dintre ele este cea mai des sancționată greșeală de redactare.

Întrebări conexe

Care sunt punctele critice ale funcției x la a treia minus 3x pătrat minus 9x?

Derivezi și rezolvi ecuația: $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x - 9 = 3 (x - 3) (x + 1)$ , deci punctele critice sunt $- 1$ și $3$ . Ele rămân deocamdată simpli candidați; natura fiecăruia se stabilește abia din semnul derivatei în jurul lui.

Ce înseamnă geometric concluzia teoremei lui Fermat?

Că tangenta la grafic în acel punct este orizontală. Curba se oprește din urcat și începe să coboare, ori invers, iar în clipa aceea panta trece prin zero. Desenul explică și de ce condiția cade la capete: acolo curba nu are de unde să se întoarcă.

În ce trei locuri caut extremele unei funcții?

În punctele critice, în capetele domeniului și în punctele unde funcția nu este derivabilă. Teorema acoperă numai prima categorie, așa că celelalte două trebuie cercetate separat. Uitarea capetelor este greșeala tipică la un interval închis.

Cum se demonstrează teorema lui Fermat cu derivatele laterale?

Se privesc semnele pe care le ia raportul de diferențe de o parte și de alta: la un maxim iese nenegativ în stânga și nepozitiv în dreapta. Derivabilitatea le lipește într-un singur număr, care nu poate fi decât zero.

Ce înseamnă extrem global față de extrem local?

Unul local se compară doar cu punctele din apropiere, unul global cu toate punctele domeniului. Orice extrem global aflat în interior este și local, dar nu invers. Pe un interval închis, extremele globale se află comparând numere.

Unde își atinge maximul funcția x pătrat minus 4x plus 7, pe intervalul de la 0 la 3?

În capătul $0$ , unde valoarea este $7$ . Punctul critic $x = 2$ dă $3$ , adică minimul, iar celălalt capăt dă $4$ . Comparând cele trei numere, maximul cade în capăt, deși acolo derivata valorează $- 4$ .

Oamenii mai întreabă și: teorema lui Fermat · puncte de extrem local · puncte critice ale unei funcții · derivata se anulează în extrem · punct staționar