Matricea $$A = \begin{pmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}$$ este:

matrice scalară, dar nu matricea unitate

triunghiulară superioară, dar nu diagonală

Dacă $$A \in \mathcal{M}_{3,5}(\mathbb{C})$$, atunci transpusa $${}^{t}A$$ aparține mulțimii:

$$\mathcal{M}_{5,3}(\mathbb{C})$$

$$\mathcal{M}_{3,5}(\mathbb{C})$$

$$\mathcal{M}_{15}(\mathbb{C})$$

Ce tipuri de matrice există?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Tipuri de matrice. Transpusa

Numele se citesc ca niște condiții pe indici. La matricea nulă toate numerele sunt zero; matricea pătratică are tot atâtea linii câte coloane; cea diagonală are zerouri în afara diagonalei principale; cea unitate are $1$ pe diagonala principală și zerouri în rest; cea scalară este diagonală, cu elementele diagonale egale între ele; cea triunghiulară superioară are zerouri sub diagonală. Aproape toate aceste nume cer mai întâi ca matricea să fie pătratică.

O matrice este pătratică dacă are tot atâtea linii câte coloane; numărul comun $n$ se numește ordinul ei. Diagonala principală este formată din elementele cu $i = j$ , iar diagonala secundară din cele cu $i + j = n + 1$ . Atenție: diagonalele, ca aproape toate numele din această lecție, au sens numai în cazul pătratic — prima verificare este întotdeauna $m = n$ .

Numele se citesc ca condiții pe indici: matricea nulă $O_{m, n}$ are toate elementele nule și există pentru orice format; matricea unitate $I_{n}$ are $1$ pe diagonala principală și $0$ în rest; o matrice diagonală verifică $a_{ij} = 0$ pentru $i \neq = j$ ; una scalară este diagonală, cu toate elementele diagonale egale între ele; una triunghiulară superioară are $a_{ij} = 0$ pentru $i > j$ , iar cea inferioară, $a_{ij} = 0$ pentru $i < j$ . Numele „superioară” vine de la locul numerelor, nu al zerourilor. Tipurile nu se exclud: $I_{n}$ este simultan diagonală, scalară, triunghiulară în ambele sensuri și simetrică.

Transpusa $^{t} A$ se obține scriind liniile drept coloane: dacă $^{t} A = (b_{ij})$ , atunci $b_{ij} = a_{j i}$ , iar formatul $m \times n$ devine $n \times m$ . Întotdeauna $^{t} (^{t} A) = A$ . O matrice pătratică se numește simetrică dacă $^{t} A = A$ , adică $a_{ij} = a_{j i}$ : tabloul se oglindește în diagonala principală, ca o matrice de distanțe.

De reținut

diagonala principală: elementele cu $i = j$
$I_{n}$ : $1$ pe diagonala principală, $0$ în rest
simetrică: transpusa coincide cu matricea

Greșeala tipică

Cele două tipuri triunghiulare sunt confundate. Numele „superioară” arată unde stau numerele, adică deasupra diagonalei; scrie o matrice de ordinul al doilea și uită-te la ea înainte de a răspunde.

Exerciții din această mini-lecție

Matricea $A = 600060006$ este:
- a) matricea unitate $I_{3}$
- b) matrice scalară, dar nu matricea unitate
- c) triunghiulară superioară, dar nu diagonală
- d) matricea nulă $O_{3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) matrice scalară, dar nu matricea unitate

Toate elementele din afara diagonalei principale sunt nule, deci $A$ este diagonală, iar cele trei elemente diagonale sunt egale între ele, deci $A$ este scalară. Nu este $I_{3}$ , pentru că matricea unitate cere valoarea comună $1$ , nu $6$ . Este și triunghiulară superioară, dar afirmația de la varianta c) o neagă pe cea corectă („dar nu diagonală”).
Dacă $A \in M_{3, 5} (C)$ , atunci transpusa $^{t} A$ aparține mulțimii:
- a) $M_{3, 5} (C)$
- b) $M_{15} (C)$
- c) $M_{5, 3} (C)$
- d) $M_{3} (C)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $M_{5, 3} (C)$

La transpunere liniile devin coloane, deci cele două dimensiuni se schimbă între ele: din $3 \times 5$ se obține $5 \times 3$ . Formatul se păstrează doar la matricele pătratice, iar produsul $3 \cdot 5 = 15$ numără elementele, nu dă un ordin.
Se consideră $A = 245 x - 3 1 - 3 5 y + 2 0$ , cu $x, y \in R$ . Matricea este simetrică pentru:
- a) $x = 1$ , $y = - 1$
- b) $x = 4$ , $y = - 3$
- c) $x = 7$ , $y = - 1$
- d) $x = 7$ , $y = - 5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $x = 7$ , $y = - 5$

Simetria cere $a_{ij} = a_{j i}$ pe pozițiile simetrice: din $x - 3 = 4$ rezultă $x = 7$ , din $y + 2 = - 3$ rezultă $y = - 5$ , iar $a_{13} = a_{31}$ se verifică deja ( $5 = 5$ ). Varianta $y = - 1$ apare când se adună în loc să se scadă, iar $x = 4$ când se uită termenul $- 3$ .

Întrebări conexe

Ce este o matrice scalară?

Este o matrice diagonală ale cărei elemente de pe diagonala principală sunt toate egale între ele, deci se scrie ca un număr înmulțit cu matricea unitate. Orice matrice scalară este diagonală, dar nu orice matrice diagonală este scalară.

Poate o matrice să fie de mai multe tipuri deodată?

Da, tipurile nu se exclud. Matricea unitate îndeplinește deodată condițiile de matrice diagonală, de matrice scalară, de matrice simetrică și pe cele două de matrice triunghiulară. La fel, o matrice nulă pătratică bifează aproape toată lista, fiindcă are zerouri peste tot.

Ce format are transpusa unei matrice de tipul $2 \times 5$ ?

Este de tipul $5 \times 2$ : liniile devin coloane, deci cele două numere se schimbă între ele. Elementul de pe linia $i$ și coloana $j$ ajunge pe linia $j$ și coloana $i$ , iar transpunând a doua oară revii la matricea de la care ai pornit.

Care este ordinul unei matrice pătratice?

Este numărul comun de linii și de coloane. O matrice cu trei linii și trei coloane are ordinul $3$ . Noțiunea are sens numai în cazul pătratic; pentru un tablou dreptunghiular se vorbește despre tip, nu despre ordin.

De ce diagonalele au sens doar la matrice pătratice?

Fiindcă diagonala principală adună elementele cu cei doi indici egali, iar într-un tablou dreptunghiular șirul acesta se oprește înainte de colț. Prima verificare, înaintea oricărei discuții despre diagonale, urme sau determinanți, este ca numărul de linii să fie egal cu cel de coloane.

Ce matrice are transpusa egală cu opusa ei?

Se numește antisimetrică: elementele așezate simetric față de diagonala principală sunt opuse, iar pe diagonală stau numai zerouri, fiindcă un număr egal cu opusul lui este zero. La ordinul al doilea, singura formă posibilă are $a$ și $- a$ în afara diagonalei.

Oamenii mai întreabă și: tipuri de matrice · matrice pătratică diagonală și unitate · matrice triunghiulară superioară · matrice simetrică și transpusă