Transformarea sumelor în produse și a produselor în sume

Un acordor de piane nu folosește aparate scumpe: lovește diapazonul de $440$ Hz, apoi apasă clapa la, și ascultă. Dacă coarda e ușor dezacordată — să zicem la $444$ Hz — sunetul rezultat nu e un amestec confuz, ci un ton curat care pulsează: tare, încet, tare, încet. Fenomenul se numește bătăi, iar acordorul numără pulsațiile pe secundă ca să știe cu cât să strângă coarda. Explicația e pură trigonometrie: suma a două unde sinusoidale de frecvențe apropiate se transformă într-un produs dintre o undă rapidă (media frecvențelor) și una lentă (semidiferența lor), iar unda lentă modulează volumul. Urechea aude produsul, nu suma.

Aceeași idee are și o față pur matematică, la fel de puternică. O sumă nu se poate descompune în factori, deci dintr-o ecuație de tipul $\cos x+\cos 3x=0$ nu poți scoate nimic. Dar dacă transformi membrul stâng în produsul $2\cos 2x\cos x$, ecuația devine imediat rezolvabilă: un produs este zero exact când unul dintre factori este zero. Formulele din această lecție sunt, deci, o cheie de factorizare pentru trigonometrie — și, citite invers, o cheie de desfacere a produselor în sume. Toate se deduc, în câteva rânduri, din formulele pentru sumă și diferență.

Ce vei învăța

• Vei ști de ce factorizarea este atât de valoroasă și în ce situații vrei un produs în locul unei sume.
• Vei ști să deduci cele trei formule de transformare a produselor în sume, adunând și scăzând formulele de sumă și diferență.
• Vei ști să deduci, printr-o schimbare de variabilă, cele patru formule de transformare a sumelor în produse.
• Vei ști să transformi și sume de tangente sau de cotangente în fracții cu numărător de forma $\sin (p\pm q)$.
• Vei ști să calculezi expresii numerice ($\sin 75^{\circ }+\sin 15^{\circ }$, $\cos 20^{\circ }+\cos 100^{\circ }+\cos 140^{\circ }$) fără calculator.
• Vei ști să demonstrezi identități trigonometrice, inclusiv identități valabile în orice triunghi.

Hai să descoperim împreună

1. De ce vrem produse și nu sume

Compară două ecuații aparent la fel de grele:

$$\cos x+\cos 3x=0\text{și}2\cos 2x\cos x=0.$$

A doua se rezolvă din priviri: un produs de doi factori este nul exact când unul dintre ei se anulează, deci $\cos 2x=0$ sau $\cos x=0$. Prima nu oferă niciun punct de atac. Or, cele două ecuații sunt identice — vom demonstra imediat că $\cos x+\cos 3x=2\cos 2x\cos x$.

Aceasta este toată filozofia lecției: forma de produs este forma din care se citesc soluțiile, forma de sumă este forma în care apar datele. Trecerea dintr-una în cealaltă este o unealtă de lucru, nu o curiozitate.

2. Din formulele de sumă: produsele devin sume

Punctul de plecare sunt cele patru formule demonstrate în lecția precedentă. Le scriem în perechi și le adunăm, respectiv le scădem:

$$\begin{array}{rl}\sin (a+b)& =\sin a\cos b+\cos a\sin b\\ \sin (a-b)& =\sin a\cos b-\cos a\sin b\end{array}$$

Adunându-le, termenii $\cos a\sin b$ se anulează și rămâne $\sin (a+b)+\sin (a-b)=2\sin a\cos b$. Scăzându-le, se anulează ceilalți: $\sin (a+b)-\sin (a-b)=2\cos a\sin b$. Procedând identic cu formulele cosinusului:

$$\cos (a+b)+\cos (a-b)=2\cos a\cos b,\cos (a-b)-\cos (a+b)=2\sin a\sin b.$$

Împărțind la $2$ și citind egalitățile de la dreapta la stânga, obținem formulele de transformare a produselor în sume:

$$\boxed{\begin{array}{rl}\sin a\cos b& =\frac{1}{2}[\sin (a+b)+\sin (a-b)]\\ \cos a\cos b& =\frac{1}{2}[\cos (a+b)+\cos (a-b)]\\ \sin a\sin b& =\frac{1}{2}[\cos (a-b)-\cos (a+b)]\end{array}}$$

