Teorema lui Lagrange afirmă că, pentru $$f$$ continuă pe $$[a,b]$$ și derivabilă pe $$(a,b)$$, există $$c \in (a,b)$$ astfel încât:

$$f'(c)=\dfrac{f'(b)-f'(a)}{b-a}$$

$$f(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

Pentru $$f:[-2,2]\to\mathbb{R}$$, $$f(x)=\lvert x \rvert$$, raportul $$\dfrac{f(2)-f(-2)}{4}$$ este $$0$$, dar nu există niciun $$c \in (-2,2)$$ cu $$f'(c)=0$$. Motivul este că:

$$f$$ nu este derivabilă în $$0$$, punct interior, deci ipoteza de derivabilitate pe $$(-2,2)$$ cade

teorema lui Lagrange cere $$f(a)=f(b)$$

funcția nu este continuă pe $$[-2,2]$$

teorema garantează unicitatea, nu existența

Ce spune teorema lui Lagrange?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Teorema lui Lagrange

Dacă $f$ este continuă pe $[a, b]$ și derivabilă pe $(a, b)$ , atunci există $c$ înăuntru cu $f^{'} (c) = \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}$ . Cu alte cuvinte, undeva viteza de moment egalează viteza medie de pe tot parcursul, iar tangenta din acel punct are aceeași înclinare ca segmentul dus între capetele arcului. Teorema lui Rolle este cazul particular în care valorile de la capete coincid.

Un radar de tronson măsoară viteza medie pe o distanță întreagă. Dacă mișcarea a fost neîntreruptă, a existat cu siguranță cel puțin o clipă în care vitezometrul a arătat exact acea valoare. Aceasta este teorema lui Lagrange: ea leagă o informație globală (cât s-a schimbat funcția între capete) de una locală (cât de repede se schimbă într-un punct).

Teorema lui Lagrange (a creșterilor finite): fie $f : [a, b] \to R$ continuă pe $[a, b]$ și derivabilă pe $(a, b)$ . Atunci există $c \in (a, b)$ cu $f (b) - f (a) = f^{'} (c) (b - a), echivalent f^{'} (c) = \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a} .$ Geometric: există un punct interior în care tangenta este paralelă cu coarda care unește capetele graficului. Demonstrația scade coarda din funcție — $h (x) = f (x) - f (a) - m (x - a)$ are $h (a) = h (b) = 0$ — și aplică teorema lui Rolle, al cărei caz particular este $f (a) = f (b)$ .

Ca și la Rolle, continuitatea se cere pe intervalul închis, derivabilitatea doar pe cel deschis, iar concluzia afirmă existența, nu unicitatea; soluțiile din capete se resping.

A doua mare familie de aplicații pornește de la citirea inversă: dacă $m \leq f^{'} (x) \leq M$ pe $(a, b)$ , atunci $m (b - a) \leq f (b) - f (a) \leq M (b - a)$ . De aici se obțin încadrări (de pildă $\frac{1}{11} < ln 1, 1 < \frac{1}{10}$ ) și inegalități precum $∣ sin b - sin a ∣ \leq ∣ b - a ∣$ .

De reținut

$f (b) - f (a) = f^{'} (c) (b - a)$ , cu $c$ înăuntrul intervalului
continuă pe intervalul închis, derivabilă pe cel deschis
din $m \leq f^{'} \leq M$ rezultă $m (b - a) \leq f (b) - f (a) \leq M (b - a)$

Greșeala tipică

Se folosește teorema pe un interval în care funcția nu este derivabilă peste tot, de pildă la modul pe un interval care conține zero. Ipoteza se verifică pe tot intervalul deschis.

Exerciții din această mini-lecție

Teorema lui Lagrange afirmă că, pentru $f$ continuă pe $[a, b]$ și derivabilă pe $(a, b)$ , există $c \in (a, b)$ astfel încât:
- a) $f (b) - f (a) = f^{'} (c) (b - a)$
- b) $f^{'} (c) = 0$
- c) $f^{'} (c) = \frac{f ^{'} ( b ) - f ^{'} ( a )}{b - a}$
- d) $f (c) = \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $f (b) - f (a) = f^{'} (c) (b - a)$

