Care dintre următoarele afirmații este adevărată?

orice șir monoton și mărginit este convergent

orice șir mărginit este convergent

orice șir monoton este convergent

orice șir convergent este monoton

Șirul $$a_n=n$$ arată că:

monotonia singură nu asigură convergența

mărginirea singură nu asigură convergența

reciproca teoremei lui Weierstrass este falsă

un șir crescător nu are limită

De ce nu crește oricât suma 1+ 1/4+…+ 1/n²?

Pentru că fiecare termen poate fi majorat cu unul mai simplu, a cărui sumă se calculează: din 1/k²< 1/(k(k-1)) suma din dreapta se reduce telescopic și rămâne sub 2. Fiind și crescătoare, are limită.

Când este convergent un șir monoton?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Teorema lui Weierstrass

Este convergent atunci când, pe lângă monotonie, este și mărginit: un șir crescător și mărginit superior are limită finită, la fel unul descrescător și mărginit inferior. Teorema garantează existența limitei, dar nu spune cât face. Niciuna dintre cele două condiții nu poate lipsi: șirul $a_{n} = n$ este crescător și nu converge, iar $(- 1)^{n}$ este mărginit fără să aibă limită.

Teorema lui Weierstrass (se admite fără demonstrație): orice șir monoton și mărginit de numere reale este convergent. Mai precis, limita unui șir crescător și mărginit superior este $sup$ al mulțimii termenilor, iar a unuia descrescător și mărginit inferior este $in f$ .

Este primul rezultat de existență pură: garantează că limita există, fără să o dea. De aceea rezolvă cazuri în care nicio metodă de calcul nu funcționează — sume cu număr crescător de termeni și șiruri definite prin recurență.

Completarea: orice șir monoton are limită în $\overline{R}$ ; un șir crescător și nemărginit superior are limita $+ \infty$ . Pe scurt: un șir monoton este convergent dacă și numai dacă este mărginit. Șirul $(n)$ are limită, dar nu este convergent.

Niciuna dintre ipoteze nu poate lipsi: $a_{n} = n$ este monoton și nemărginit (limita $+ \infty$ ), iar $a_{n} = (- 1)^{n}$ este mărginit și nemonoton (fără limită). Reciproca este falsă: $a_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$ converge la $0$ fără să fie monoton.

Rețeta: monotonia din semnul lui $a_{n + 1} - a_{n}$ (sau din raport, la termeni pozitivi), mărginirea în sensul creșterii (majorant pentru un șir crescător — cealaltă barieră vine gratuit din primul termen), apoi concluzia. Bariera nu trebuie să fie cea mai bună, ci doar un număr fix.

De reținut

Monoton $+$ mărginit $\Rightarrow$ convergent
Crescător și mărginit superior: limita $= sup$ al mulțimii termenilor
Teorema dă existența limitei, nu și valoarea ei

Greșeala tipică

Se conchide convergența doar din monotonie, uitând mărginirea. Un șir crescător poate crește nemărginit, cum face șirul numerelor naturale, iar atunci limita lui este infinită.

Exerciții din această mini-lecție

Care dintre următoarele afirmații este adevărată?
- a) orice șir mărginit este convergent
- b) orice șir monoton este convergent
- c) orice șir convergent este monoton
- d) orice șir monoton și mărginit este convergent
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) orice șir monoton și mărginit este convergent

Este chiar teorema lui Weierstrass. Celelalte trei cad pe contraexemple: $a_{n} = (- 1)^{n}$ este mărginit fără limită; $a_{n} = n$ este monoton, cu limita $+ \infty$ , deci neconvergent; $a_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$ converge la $0$ fără să fie monoton.
Șirul $a_{n} = \frac{4 n + 3}{n + 1}$ este strict crescător. Care majorant încheie demonstrația convergenței prin teorema lui Weierstrass?
- a) $M = 3$
- b) $M = \frac{7}{2}$
- c) $M = 4$
- d) nu există majorant
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $M = 4$

Rescriem $a_{n} = \frac{4 ( n + 1 ) - 1}{n + 1} = 4 - \frac{1}{n + 1} < 4$ pentru orice $n$ , deci $4$ este majorant, iar șirul, fiind crescător, este minorat de $a_{1} = \frac{7}{2}$ : este mărginit și monoton, deci convergent. Numerele $3$ și $\frac{7}{2}$ nu majorează șirul — deja $a_{2} = \frac{11}{3} > \frac{7}{2}$ .
Șirul $a_{n} = n$ arată că:
- a) monotonia singură nu asigură convergența
- b) mărginirea singură nu asigură convergența
- c) reciproca teoremei lui Weierstrass este falsă
- d) un șir crescător nu are limită
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) monotonia singură nu asigură convergența

Șirul este strict crescător, dar nemărginit superior, deci are limita $+ \infty$ și nu este convergent: lipsa plafonului strică totul. Pentru b) contraexemplul este $a_{n} = (- 1)^{n}$ (mărginit, nemonoton), iar pentru c), $a_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$ . Varianta d) e falsă chiar aici: șirul are limită, anume $+ \infty$ .

Întrebări conexe

Ce limită are un șir crescător și mărginit superior?

Chiar marginea superioară a mulțimii termenilor lui. Valoarea nu este neapărat atinsă, dar termenii urcă spre ea oricât de aproape, ceea ce dă exact definiția limitei.

Cum aplic teorema la un șir definit prin recurență?

Arăți întâi, prin inducție, că șirul este mărginit, apoi compari doi termeni consecutivi ca să stabilești monotonia. Abia după ce existența limitei este asigurată se trece la limită în relația de recurență.

Ce mărginire trebuie verificată la un șir descrescător?

Cea de jos: se caută un prag sub care termenii nu coboară niciodată. Mărginirea superioară vine de la sine, fiindcă primul termen este cel mai mare dintre toți.

Ce exemplu arată că teorema nu se poate inversa?

Șirul cu termenul general $\frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$ este convergent la zero, dar nu este monoton, fiindcă sare de o parte și de alta. Convergența nu cere, așadar, monotonie.

Cum aflu limita după ce am dovedit că șirul converge?

Treci la limită în relația care leagă termenii, notând limita cu o literă și rezolvând ecuația obținută. Pasul acesta este permis abia după ce existența limitei a fost dovedită, altfel calculul nu are temei.

De ce nu crește oricât suma $1 + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{n ^{2}}$ ?

Pentru că fiecare termen poate fi majorat cu unul mai simplu, a cărui sumă se calculează: din $\frac{1}{k ^{2}} < \frac{1}{k ( k - 1 )}$ suma din dreapta se reduce telescopic și rămâne sub $2$ . Fiind și crescătoare, are limită.

Oamenii mai întreabă și: teorema lui Weierstrass pentru șiruri · șir monoton și mărginit este convergent · criteriul de convergență monotonie și mărginire · când are limită un șir crescător