Atenție la a treia: ordinea este $\cos (a-b)$ minus $\cos (a+b)$, nu invers. O verificare rapidă cu $a=b$: membrul stâng devine ${\sin }^{2}a$, iar cel drept $\frac{1}{2}[\cos 0-\cos 2a]=\frac{1-\cos 2a}{2}$ — exact formula de liniarizare din lecția despre unghiul dublu. ✓

3. Schimbarea de variabilă: din sume în produse

Formulele de mai sus au un defect practic: în stânga apar $a$ și $b$, iar în dreapta $a+b$ și $a-b$. Când plecăm de la o sumă concretă, cum ar fi $\sin 5x+\sin 3x$, vrem exact invers. Rezolvarea e o simplă schimbare de notație. Punem

$$p=a+b,q=a-b⟹a=\frac{p+q}{2},b=\frac{p-q}{2}.$$

Înlocuind în cele patru relații obținute prin adunare și scădere, rezultă formulele de transformare a sumelor în produse:

$$\boxed{\begin{array}{rl}\sin p+\sin q& =2\sin \frac{p+q}{2}\cos \frac{p-q}{2}\\ \sin p-\sin q& =2\sin \frac{p-q}{2}\cos \frac{p+q}{2}\\ \cos p+\cos q& =2\cos \frac{p+q}{2}\cos \frac{p-q}{2}\\ \cos p-\cos q& =-2\sin \frac{p+q}{2}\sin \frac{p-q}{2}\end{array}}$$

Cum le ții minte. În toate patru apar semisuma $\frac{p+q}{2}$ și semidiferența $\frac{p-q}{2}$ — asta e coloana vertebrală. Restul e un tipar: la sinus rezultatul e $\sin \cdot \cos$ (semisuma la sinus dacă adunăm, semidiferența la sinus dacă scădem); la cosinus rezultatul e „pereche curată" — $\cos \cdot \cos$ la adunare, $\sin \cdot \sin$ la scădere, cu minus în față.

Minusul din ultima formulă este cel mai des uitat semn din toată trigonometria de liceu. Iată de ce trebuie să fie acolo: dacă $0<q<p<\pi$, cosinusul fiind descrescător pe acest interval avem $\cos p<\cos q$, deci membrul stâng e negativ; în același timp $\frac{p+q}{2}$ și $\frac{p-q}{2}$ sunt amândouă în $(0,\pi )$, deci sinusurile lor sunt pozitive și produsul $2\sin \frac{p+q}{2}\sin \frac{p-q}{2}$ e pozitiv. Fără minus, egalitatea ar fi imposibilă.

4. Sume de tangente și de cotangente

Pentru tangentă nu avem nevoie de formule noi, ci doar de aducerea la același numitor:

$$\mathrm{tg}p+\mathrm{tg}q=\frac{\sin p}{\cos p}+\frac{\sin q}{\cos q}=\frac{\sin p\cos q+\cos p\sin q}{\cos p\cos q}=\frac{\sin (p+q)}{\cos p\cos q}.$$

Numărătorul s-a comprimat cu formula sinusului sumei. Analog:

$$\mathrm{tg}p-\mathrm{tg}q=\frac{\sin (p-q)}{\cos p\cos q},\mathrm{ctg}p+\mathrm{ctg}q=\frac{\sin (p+q)}{\sin p\sin q}.$$

Condițiile de existență se citesc din numitori: $\cos p\ne 0$ și $\cos q\ne 0$ la primele două, $\sin p\ne 0$ și $\sin q\ne 0$ la a treia. Aceste formule sunt foarte utile când într-o expresie apar tangente cu argumente diferite și vrei să le unifici.

5. Bătăile acordorului, explicate

Revenim la piane. Cele două sunete sunt $\sin (2\pi \cdot 444t)$ și $\sin (2\pi \cdot 440t)$, unde $t$ este timpul în secunde. Aplicăm prima formulă, cu semisuma $\frac{444+440}{2}=442$ și semidiferența $\frac{444-440}{2}=2$:

$$\sin (2\pi \cdot 444t)+\sin (2\pi \cdot 440t)=2\sin (2\pi \cdot 442t)\cos (2\pi \cdot 2t).$$

Citirea fizică: urechea aude un ton de $442$ Hz (media, practic nedistinsă de $440$), a cărui amplitudine este modulată de factorul lent $2\cos (2\pi \cdot 2t)$. Volumul crește și scade după modulul acestui factor, care atinge maximul de patru ori pe secundă — de unde regula practică a acordorilor: numărul de bătăi pe secundă este egal cu diferența frecvențelor, aici $444-440=4$. Când bătăile dispar, coarda e acordată.