Este formula creșterilor finite. Varianta $f^{'} (c) = 0$ este concluzia lui Rolle, adevărată doar în cazul particular $f (a) = f (b)$ ; a treia confundă raportul valorilor funcției cu un raport de derivate, iar a patra pune valoarea funcției acolo unde trebuie derivata.
Valoarea $c$ dată de teorema lui Lagrange pentru $f : [1, 4] \to R$ , $f (x) = x^{2} + 2 x$ , este:
- a) $c = 2$
- b) $c = \frac{5}{2}$
- c) $c = 3$
- d) $c = \frac{7}{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $c = \frac{5}{2}$

Funcția e polinomială, deci continuă pe $[1, 4]$ și derivabilă pe $(1, 4)$ . Raportul coardei: $\frac{f ( 4 ) - f ( 1 )}{4 - 1} = \frac{24 - 3}{3} = 7$ . Din $f^{'} (c) = 2 c + 2 = 7$ rezultă $c = \frac{5}{2} \in (1, 4)$ — chiar mijlocul intervalului, cum se întâmplă la orice funcție de gradul al doilea.
Pentru $f : [- 2, 2] \to R$ , $f (x) = ∣ x ∣$ , raportul $\frac{f ( 2 ) - f ( - 2 )}{4}$ este $0$ , dar nu există niciun $c \in (- 2, 2)$ cu $f^{'} (c) = 0$ . Motivul este că:
- a) teorema lui Lagrange cere $f (a) = f (b)$
- b) funcția nu este continuă pe $[- 2, 2]$
- c) teorema garantează unicitatea, nu existența
- d) $f$ nu este derivabilă în $0$ , punct interior, deci ipoteza de derivabilitate pe $(- 2, 2)$ cade
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $f$ nu este derivabilă în $0$ , punct interior, deci ipoteza de derivabilitate pe $(- 2, 2)$ cade

Funcția este continuă pe $[- 2, 2]$ , dar în $0$ are un punct unghiular, iar $0$ este interior intervalului. Ipoteza căzând, teorema nu se aplică — și, într-adevăr, $f^{'} (x) = \pm 1$ nu se anulează nicăieri. O teoremă cu ipoteze neîndeplinite nu spune nimic despre concluzie.

Întrebări conexe

Ce interpretare geometrică are teorema creșterilor finite?

Undeva înăuntru curba are o tangentă la fel de înclinată ca segmentul dintre capete. Vizual, iei coarda și o translatezi paralel cu ea însăși până când atinge graficul; punctul de atingere este chiar $c$ .

Cum se demonstrează teorema lui Lagrange cu ajutorul teoremei lui Rolle?

Se scade coarda din funcție: se ia $h (x) = f (x) - f (a) - m (x - a)$ , unde $m$ este panta coardei. Noua funcție ia valori egale la capete, amândouă nule, deci i se poate aplica teorema lui Rolle. Din $h^{'} (c) = 0$ iese concluzia.

Ce încadrare obțin dacă derivata este cuprinsă între două numere?

Din $m \leq f^{'} (x) \leq M$ pe interval rezultă $m (b - a) \leq f (b) - f (a) \leq M (b - a)$ . Așa se obțin estimări numerice, de pildă $\frac{1}{11} < ln 1, 1 < \frac{1}{10}$ , fără niciun calculator. Ideea este că, pe intervalul dat, creșterea funcției nu poate depăși cea mai mare pantă disponibilă.

Cum arăt că diferența sinusurilor nu depășește diferența argumentelor?

Aplici teorema pe intervalul dintre cele două numere și obții $sin b - sin a = cos c \cdot (b - a)$ . Cum cosinusul are modulul cel mult $1$ , rezultă imediat inegalitatea cerută. Metoda merge la orice funcție cu derivata mărginită.

Ce valoare are c pentru funcția x pătrat, pe intervalul de la 0 la 2?

Panta coardei este $\frac{4 - 0}{2 - 0} = 2$ , iar derivata este $2 x$ , deci ecuația $2 c = 2$ dă $c = 1$ . Punctul se află înăuntrul intervalului, cum cere enunțul. Aici el iese determinat fără ambiguitate, dar în general pot fi mai multe.

Ce legătură are radarul de tronson cu teorema creșterilor finite?

Radarul măsoară viteza medie pe o porțiune de drum. Teorema spune că o mișcare neîntreruptă trece obligatoriu printr-un moment în care vitezometrul arată chiar acel număr. Amenda se sprijină, matematic, pe acest rezultat.

Oamenii mai întreabă și: teorema lui Lagrange · teorema creșterilor finite · tangentă paralelă cu coarda · formula creșterilor finite · cum aflu c din teorema lui Lagrange