Un sistem cu $$5$$ ecuații și $$4$$ necunoscute are $$\operatorname{rang} A = 3$$. Câți determinanți caracteristici trebuie calculați și ce ordin au?

$$2$$ determinanți, de ordinul al patrulea

$$3$$ determinanți, de ordinul al patrulea

$$4$$ determinanți, de ordinul al treilea

un singur determinant, de ordinul al patrulea

Determinantul caracteristic atașat unei ecuații secundare se obține bordând minorul principal cu:

coloana coeficienților unei necunoscute secundare și linia ecuației secundare

coloana termenilor liberi și linia termenilor liberi

încă o linie și încă o coloană dintre cele principale

Ce spune teorema lui Rouché?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Teorema lui Rouché

Un sistem compatibil are toți determinanții caracteristici nuli; dacă măcar unul iese nenul, sistemul nu are soluții. Se pornește de la un minor principal, adică un minor nenul de ordin egal cu rangul; ecuațiile și necunoscutele care intră în el se numesc principale. Fiecare ecuație rămasă produce câte un determinant caracteristic, format bordând minorul principal cu coeficienții și cu termenii liberi ai acelei ecuații.

Teorema lui Rouché este teorema Kronecker-Capelli rescrisă ca procedură: în loc să calculezi rangul matricei extinse, mai ai de făcut exact $m - r$ determinanți.

Se fixează un minor principal — un minor nenul de ordin $r = rang A$ , ales în $A$ ; el nu este unic, iar concluzia nu depinde de alegere. În jurul lui se împart: necunoscutele principale (cele ale căror coeficienți intră în minor) și secundare (celelalte, în număr de $n - r$ ); ecuațiile principale (cele ale căror linii intră în minor) și secundare (celelalte, $m - r$ la număr).

Fiecărei ecuații secundare $k$ i se atașează un determinant caracteristic $Δ_{c a r}^{(k)}$ , de ordin $r + 1$ : se bordează minorul principal cu linia coeficienților ecuației secundare la necunoscutele principale și cu coloana termenilor liberi ai liniilor folosite.

Teorema lui Rouché. Un sistem de ecuații liniare este compatibil dacă și numai dacă toți determinanții caracteristici sunt nuli. Dacă $r = m$ , nu există nicio ecuație secundară, deci condiția e îndeplinită automat.

Procedura nu doar decide, ci și rezolvă: sistemul principal — ecuațiile principale, cu necunoscutele secundare trecute în membrul drept ca $α$ , $β$ — are drept determinant chiar minorul principal, deci este de tip Cramer.

De reținut

Compatibil $⟺$ toți determinanții caracteristici sunt nuli
Minor principal = minor nenul de ordin egal cu rangul
Un determinant caracteristic pentru fiecare ecuație secundară

Greșeala tipică

Se aruncă ecuațiile secundare, ca și cum ar fi de prisos, și se rezolvă doar cele principale. Ele decid dacă sistemul are într-adevăr soluții, iar o singură ecuație secundară neverificată face sistemul incompatibil.

Exerciții din această mini-lecție

Un sistem cu $5$ ecuații și $4$ necunoscute are $rang A = 3$ . Câți determinanți caracteristici trebuie calculați și ce ordin au?
- a) $3$ determinanți, de ordinul al patrulea
- b) $4$ determinanți, de ordinul al treilea
- c) un singur determinant, de ordinul al patrulea
- d) $2$ determinanți, de ordinul al patrulea
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $2$ determinanți, de ordinul al patrulea

Numărul lor este $m - r = 5 - 3 = 2$ , câte unul pentru fiecare ecuație secundară, iar ordinul este $r + 1 = 4$ , pentru că minorul principal de ordin $3$ se bordează cu o linie și o coloană. Numărătoarea se face înainte de orice calcul: dacă îți ies mai mulți sau mai puțini, ai greșit rangul.
Determinantul caracteristic atașat unei ecuații secundare se obține bordând minorul principal cu:
- a) coloana coeficienților unei necunoscute secundare și linia ecuației secundare
- b) linia coeficienților ecuației secundare la necunoscutele principale și coloana termenilor liberi
- c) coloana termenilor liberi și linia termenilor liberi
- d) încă o linie și încă o coloană dintre cele principale
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) linia coeficienților ecuației secundare la necunoscutele principale și coloana termenilor liberi

În determinantul caracteristic intră liniile ecuațiilor principale plus linia ecuației secundare, iar coloanele sunt cele ale necunoscutelor principale plus coloana termenilor liberi. Cea mai frecventă greșeală este bordarea cu coeficienții unei necunoscute secundare; a doua, uitarea termenilor liberi ai ecuațiilor principale — ultima coloană conține termenii liberi ai tuturor liniilor folosite.
Pentru sistemul $x + 2 y + z = 3$ , $2 x + 5 y - z = 4$ , $3 x + 7 y = 8$ se ia ca minor principal cel din primele două linii și primele două coloane. Determinantul caracteristic este:
- a) $0$
- b) $12$
- c) $1$
- d) $- 1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $1$

Minorul principal este $1225 = 1 \neq = 0$ , deci $rang A = 2$ (a treia linie este suma primelor două). Bordând cu linia a treia și cu coloana termenilor liberi obținem $Δ_{c a r}^{(3)} = 123257348 = 12 - 8 - 3 = 1 \neq = 0$ , deci sistemul este incompatibil — într-adevăr, $3 + 4 = 7 \neq = 8$ .

Întrebări conexe

Ce ecuații rămân după alegerea minorului principal?

Cele ale căror linii nu au intrat în minor, numite ecuații secundare. Ele nu se aruncă: fiecare produce un determinant caracteristic, iar anularea tuturor acestor determinanți este chiar condiția de compatibilitate.

Ce înseamnă că ecuațiile secundare sunt consecințe?

Că se pot obține din cele principale prin adunări cu coeficienți potriviți, deci nu adaugă nicio informație nouă. Când lucrul acesta se întâmplă, ele sunt automat verificate de orice soluție a ecuațiilor principale.

Cum leg teorema lui Rouché de teorema Kronecker-Capelli?

Spun același lucru, cu instrumente diferite: anularea tuturor determinanților caracteristici înseamnă că bordarea nu ridică rangul, adică matricea extinsă are același rang cu cea a coeficienților. Prima variantă se aplică mai ușor pe hârtie.

Cum verific soluțiile obținute după aplicarea teoremei?

Le înlocuiești în ecuațiile secundare, nu doar în cele principale. Ecuațiile principale sunt satisfăcute prin construcție, deci controlul are valoare abia pe cele rămase în afara minorului ales.

De ce se numesc caracteristici acei determinanți?

Fiindcă fiecare dintre ei caracterizează o ecuație secundară: valoarea lui spune dacă acea ecuație se potrivește cu celelalte sau le contrazice. Numele nu are legătură cu polinomul caracteristic al unei matrice, deși cuvântul este același.

Câte necunoscute rămân secundare într-un sistem compatibil?

Atâtea câte arată diferența dintre numărul necunoscutelor și rang. Ele se trec în membrul drept ca parametri, iar celelalte se exprimă în funcție de ele. Când diferența este zero, sistemul are soluție unică; altfel apare o infinitate de soluții.

Oamenii mai întreabă și: teorema lui Rouché · determinanți caracteristici · minor principal și ecuații secundare · criteriul lui Rouché pentru compatibilitate