Care este formula corectă pentru $$\sin p+\sin q$$?

$$2\sin\dfrac{p+q}{2}\cos\dfrac{p-q}{2}$$

$$2\sin\dfrac{p-q}{2}\cos\dfrac{p+q}{2}$$

$$2\cos\dfrac{p+q}{2}\cos\dfrac{p-q}{2}$$

Care este formula corectă pentru $$\cos p-\cos q$$?

$$-2\sin\dfrac{p+q}{2}\sin\dfrac{p-q}{2}$$

$$2\sin\dfrac{p+q}{2}\sin\dfrac{p-q}{2}$$

$$2\cos\dfrac{p+q}{2}\cos\dfrac{p-q}{2}$$

$$-2\cos\dfrac{p+q}{2}\cos\dfrac{p-q}{2}$$

Care este formula corectă de transformare a produsului $$\sin a\cos b$$ într-o sumă?

$$\dfrac12\big[\sin(a+b)+\sin(a-b)\big]$$

$$\dfrac12\big[\sin(a+b)-\sin(a-b)\big]$$

$$\dfrac12\big[\cos(a-b)-\cos(a+b)\big]$$

Cum transform o sumă de sinusuri în produs?

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Transformarea sumelor trigonometrice în produse

Scrii dublul produsului dintre sinusul semisumei celor două argumente și cosinusul semidiferenței lor. Adică suma sinusurilor lui $p$ și $q$ devine $2 sin \frac{p + q}{2} cos \frac{p - q}{2}$ . Transformarea e utilă la ecuații, fiindcă un produs se anulează când unul dintre factori se anulează, în timp ce o sumă nu se desface în factori.

O sumă nu se factorizează, dar un produs nul se descompune imediat în factori nuli — de aceea transformarea sumelor trigonometrice în produse este o unealtă esențială pentru ecuații și identități. Pornind de la formulele de sumă și diferență, prin adunare/scădere și schimbarea de variabilă $p = a + b$ , $q = a - b$ (deci $a = \frac{p + q}{2}$ , $b = \frac{p - q}{2}$ ), se obțin cele patru formule, toate scrise cu semisuma $\frac{p + q}{2}$ și semidiferența $\frac{p - q}{2}$ : $sin p + sin q = 2 sin \frac{p + q}{2} cos \frac{p - q}{2}, sin p - sin q = 2 sin \frac{p - q}{2} cos \frac{p + q}{2},$ $cos p + cos q = 2 cos \frac{p + q}{2} cos \frac{p - q}{2}, cos p - cos q = - 2 sin \frac{p + q}{2} sin \frac{p - q}{2} .$ Minusul din ultima formulă este cea mai des uitată piesă a lecției; el se justifică prin monotonia cosinusului pe $(0, π)$ . Citite invers, aceleași identități transformă produse în sume: $sin a cos b = \frac{1}{2} [sin (a + b) + sin (a - b)], cos a cos b = \frac{1}{2} [cos (a + b) + cos (a - b)], sin a sin b = \frac{1}{2} [cos (a - b) - cos (a + b)] .$ Pentru tangente, aducerea la același numitor dă $tg p + tg q = \frac{sin ( p + q )}{cos p cos q}$ . Fenomenul fizic al bătăilor acustice, la acordarea unui pian, este exact această transformare la lucru: suma a două unde de frecvențe apropiate devine produsul dintre o undă rapidă și una lentă, care modulează volumul.

De reținut

$sin p + sin q = 2 sin \frac{p + q}{2} cos \frac{p - q}{2}$
$cos p + cos q = 2 cos \frac{p + q}{2} cos \frac{p - q}{2}$
$cos p - cos q = - 2 sin \frac{p + q}{2} sin \frac{p - q}{2}$

Greșeala tipică

Se uită semnul minus la diferența cosinusurilor; verifică pe $p = 18 0^{\circ}$ și $q = 0^{\circ}$ , unde partea stângă dă minus doi, iar varianta fără minus ar da doi.

