Prin izomorfismul $$\varphi(a + bi) = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}$$, numărului complex $$z = 3 - 4i$$ îi corespunde matricea:

$$\begin{pmatrix} 3 & -4 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ -4 & 3 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} -4 & 3 \\ -3 & -4 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 3 & -4 \\ -4 & 3 \end{pmatrix}$$

Ce păstrează un izomorfism când muți o problemă?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Transferul de structură

Păstrează tot ce se poate exprima prin operație: neutrul, simetricele, puterile, ordinul fiecărui element, comutativitatea și ciclicitatea. Mai mult, ecuațiile $x^{m} = a$ în primul grup și $y^{m} = f (a)$ în al doilea au același număr de soluții, iar acestea se corespund prin $f$ — proprietatea care face metoda riguroasă. Natura concretă a obiectelor, în schimb, rămâne pe loc: matricele nu devin numere și nici invers.

Transferul de structură înseamnă mutarea unei probleme dintr-un grup $G$ într-un grup izomorf $G^{'}$ , rezolvarea ei acolo unde calculul e simplu și întoarcerea răspunsului cu $f^{- 1}$ , care este tot izomorfism. Temeiul lui este cuprins în patru propoziții. Propoziția 1: $f (e) = e^{'}$ , $f (x^{- 1}) = f (x)^{- 1}$ , $f (x^{m}) = f (x)^{m}$ . Propoziția 2: $ord (f (x)) = ord (x)$ . Propoziția 3: comutativitatea și ciclicitatea se transferă. Propoziția 4 (transferul soluțiilor): ecuațiile $x^{m} = a$ în $G$ și $y^{m} = f (a)$ în $G^{'}$ au același număr de soluții, care se corespund prin $f$ — amănuntul care face metoda riguroasă, nu doar ingenioasă. Nu se transferă nimic din natura concretă a obiectelor.

Obiectul de lucru este $G = {A (a, b) ∣ a, b \in R, a^{2} + b^{2} \neq = 0}$ , cu $A (a, b) = (a - b b a)$ , grup comutativ față de înmulțire, cu $A (a, b) A (c, d) = A (a c - b d, a d + b c)$ și $det A (a, b) = a^{2} + b^{2}$ . Comparând cu $(a + bi) (c + d i) = (a c - b d) + (a d + b c) i$ , se vede izomorfismul $φ : C^{*} \to G$ , $φ (a + bi) = A (a, b)$ , prin care $det φ (z) = ∣ z ∣^{2}$ și $φ (ρ (cos θ + i sin θ)) = ρR (- θ)$ . Ecuația $X^{n} = B$ are atunci exact $n$ soluții, găsite cu rădăcinile de ordinul $n$ ale unui număr complex; iar puterile mari de matrice se calculează cu formula lui Moivre.

De reținut

$G = {A (a, b) ∣ a^{2} + b^{2} \neq = 0}$ este grup comutativ, izomorf cu $(C^{*}, \cdot)$
$φ (a + bi) = A (a, b)$ , cu $det φ (z) = ∣ z ∣^{2}$
ecuația $X^{n} = B$ are exact $n$ soluții în $G$

Greșeala tipică

Se rezolvă ecuația matriceală fără a verifica întâi că matricea din enunț aparține grupului. Metoda merge numai pentru matricele de forma $A (a, b)$ , iar în rest corespondența cu numerele complexe nici nu există.

Exerciții din această mini-lecție

Câte soluții are, în grupul $G$ al matricelor $A (a, b) = (a - b b a)$ nenule, ecuația $X^{5} = (0 - 32 320)$ ?
- a) una singură
- b) două
- c) cinci
- d) treizeci și două
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) cinci