6. Calcule numerice fără calculator

Formulele transformă sume „imposibile" în produse de valori cunoscute.

$$\sin 75^{\circ }+\sin 15^{\circ }=2\sin \frac{75^{\circ }+15^{\circ }}{2}\cos \frac{75^{\circ }-15^{\circ }}{2}=2\sin 45^{\circ }\cos 30^{\circ }=2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}.$$

$$\cos 75^{\circ }+\cos 15^{\circ }=2\cos 45^{\circ }\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{6}}{2},\sin 75^{\circ }-\sin 15^{\circ }=2\sin 30^{\circ }\cos 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Compară efortul: în lecția precedentă calculam fiecare termen separat, cu radicali de forma $\frac{\sqrt{6}\pm \sqrt{2}}{4}$, apoi îi adunam. Aici, o singură linie. Verificare pentru prima: $\frac{\sqrt{6}}{2}\approx 1,225$, iar $0,966+0,259=1,225$ ✓

Un exemplu cu trei termeni, tipic pentru examen: $E=\cos 20^{\circ }+\cos 100^{\circ }+\cos 140^{\circ }$. Grupăm ultimii doi termeni (alegerea grupării e cheia):

$$\cos 100^{\circ }+\cos 140^{\circ }=2\cos 120^{\circ }\cos 20^{\circ }=2\left(-\frac{1}{2}\right)\cos 20^{\circ }=-\cos 20^{\circ },$$

deci $E=\cos 20^{\circ }-\cos 20^{\circ }=0$. Cei trei termeni se anulează perfect — nu întâmplător: cele trei unghiuri sunt egal depărtate pe cerc, din $120^{\circ }$ în $120^{\circ }$.

7. Demonstrarea identităților

Aici formulele își arată adevărata forță. Rețeta este aproape mereu aceeași: grupează termenii care au semisuma sau semidiferența comodă, transformă, dă factor comun.

Exemplu. Să arătăm că $\sin x+\sin 2x+\sin 3x=\sin 2x(2\cos x+1)$. Grupăm primul cu ultimul, pentru că semisuma lor este $2x$:

$$\sin x+\sin 3x=2\sin \frac{x+3x}{2}\cos \frac{3x-x}{2}=2\sin 2x\cos x.$$

Adăugând termenul din mijloc și dând factor comun $\sin 2x$, obținem $2\sin 2x\cos x+\sin 2x=\sin 2x(2\cos x+1)$. $■$

Exemplu. Un raport care se simplifică spectaculos:

$$\frac{\sin p+\sin q}{\cos p+\cos q}=\frac{2\sin \frac{p+q}{2}\cos \frac{p-q}{2}}{2\cos \frac{p+q}{2}\cos \frac{p-q}{2}}=\mathrm{tg}\frac{p+q}{2}.$$

Factorul $\cos \frac{p-q}{2}$ se simplifică (unde e nenul), iar ce rămâne este chiar tangenta semisumei. Este una dintre cele mai elegante identități din trigonometria de liceu.

8. Prima privire spre ecuații

Închidem cu aplicația care ne așteaptă peste câteva lecții. Ecuația $\cos x+\cos 3x=0$ devine, prin transformare,

$$2\cos 2x\cos x=0⟺\cos 2x=0\text{ sau }\cos x=0,$$

adică două ecuații elementare, de tipul celor pe care le vei studia sistematic în lecția despre ecuațiile trigonometrice elementare. Reține tiparul: sumă egală cu zero $\to$ transformă în produs $\to$ anulează pe rând factorii. Este cea mai frecventă strategie de rezolvare din tot capitolul.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — O sumă care devine produs de valori cunoscute

Calculați $\sin 75^{\circ }+\sin 15^{\circ }$.

Rezolvare. Semisuma este $45^{\circ }$, semidiferența $30^{\circ }$:

$$\sin 75^{\circ }+\sin 15^{\circ }=2\sin 45^{\circ }\cos 30^{\circ }=2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}\approx 1,225.$$

Verificare: $0,966+0,259=1,225$ ✓ $■$

Exemplul 2 — Diferență de cosinusuri, cu minusul la locul lui

Transformați în produs expresia $\cos 5x-\cos 3x$.

