Teorema lui Rolle cere ca funcția $$f:[a,b]\to\mathbb{R}$$ să fie:

continuă pe $$[a,b]$$, derivabilă pe $$(a,b)$$ și cu $$f(a)=f(b)$$

derivabilă pe $$[a,b]$$ și cu $$f(a)=f(b)$$

continuă pe $$(a,b)$$ și derivabilă pe $$[a,b]$$

continuă pe $$[a,b]$$ și cu $$f(a)=f(b)$$

Funcția $$f:[-1,1]\to\mathbb{R}$$, $$f(x)=\lvert x \rvert$$, are $$f(-1)=f(1)$$, dar derivata ei nu se anulează nicăieri. Motivul este că:

$$f$$ nu este derivabilă în $$0$$, deci a doua ipoteză cade

funcția nu este continuă pe $$[-1,1]$$

teorema lui Rolle nu se aplică funcțiilor pare

Ce spune teorema lui Rolle?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Teorema lui Rolle

Dacă $f$ este continuă pe $[a, b]$ , derivabilă pe $(a, b)$ și ia aceeași valoare la capete, atunci undeva înăuntru derivata se anulează: există $c \in (a, b)$ cu $f^{'} (c) = 0$ . Geometric, tangenta devine orizontală măcar într-un punct. Enunțul afirmă existența, nu numărul soluțiilor, și nu spune cât este $c$ . Ipotezele sunt asimetrice și nu se pot inversa.

Dacă graficul unei funcții netede pleacă și ajunge la aceeași înălțime, undeva înăuntru tangenta este orizontală. Aceasta este interpretarea geometrică a teoremei.

Teorema lui Rolle (se admite fără demonstrație). Fie $f : [a, b] \to R$ cu: $f$ continuă pe $[a, b]$ ; $f$ derivabilă pe $(a, b)$ ; $f (a) = f (b)$ . Atunci există $c \in (a, b)$ cu $f^{'} (c) = 0$ .

Asimetria ipotezelor nu se inversează: continuitatea pe intervalul închis, derivabilitatea doar pe cel deschis. Fiecare ipoteză se plătește — fără continuitate, fără derivabilitate ( $∣ x - 1 ∣$ pe $[0, 2]$ ) sau fără $f (a) = f (b)$ ( $f (x) = x$ pe $[0, 1]$ ), concluzia cade.

Teorema dă existența, nu unicitatea, și nu spune cât este $c$ . Rețeta unui exercițiu are cinci pași: domeniul, continuitatea, derivabilitatea, egalitatea $f (a) = f (b)$ , apoi rezolvarea ecuației $f^{'} (x) = 0$ și selectarea rădăcinilor din intervalul deschis $(a, b)$ — capetele se resping.

Consecința 1: între două rădăcini ale funcției se află cel puțin o rădăcină a derivatei. Consecința 2: între două rădăcini consecutive ale derivatei se află cel mult o rădăcină a funcției. A doua este temelia șirului lui Rolle.

De reținut

continuă pe $[a, b]$ , derivabilă pe $(a, b)$ și $f (a) = f (b)$ dau $f^{'} (c) = 0$
continuitatea se cere pe închis, derivabilitatea pe deschis
teorema dă existența, nu valoarea lui $c$

Greșeala tipică

Se cere derivabilitatea și în capetele intervalului. Acolo se pretinde doar continuitatea; derivabilitatea se cere numai pe intervalul deschis.

Exerciții din această mini-lecție

Teorema lui Rolle cere ca funcția $f : [a, b] \to R$ să fie:
- a) continuă pe $[a, b]$ , derivabilă pe $(a, b)$ și cu $f (a) = f (b)$
- b) derivabilă pe $[a, b]$ și cu $f (a) = f (b)$
- c) continuă pe $(a, b)$ și derivabilă pe $[a, b]$
- d) continuă pe $[a, b]$ și cu $f (a) = f (b)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) continuă pe $[a, b]$ , derivabilă pe $(a, b)$ și cu $f (a) = f (b)$