Membrul drept este $A (0, 32) = φ (32 i)$ , deci ecuația se transferă în $C^{*}$ sub forma $z^{5} = 32 i$ . Orice număr complex nenul are exact cinci rădăcini de ordinul $5$ , distincte două câte două, iar Propoziția 4 spune că numărul soluțiilor se păstrează prin izomorfism. Sunt deci exact $5$ soluții matriceale. Numărul lor face parte din răspuns și se punctează separat.
Prin izomorfismul $φ (a + bi) = (a - b b a)$ , numărului complex $z = 3 - 4 i$ îi corespunde matricea:
- a) $(34 - 4 3)$
- b) $(3 - 4 43)$
- c) $(- 4 - 3 3 - 4)$
- d) $(3 - 4 - 4 3)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(34 - 4 3)$

Aici $a = 3$ și $b = - 4$ , deci matricea este $A (3, - 4) = (34 - 4 3)$ : partea reală pe diagonala principală, partea imaginară sus-dreapta și opusul ei jos-stânga. Varianta a doua corespunde lui $3 + 4 i$ , a treia inversează rolurile lui $a$ și $b$ , iar a patra este simetrică, deci nu are forma cerută.
Pentru orice $z \in C^{*}$ , determinantul matricei $φ (z)$ este egal cu:
- a) $∣ z ∣$
- b) $∣ z ∣^{2}$
- c) $2 ∣ z ∣$
- d) $z^{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $∣ z ∣^{2}$

Dacă $z = a + bi$ , atunci $φ (z) = A (a, b)$ și $det A (a, b) = a \cdot a - b \cdot (- b) = a^{2} + b^{2} = ∣ z ∣^{2}$ . Este traducerea care permite exprimarea unei condiții despre determinant printr-una despre modul — pasul fără de care cerințele de tipul „arătați că toate soluțiile au determinantul $4$ ” nu s-ar putea transfera.

Întrebări conexe

Ce determinant are matricea $A (a, b)$ cu $a$ pe diagonală?

Pentru $A (a, b) = (a - b b a)$ determinantul este $a^{2} + b^{2}$ . El se anulează doar când $a$ și $b$ sunt amândouă nule, deci toate celelalte matrice ale familiei sunt inversabile, iar mulțimea lor formează grup față de înmulțire.

Cum se leagă modulul unui număr complex de determinantul matricei asociate?

Determinantul este pătratul modulului: $det φ (z) = ∣ z ∣^{2}$ . Corespondența $φ (a + bi) = A (a, b)$ duce partea reală și cea imaginară pe locurile lor din matrice, iar $a^{2} + b^{2}$ este chiar pătratul modulului. Tot așa, transpusa matricei corespunde conjugatului numărului.

Ce spune propoziția de transfer al soluțiilor unei ecuații?

Că ecuația $x^{m} = a$ din primul grup și ecuația $y^{m} = f (a)$ din al doilea au exact același număr de soluții, iar $f$ le pune în corespondență una câte una. Fără această propoziție, metoda ar fi doar o analogie; cu ea, numărul de soluții găsit este complet.

De ce nu se aplică metoda unei matrice oarecare de ordinul al doilea?

Fiindcă izomorfismul acoperă numai matricele de forma $A (a, b)$ . Matricea $(1324)$ nu are corespondent printre numerele complexe, așa că mutarea problemei nici nu se poate face, iar o concluzie trasă pe această cale ar rămâne fără temei.

Ce se pierde dacă scrii doar rădăcina principală a ecuației $z^{n} = w$ ?

Se pierd celelalte $n - 1$ soluții. Ecuația $z^{n} = w$ cu $w$ nenul are în $C$ tocmai $n$ rădăcini distincte, așezate la unghiuri egale pe un cerc, iar prin izomorfism fiecare dintre ele dă o matrice. Cine scrie o singură valoare pierde punctajul pe tot subpunctul.

Se transferă comutativitatea și ciclicitatea printr-un izomorfism?

Da, amândouă. Dacă în primul grup oricare două elemente comută, atunci și imaginile lor comută, iar surjectivitatea acoperă tot grupul de sosire. La fel, imaginea unui generator generează grupul de sosire, deci ciclicitatea trece nealterată.

Oamenii mai întreabă și: transfer de structură prin izomorfism · ecuația X la n egal B cu matrice · matrice care se comportă ca numere complexe · cum rezolv o ecuație matriceală prin complexe · izomorfism între C star și un grup de matrice