Rezolvare. Semisuma este $4x$, semidiferența $x$:

$$\cos 5x-\cos 3x=-2\sin \frac{5x+3x}{2}\sin \frac{5x-3x}{2}=-2\sin 4x\sin x.$$

Test de plauzibilitate cu $x=\frac{\pi }{4}$: stânga dă $\cos \frac{5\pi }{4}-\cos \frac{3\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=0$; dreapta dă $-2\sin \pi \sin \frac{\pi }{4}=0$ ✓ $■$

Exemplul 3 — Din produs în sumă

Transformați în sumă produsul $2\sin 3x\cos x$.

Rezolvare. Cu formula $2\sin a\cos b=\sin (a+b)+\sin (a-b)$, luând $a=3x$ și $b=x$:

$$2\sin 3x\cos x=\sin 4x+\sin 2x.$$

Este exact drumul invers al Exemplului 2. Cele două seturi de formule sunt aceleași egalități, citite în direcții opuse. $■$

Exemplul 4 — Un raport care se simplifică

Simplificați expresia $E=\frac{\sin 3x+\sin x}{\cos 3x+\cos x}$.

Rezolvare. Transformăm numărătorul și numitorul, cu semisuma $2x$ și semidiferența $x$:

$$E=\frac{2\sin 2x\cos x}{2\cos 2x\cos x}=\frac{\sin 2x}{\cos 2x}=\mathrm{tg}2x,$$

valabil pentru $\cos x\ne 0$ și $\cos 2x\ne 0$. Simplificarea prin $\cos x$ este permisă doar acolo unde acesta e nenul — condiție care trebuie scrisă, nu subînțeleasă. $■$

Exemplul 5 — Trei termeni care se anulează

Arătați că $\cos 20^{\circ }+\cos 100^{\circ }+\cos 140^{\circ }=0$.

Rezolvare. Grupăm ultimii doi termeni, a căror semisumă este $120^{\circ }$, unghi cu cosinus cunoscut:

$$\cos 100^{\circ }+\cos 140^{\circ }=2\cos 120^{\circ }\cos 20^{\circ }=-\cos 20^{\circ }.$$

Adunând primul termen: $\cos 20^{\circ }-\cos 20^{\circ }=0$ ✓ Alegerea grupării a fost decisivă: dacă am fi grupat primii doi termeni, semisuma ar fi fost $60^{\circ }$, dar semidiferența $-40^{\circ }$ ne-ar fi lăsat cu $\cos 40^{\circ }$, o valoare necunoscută. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

a) Arătați că $\sin x+\sin 3x+\sin 5x=\sin 3x(2\cos 2x+1)$ pentru orice număr real $x$. b) Determinați valorile $x\in [0,\pi ]$ pentru care expresia se anulează.

Rezolvare. a) Grupăm primul și ultimul termen, cu semisuma $3x$ și semidiferența $2x$:

$$\sin x+\sin 5x=2\sin \frac{x+5x}{2}\cos \frac{5x-x}{2}=2\sin 3x\cos 2x.$$

Adăugăm termenul din mijloc și dăm factor comun: $2\sin 3x\cos 2x+\sin 3x=\sin 3x(2\cos 2x+1)$ ✓

b) Produsul se anulează când $\sin 3x=0$ sau $\cos 2x=-\frac{1}{2}$. Din prima condiție, $3x\in \{0,\pi ,2\pi ,3\pi \}$ pentru $x\in [0,\pi ]$, deci $x\in \left\{0,\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3},\pi \right\}$. Din a doua, $2x\in \left\{\frac{2\pi }{3},\frac{4\pi }{3}\right\}$, deci $x\in \left\{\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3}\right\}$ — valori deja găsite. Soluțiile sunt $\left\{0,\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3},\pi \right\}$. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Înainte de fiecare transformare, scrie explicit semisuma și semidiferența — este pasul care previne aproape toate greșelile.

1. Transformă în produs: $\sin 5x+\sin 3x$.

2. Transformă în produs: $\cos 7x-\cos 3x$.

3. Transformă în sumă: $2\cos 4x\cos 2x$.

4. Transformă în sumă: $\sin 5x\sin 3x$.

5. Calculează $\sin 75^{\circ }+\sin 15^{\circ }$.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru orice numere reale $p$ și $q$ avem $\cos p-\cos q=2\sin \frac{p+q}{2}\sin \frac{p-q}{2}$."

7. Simplifică expresia $\frac{\sin 5x-\sin 3x}{\cos 5x+\cos 3x}$.

8. Calculează $\cos 75^{\circ }+\cos 15^{\circ }$.

9. Demonstrează formula $\sin p+\sin q=2\sin \frac{p+q}{2}\cos \frac{p-q}{2}$, pornind de la formulele sumei și diferenței.