Cele trei ipoteze se scriu întotdeauna în această ordine, cu asimetria închis/deschis. A cere derivabilitatea și în capete este o ipoteză mai tare decât cea din teoremă și exclude, fără motiv, funcții cu tangentă verticală în $a$ sau în $b$ ; a renunța la derivabilitate lasă concluzia falsă.
Pentru $f : [0, 4] \to R$ , $f (x) = x^{2} - 4 x$ , valoarea $c$ dată de teorema lui Rolle este:
- a) $c = 0$
- b) $c = 2$
- c) $c = 4$
- d) $c = - 2$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $c = 2$

Funcția este polinomială, deci continuă pe $[0, 4]$ și derivabilă pe $(0, 4)$ , iar $f (0) = f (4) = 0$ . Din $f^{'} (x) = 2 x - 4 = 0$ rezultă $x = 2 \in (0, 4)$ . Valorile $0$ și $4$ sunt capete, nu puncte interioare, deci nu pot fi raportate ca răspuns.
Funcția $f : [- 1, 1] \to R$ , $f (x) = ∣ x ∣$ , are $f (- 1) = f (1)$ , dar derivata ei nu se anulează nicăieri. Motivul este că:
- a) funcția nu este continuă pe $[- 1, 1]$
- b) teorema lui Rolle nu se aplică funcțiilor pare
- c) $f (- 1) \neq = f (1)$
- d) $f$ nu este derivabilă în $0$ , deci a doua ipoteză cade
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $f$ nu este derivabilă în $0$ , deci a doua ipoteză cade

Funcția este continuă pe $[- 1, 1]$ și $f (- 1) = f (1) = 1$ , dar în $0$ derivatele laterale sunt $- 1$ și $1$ , deci diferite. A doua ipoteză nefiind îndeplinită, teorema pur și simplu nu se aplică — nu există nicio contradicție. În rest, $f^{'} (x) = \pm 1$ .

Întrebări conexe

Ce se întâmplă dacă valorile de la capete nu sunt egale?

Concluzia cade: pe $[0, 1]$ , funcția $f (x) = x$ are derivata constant $1$ , deci nu se anulează nicăieri. Pentru situația aceasta există altă unealtă, teorema lui Lagrange, care înlocuiește zeroul cu panta coardei.

Ce spune prima consecință a teoremei lui Rolle?

Că derivata are măcar o rădăcină între oricare două rădăcini ale funcției. Rezultatul se obține aplicând teorema pe intervalul dintre ele, unde valorile de la capete sunt amândouă nule. El se folosește la numărarea rădăcinilor.

De ce se resping rădăcinile care cad în capetele intervalului?

Fiindcă enunțul cere $c$ strict înăuntru, pe intervalul deschis. O rădăcină a derivatei aflată chiar în $a$ sau în $b$ nu răspunde cerinței. Selecția aceasta este ultimul pas al rezolvării și se scrie explicit.

Ce arată geometric teorema lui Rolle?

Că între cele două capete, unde funcția ia aceeași valoare, graficul are cel puțin un punct cu tangentă orizontală. Acolo curba se oprește din urcat și începe să coboare, sau invers, deci panta trece prin zero. Coarda care unește capetele este orizontală, iar tangenta din acel punct îi rămâne paralelă.

Care sunt cei cinci pași ai unui exercițiu cu teorema lui Rolle?

Scrii domeniul, arăți continuitatea pe intervalul închis, arăți derivabilitatea pe cel deschis, verifici egalitatea valorilor de la capete, apoi rezolvi ecuația derivatei și alegi rădăcinile dinăuntru. Fiecare pas se punctează separat.

De ce modulul de x minus 1 nu verifică ipotezele pe intervalul de la 0 la 2?

Pentru că nu este derivabil în punctul $1$ , aflat chiar înăuntru. Valorile de la capete sunt egale, amândouă $1$ , iar funcția e continuă, dar ipoteza de derivabilitate cade. Derivata nu se anulează nicăieri, deci concluzia lipsește.

Oamenii mai întreabă și: teorema lui Rolle · ipotezele teoremei lui Rolle · derivata se anulează între două valori egale · tangentă orizontală · consecințele teoremei lui Rolle