Exerciții din această mini-lecție

Care este formula corectă pentru $sin p + sin q$ ?
- a) $2 sin \frac{p + q}{2} cos \frac{p - q}{2}$
- b) $2 sin \frac{p - q}{2} cos \frac{p + q}{2}$
- c) $2 cos \frac{p + q}{2} cos \frac{p - q}{2}$
- d) $2 sin p cos q$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $2 sin \frac{p + q}{2} cos \frac{p - q}{2}$

Formula corectă are semisuma la sinus și semidiferența la cosinus: $sin p + sin q = 2 sin \frac{p + q}{2} cos \frac{p - q}{2}$ — varianta a. Varianta b inversează rolurile semisumei și semidiferenței; de fapt aceasta este formula pentru $sin p - sin q$ , o confuzie frecventă semnalată explicit în lecție. Varianta c este formula pentru $cos p + cos q$ , nu pentru sinusuri. Varianta d nu corespunde niciunei transformări valide — argumentele $p$ și $q$ rămân neschimbate, fără semisumă sau semidiferență.
Care este formula corectă pentru $cos p - cos q$ ?
- a) $2 sin \frac{p + q}{2} sin \frac{p - q}{2}$
- b) $- 2 sin \frac{p + q}{2} sin \frac{p - q}{2}$
- c) $2 cos \frac{p + q}{2} cos \frac{p - q}{2}$
- d) $- 2 cos \frac{p + q}{2} cos \frac{p - q}{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $- 2 sin \frac{p + q}{2} sin \frac{p - q}{2}$

Formula corectă este $cos p - cos q = - 2 sin \frac{p + q}{2} sin \frac{p - q}{2}$ , cu minus în față — varianta b. Varianta a, fără minus, este cea mai frecventă greșeală a lecției: pentru $p = π$ , $q = 0$ , membrul stâng este $cos π - cos 0 = - 2$ , dar varianta fără minus ar da $2 sin \frac{π}{2} sin \frac{π}{2} = 2$ , contradicție care arată necesitatea minusului. Variantele c și d folosesc greșit cosinusuri în loc de sinusuri — acel produs corespunde de fapt lui $cos p + cos q$ (fără minus).
Care este formula corectă de transformare a produsului $sin a cos b$ într-o sumă?
- a) $sin (a + b) - sin (a - b)$
- b) $\frac{1}{2} [sin (a + b) - sin (a - b)]$
- c) $\frac{1}{2} [sin (a + b) + sin (a - b)]$
- d) $\frac{1}{2} [cos (a - b) - cos (a + b)]$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $\frac{1}{2} [sin (a + b) + sin (a - b)]$

Adunând $sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b$ cu $sin (a - b) = sin a cos b - cos a sin b$ , termenii cu $cos a sin b$ se anulează și rămâne $2 sin a cos b$ ; împărțind la $2$ : $sin a cos b = \frac{1}{2} [sin (a + b) + sin (a - b)]$ — varianta c. Varianta a omite factorul $\frac{1}{2}$ . Varianta b are semnul greșit între cei doi termeni (ar corespunde scăderii formulelor, care dă $2 cos a sin b$ , nu $2 sin a cos b$ ). Varianta d este de fapt formula pentru $sin a sin b$ , nu pentru $sin a cos b$ .

Întrebări conexe

Cum descompun în factori expresia sinus de 3x plus sinus de x?

Semisuma argumentelor este $2 x$ , iar semidiferența este $x$ , deci expresia devine dublul produsului dintre sinusul lui $2 x$ și cosinusul lui $x$ . Din formă de produs se citesc imediat valorile care o anulează.

La ce folosesc semisuma și semidiferența unghiurilor?

Ele sunt argumentele care apar în formulele de transformare, obținute prin schimbarea de variabilă din formulele de sumă și diferență. Practic, aduni cele două unghiuri și împarți la doi, apoi le scazi și împarți tot la doi. Ordinea contează doar la semn.

Cum rezolv ecuația cosinus de 3x egal cosinus de x?

Aduci totul într-un membru și transformi diferența în produs, cu formula care are minus în față. Rezultă un produs de două sinusuri egal cu zero, deci fiecare factor se anulează separat. De aici ies două familii de soluții.

Ce condiție trebuie să îndeplinească unghiurile ca formulele să funcționeze?

Niciuna: formulele sunt adevărate pentru orice numere reale, fiindcă provin din formulele de sumă și diferență, valabile peste tot. Nu se cere ca unghiurile să fie ascuțite sau așezate într-o anumită ordine; schimbându-le locul între ele se schimbă doar semnul la două dintre formule.

Cum simplific o fracție cu sume de sinusuri?

Transformi și numărătorul, și numitorul în produse, apoi tai factorii comuni. De multe ori rămâne un raport simplu între o tangentă și un număr. Metoda funcționează doar dacă factorii tăiați nu se anulează.

Oamenii mai întreabă și: formula pentru sin p plus sin q · transformarea sumelor în produse · formule de transformare în trigonometrie · sumă de sinusuri scrisă ca produs