10. Arată că $\cos 20^{\circ }+\cos 100^{\circ }+\cos 140^{\circ }=0$.

11. (Problemă aplicată.) Un acordor lovește simultan un diapazon de $440$ Hz și o coardă de $444$ Hz. Scrie suma celor două unde ca produs și explică de ce se aud exact $4$ bătăi pe secundă, deși factorul lent are frecvența de $2$ Hz.

12. Scrie ca produs expresia $E=\sin x+\sin 2x+\sin 3x$.

13. Demonstrează formula $\mathrm{tg}p+\mathrm{tg}q=\frac{\sin (p+q)}{\cos p\cos q}$ și precizează condițiile de existență.

14. Arată că $\sin 40^{\circ }+\sin 20^{\circ }=\cos 10^{\circ }$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Arată că $\frac{\sin x+\sin 3x}{\cos x+\cos 3x}=\mathrm{tg}2x$, precizând condițiile în care egalitatea are loc.

16. Scrie expresia $\cos x-\sin x$ sub forma unui produs. (Indicație: înlocuiește $\sin x$ cu $\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$ și aplică formula pentru $\cos p-\cos q$.)

17. (Raționament.) Explică, folosind monotonia cosinusului pe $(0,\pi )$, de ce formula pentru $\cos p-\cos q$ trebuie să aibă semnul minus în față.

18. (Provocare.) Fie $A$, $B$, $C$ măsurile unghiurilor unui triunghi. Demonstrează că $\sin A+\sin B+\sin C=4\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}$.

Răspunsuri și explicații

1. Semisuma $4x$, semidiferența $x$: $\sin 5x+\sin 3x=2\sin 4x\cos x$.

2. Semisuma $5x$, semidiferența $2x$: $\cos 7x-\cos 3x=-2\sin 5x\sin 2x$. Minusul din față este obligatoriu.

3. Cu $2\cos a\cos b=\cos (a+b)+\cos (a-b)$, luând $a=4x$, $b=2x$: $2\cos 4x\cos 2x=\cos 6x+\cos 2x$.

4. Cu $\sin a\sin b=\frac{1}{2}[\cos (a-b)-\cos (a+b)]$: $\sin 5x\sin 3x=\frac{1}{2}(\cos 2x-\cos 8x)$. Ordinea termenilor contează: întâi cosinusul diferenței.

5. $2\sin 45^{\circ }\cos 30^{\circ }=2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}\approx 1,225$.

6. Fals — lipsește semnul minus. Contraexemplu: pentru $p=\pi$ și $q=0$, membrul stâng este $-1-1=-2$, iar cel drept $2\sin \frac{\pi }{2}\sin \frac{\pi }{2}=2$. Formula corectă este $\cos p-\cos q=-2\sin \frac{p+q}{2}\sin \frac{p-q}{2}$.

7. Numărătorul: $\sin 5x-\sin 3x=2\sin x\cos 4x$ (semidiferența la sinus, semisuma la cosinus). Numitorul: $\cos 5x+\cos 3x=2\cos 4x\cos x$. Raportul este $\frac{2\sin x\cos 4x}{2\cos 4x\cos x}=\mathrm{tg}x$, pentru $\cos 4x\ne 0$ și $\cos x\ne 0$.

8. $\cos 75^{\circ }+\cos 15^{\circ }=2\cos 45^{\circ }\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{6}}{2}$ — aceeași valoare ca la exercițiul 5, ceea ce se explică prin faptul că $\cos 75^{\circ }=\sin 15^{\circ }$ și $\cos 15^{\circ }=\sin 75^{\circ }$.

9. Adunăm formulele $\sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$ și $\sin (a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$; termenii $\cos a\sin b$ se anulează și rămâne $\sin (a+b)+\sin (a-b)=2\sin a\cos b$. Notăm $p=a+b$, $q=a-b$, de unde $a=\frac{p+q}{2}$ și $b=\frac{p-q}{2}$, și obținem $\sin p+\sin q=2\sin \frac{p+q}{2}\cos \frac{p-q}{2}$.

10. $\cos 100^{\circ }+\cos 140^{\circ }=2\cos 120^{\circ }\cos 20^{\circ }=2\left(-\frac{1}{2}\right)\cos 20^{\circ }=-\cos 20^{\circ }$, deci suma totală este $\cos 20^{\circ }-\cos 20^{\circ }=0$.

11. Semisuma frecvențelor este $442$, semidiferența $2$, deci suma undelor este $2\sin (2\pi \cdot 442t)\cos (2\pi \cdot 2t)$. Volumul perceput depinde de modulul amplitudinii, $\left|2\cos (2\pi \cdot 2t)\right|$, iar modulul unui cosinus atinge maximul de două ori pe perioadă. Cum factorul lent are frecvența $2$ Hz, modulul lui pulsează de $4$ ori pe secundă — exact diferența frecvențelor, $444-440=4$.

12. Grupăm $\sin x+\sin 3x=2\sin 2x\cos x$, apoi dăm factor comun: $E=2\sin 2x\cos x+\sin 2x=\sin 2x(2\cos x+1)$.

13. $\mathrm{tg}p+\mathrm{tg}q=\frac{\sin p}{\cos p}+\frac{\sin q}{\cos q}=\frac{\sin p\cos q+\cos p\sin q}{\cos p\cos q}=\frac{\sin (p+q)}{\cos p\cos q}$, numărătorul fiind comprimat cu formula sinusului sumei. Condiții: $\cos p\ne 0$ și $\cos q\ne 0$.

14. $\sin 40^{\circ }+\sin 20^{\circ }=2\sin 30^{\circ }\cos 10^{\circ }=2\cdot \frac{1}{2}\cdot \cos 10^{\circ }=\cos 10^{\circ }$ ✓ Verificare numerică: $0,643+0,342=0,985=\cos 10^{\circ }$.

15. Numărătorul: $\sin x+\sin 3x=2\sin 2x\cos x$. Numitorul: $\cos x+\cos 3x=2\cos 2x\cos x$. Raportul: $\frac{2\sin 2x\cos x}{2\cos 2x\cos x}=\mathrm{tg}2x$. Condiții: $\cos x\ne 0$ (ca să putem simplifica) și $\cos 2x\ne 0$ (ca numitorul final să existe), adică $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$ și $x\ne \frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$.

16. $\cos x-\sin x=\cos x-\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=-2\sin \frac{x+\frac{\pi }{2}-x}{2}\sin \frac{x-\frac{\pi }{2}+x}{2}=-2\sin \frac{\pi }{4}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=-\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$. Echivalent, $\cos x-\sin x=\sqrt{2}\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$. Verificare la $x=0$: stânga dă $1$, iar $\sqrt{2}\cos \frac{\pi }{4}=1$ ✓ (Această scriere este chiar metoda „unghiului auxiliar", pe care o vei folosi la ecuațiile trigonometrice reductibile.)

17. Luăm $0<q<p<\pi$. Pe acest interval cosinusul este strict descrescător, deci $\cos p<\cos q$ și membrul stâng, $\cos p-\cos q$, este negativ. În același timp, $\frac{p+q}{2}$ și $\frac{p-q}{2}$ aparțin ambele intervalului $(0,\pi )$, unde sinusul este strict pozitiv, deci produsul $2\sin \frac{p+q}{2}\sin \frac{p-q}{2}$ este pozitiv. Un număr negativ nu poate fi egal cu unul pozitiv, deci semnul minus este indispensabil.

18. Folosim $A+B+C=\pi$, deci $\frac{A+B}{2}=\frac{\pi }{2}-\frac{C}{2}$ și, prin urmare, $\sin \frac{A+B}{2}=\cos \frac{C}{2}$, respectiv $\cos \frac{A+B}{2}=\sin \frac{C}{2}$. Transformăm primii doi termeni: $\sin A+\sin B=2\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}=2\cos \frac{C}{2}\cos \frac{A-B}{2}$. Al treilea termen se scrie cu formula unghiului dublu: $\sin C=2\sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2}=2\cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{C}{2}$. Adunând și dând factor comun $2\cos \frac{C}{2}$: $2\cos \frac{C}{2}\left(\cos \frac{A-B}{2}+\cos \frac{A+B}{2}\right)$. Paranteza se transformă din nou în produs, cu semisuma $\frac{A}{2}$ și semidiferența $-\frac{B}{2}$: $2\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}$ (cosinusul fiind funcție pară). Rezultatul final: $4\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}$ ✓

De reținut

• Sume în produse: $\sin p\pm \sin q$ și $\cos p+\cos q$ se scriu ca produs de doi factori care conțin semisuma $\frac{p+q}{2}$ și semidiferența $\frac{p-q}{2}$; iar $\cos p-\cos q=-2\sin \frac{p+q}{2}\sin \frac{p-q}{2}$, cu minus în față.
• Produse în sume: $\sin a\cos b=\frac{1}{2}[\sin (a+b)+\sin (a-b)]$, $\cos a\cos b=\frac{1}{2}[\cos (a+b)+\cos (a-b)]$, $\sin a\sin b=\frac{1}{2}[\cos (a-b)-\cos (a+b)]$.
• Toate se deduc din formulele de sumă și diferență, prin adunare/scădere și schimbarea de variabilă $p=a+b$, $q=a-b$. Nu trebuie memorate ca fapte izolate.
• Tangente: $\mathrm{tg}p\pm \mathrm{tg}q=\frac{\sin (p\pm q)}{\cos p\cos q}$ — se obține prin aducerea la același numitor.
• Strategia de aur: sumă egală cu zero $\to$ transform-o în produs $\to$ anulează pe rând factorii. Iar la identități: grupează termenii cu semisumă comodă, transformă, dă factor comun.

Greșeli frecvente

• Minusul uitat la $\cos p-\cos q$. Este cea mai frecventă greșeală a lecției. Verificare gratuită: la $p=\pi$, $q=0$, stânga dă $-2$; formula fără minus ar da $+2$.
• Confuzia dintre semisumă și semidiferență la $\sin p-\sin q$. Aici semidiferența merge la sinus și semisuma la cosinus — invers față de $\sin p+\sin q$. Scrie-le pe amândouă una sub alta și compară-le înainte de examen.
• Ordinea inversată la $\sin a\sin b$. Se scrie $\frac{1}{2}[\cos (a+b)-\cos (a-b)]$, cu semn global greșit. Corect: diferența minus suma, adică $\cos (a-b)$ primul.
• Simplificarea fără condiții. În $\frac{2\sin 2x\cos x}{2\cos 2x\cos x}$ se simplifică prin $\cos x$ fără a preciza $\cos x\ne 0$. La barem, condițiile de existență valorează puncte.
• Gruparea aleasă la întâmplare. Într-o sumă de trei termeni, grupările diferite duc la rezultate diferite ca dificultate. Alege perechea a cărei semisumă sau semidiferență este un unghi cu valoare cunoscută.

Aplică acasă

1. Bătăile pe telefon. Caută o aplicație gratuită de generator de ton (sau două videoclipuri cu tonuri pure) și redă simultan $440$ Hz și $443$ Hz. Numără pulsațiile pe care le auzi într-o secundă — ar trebui să fie trei. Repetă cu $440$ și $445$ Hz. Se confirmă regula „numărul de bătăi = diferența frecvențelor"?

2. Cardul de formule. Scrie pe o singură față de carton cele patru formule „sume $\to$ produse" și cele trei „produse $\to$ sume", colorând cu aceeași culoare semisuma în toate și cu alta semidiferența. Încearcă apoi să reconstruiești fiecare formulă doar din memoria culorilor, fără să te uiți. Repetă zilnic, trei zile.

3. Calculatorul de verificat. Alege cinci perechi de unghiuri „urâte" (de exemplu $23^{\circ }$ și $67^{\circ }$, $18^{\circ }$ și $42^{\circ }$) și, pentru fiecare, calculează $\sin p+\sin q$ în două moduri: direct pe calculator și prin formula produsului. Compară rezultatele cu patru zecimale. Ce pereche a dat cel mai „frumos" produs și de ce?

Pentru părinți și profesori

Lecția încheie unitatea de formule trigonometrice avansate din segmentul de specialitate (CS). Programa de matematică-informatică cere explicit „transformarea sumelor în produse și a produselor în sume", precum și „stabilirea unor identități folosind formulele de transformare a sumelor de funcții trigonometrice în produse sau de transformare a produselor în sume" — de aceea accentul cade pe deducerea formulelor din cele de sumă și diferență, nu pe memorare, și pe folosirea lor în demonstrații. Elevul care înțelege schimbarea de variabilă $p=a+b$, $q=a-b$ nu mai are ce memora: reface formulele în treizeci de secunde.

Punctul critic este semnul din formula $\cos p-\cos q=-2\sin \frac{p+q}{2}\sin \frac{p-q}{2}$ și inversarea rolurilor semisumei și semidiferenței la $\sin p-\sin q$. Exercițiile 6 și 17 sunt construite exact pentru aceste două capcane; merită insistat până când elevul poate justifica singur, prin monotonie, de ce minusul e obligatoriu — un argument mult mai solid decât memorarea.

Întrebări bune de control: „Care sunt semisuma și semidiferența pentru $\cos 7x-\cos 3x$?" ($5x$ și $2x$); „De ce vrem un produs în locul unei sume?" (pentru că produsul nul se descompune); „Cum grupezi trei termeni ca să obții unghiuri cunoscute?"; „Ce condiții scrii când simplifici un raport?". Semne că a înțeles: transformă în ambele sensuri fără ezitare, alege inteligent gruparea într-o sumă de trei termeni și scrie condițiile de existență de la sine.

La Bacalaureat M1, formulele apar la subiectul I în calcule numerice de tipul „calculați $\sin 75^{\circ }+\sin 15^{\circ }$", iar la subiectul III în demonstrarea unor identități sau la rezolvarea ecuațiilor trigonometrice — unde transformarea sumei în produs este, de regulă, singura cale de atac. Identitățile în triunghi (Exercițiul 18) apar la nivel de olimpiadă și de subiect III dificil, dar merită parcurse: ele leagă această lecție de teorema sinusurilor și de formulele de arie pe care le vei studia în unitatea de geometrie.

Întrebări frecvente

Care sunt formulele de transformare a sumelor în produse? $\sin p+\sin q=2\sin \frac{p+q}{2}\cos \frac{p-q}{2}$; $\sin p-\sin q=2\sin \frac{p-q}{2}\cos \frac{p+q}{2}$; $\cos p+\cos q=2\cos \frac{p+q}{2}\cos \frac{p-q}{2}$; $\cos p-\cos q=-2\sin \frac{p+q}{2}\sin \frac{p-q}{2}$. În toate apar semisuma și semidiferența argumentelor.

De ce formula pentru cos p − cos q are minus în față? Pentru că pe intervalul $(0,\pi )$ cosinusul este descrescător: dacă $p>q$, atunci $\cos p-\cos q<0$, în timp ce produsul celor două sinusuri este pozitiv. Fără minus, cele două părți ar avea semne opuse și egalitatea ar fi imposibilă.

Cum transform un produs de funcții trigonometrice în sumă? Folosești $\sin a\cos b=\frac{1}{2}[\sin (a+b)+\sin (a-b)]$, $\cos a\cos b=\frac{1}{2}[\cos (a+b)+\cos (a-b)]$ sau $\sin a\sin b=\frac{1}{2}[\cos (a-b)-\cos (a+b)]$. Sunt aceleași egalități ca la sume, citite în sens invers.

La ce folosesc aceste formule? În primul rând la rezolvarea ecuațiilor trigonometrice: o sumă egală cu zero devine un produs egal cu zero, care se descompune în ecuații elementare. Apoi la demonstrarea identităților, la calculul unor expresii numerice fără calculator și, în fizică, la explicarea fenomenului de bătăi acustice.

Cum calculez sin 75° + sin 15° fără calculator? Aplici formula sumei: semisuma este $45^{\circ }$, semidiferența $30^{\circ }$, deci suma este $2\sin 45^{\circ }\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{6}}{2}\approx 1,225$. Un singur rând, în loc de doi radicali adunați.

Ce sunt bătăile acustice și ce legătură au cu trigonometria? Când două sunete au frecvențe apropiate, suma lor se scrie ca produs între o undă de frecvență medie și una de frecvență egală cu semidiferența. A doua modulează volumul, care pulsează de un număr de ori pe secundă egal cu diferența frecvențelor. Acordorii de piane folosesc exact acest efect.

Cum aleg gruparea într-o sumă de trei termeni? Cauți perechea a cărei semisumă sau semidiferență este un unghi cu valoare cunoscută ($30^{\circ }$, $45^{\circ }$, $60^{\circ }$, $120^{\circ }$). În $\cos 20^{\circ }+\cos 100^{\circ }+\cos 140^{\circ }$, gruparea ultimilor doi dă semisuma $120^{\circ }$ și rezolvă problema instantaneu.

Trebuie să memorez toate cele șapte formule? Nu, dacă înțelegi deducerea: aduni și scazi formulele pentru $\sin (a\pm b)$ și $\cos (a\pm b)$, apoi notezi $p=a+b$ și $q=a-b$. Cu acest raționament refaci toate formulele în mai puțin de un minut, ceea ce e mult mai sigur decât memorarea lor separată.