Se știe că $$a_n<9$$ pentru orice $$n\ge1$$ și că șirul $$(a_n)$$ are limită. Atunci:

$$\lim\limits_{n\to\infty}a_n\le9$$

$$\lim\limits_{n\to\infty}a_n<9$$

$$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=9$$

$$\lim\limits_{n\to\infty}a_n\ge9$$

Se știe că $$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=4$$. Atunci:

$$a_n>3$$ de la un rang încolo

$$a_n>0$$ pentru orice $$n\ge1$$

$$a_n>4$$ de la un rang încolo

$$a_n<4$$ pentru orice $$n\ge1$$

Se păstrează inegalitățile la limită?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Trecerea la limită în inegalități

Se păstrează, dar slăbite: din $a_{n} \leq b_{n}$ pentru orice rang și din existența ambelor limite rezultă $lim a_{n} \leq lim b_{n}$ . Inegalitatea strictă însă nu se transmite: pentru $a_{n} = 0$ și $b_{n} = \frac{1}{n}$ avem $a_{n} < b_{n}$ la fiecare rang, dar amândouă limitele sunt $0$ . La limită se poate obține, așadar, cel mult egalitate.

Teoremă. Dacă $a_{n} \leq b_{n}$ de la un rang încolo și ambele șiruri au limită în $\overline{R}$ , atunci $n \to \infty lim a_{n} \leq n \to \infty lim b_{n}$ . Demonstrația arată că, dacă limitele ar fi în ordinea greșită, termenii s-ar despărți definitiv de o parte și de alta a mijlocului lor, contrazicând ipoteza.

⚠️ Inegalitatea strictă NU se păstrează. Din $a_{n} < b_{n}$ rezultă doar $\leq$ între limite; contraexemplul de reținut este $0 < \frac{1}{n}$ , cu ambele limite egale cu $0$ . Motivul: diferența $b_{n} - a_{n}$ poate ea însăși să se micșoreze spre zero. Regula practică: la trecerea la limită, orice inegalitate devine nestrictă.

Consecințele de lucru: din $a_{n} \leq c$ rezultă $n \to \infty lim a_{n} \leq c$ ; din $u \leq a_{n} \leq v$ rezultă că limita rămâne în $[u, v]$ ; din $a_{n} \geq 0$ rezultă $n \to \infty lim a_{n} \geq 0$ . Sunt unelte de respingere: nu dau valoarea limitei, dar elimină valorile imposibile.

Drumul invers merge cu inegalitate strictă: dacă limita este finită și $c < n \to \infty lim a_{n}$ , atunci $a_{n} > c$ de la un rang încolo. În particular, o limită strict pozitivă înseamnă termeni strict pozitivi de la un rang încolo — nu de la primul. Teorema compară limite, nu le creează: existența lor este ipoteză.

De reținut

$a_{n} \leq b_{n}$ pentru orice $n$ $\Rightarrow lim a_{n} \leq lim b_{n}$
Inegalitatea STRICTĂ se pierde: la limită rămâne $\leq$
Un număr finit de termeni nu schimbă concluzia

Greșeala tipică

Se scrie inegalitate strictă între limite pornind de la una strictă între termeni. Chiar dacă $a_{n} < b_{n}$ la fiecare rang, cele două limite pot fi egale, deci se scrie doar $\leq$ .

Exerciții din această mini-lecție

Se știe că $a_{n} < 9$ pentru orice $n \geq 1$ și că șirul $(a_{n})$ are limită. Atunci:
- a) $n \to \infty lim a_{n} \leq 9$
- b) $n \to \infty lim a_{n} < 9$
- c) $n \to \infty lim a_{n} = 9$
- d) $n \to \infty lim a_{n} \geq 9$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $n \to \infty lim a_{n} \leq 9$

La trecerea la limită inegalitatea strictă se pierde: din $a_{n} < 9$ obținem doar $\leq$ . Că nu se poate mai mult se vede pe $a_{n} = 9 - \frac{1}{n}$ , unde toți termenii sunt strict sub $9$ , dar limita este exact $9$ . Valoarea limitei nu este determinată de o singură margine — ea poate fi orice element din $[- \infty, 9]$ .
Se știe că $n \to \infty lim a_{n} = 4$ . Atunci:
- a) $a_{n} > 0$ pentru orice $n \geq 1$
- b) $a_{n} > 4$ de la un rang încolo
- c) $a_{n} > 3$ de la un rang încolo
- d) $a_{n} < 4$ pentru orice $n \geq 1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $a_{n} > 3$ de la un rang încolo

O inegalitate strictă satisfăcută de limită se transmite termenilor, dar numai de la un rang încolo: luând $ε = 4 - 3 = 1$ , toți termenii cu $n \geq N$ sunt în $(3, 5)$ . Varianta a) cere concluzia pentru toți termenii — fals, cum arată $4 - \frac{10}{n}$ , negativ la primele ranguri — iar b) și d) compară cu limita însăși, ceea ce definiția nu garantează.
Se știe că $∣ a_{n} ∣ \leq 5$ pentru orice $n \geq 1$ și că șirul $(a_{n})$ are limită. Care valoare nu poate fi limita șirului?
- a) $- 5$
- b) $0$
- c) $5$
- d) $6$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $6$

Inegalitatea $∣ a_{n} ∣ \leq 5$ înseamnă $- 5 \leq a_{n} \leq 5$ , iar prin trecere la limită se obține $- 5 \leq n \to \infty lim a_{n} \leq 5$ . Valoarea $6$ este deci exclusă. Celelalte trei sunt posibile: șirurile constante $- 5$ , $0$ și $5$ verifică ipoteza și au exact aceste limite.

Întrebări conexe

Ce inegalități se pot trece la limită când șirurile tind la infinit?

Cele care împing în sus: dacă $a_{n} \leq b_{n}$ , iar primul șir tinde la $+ \infty$ , atunci și al doilea face la fel. Nu are rost nicio verificare suplimentară, fiindcă $b_{n}$ este obligat să depășească orice prag odată cu $a_{n}$ .

Se poate trece la limită într-o inegalitate cu trei șiruri?

Da, dacă toate trei au limită: din $a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}$ ies inegalitățile corespunzătoare între limite. Când cele două margini au aceeași limită, se obține chiar criteriul cleștelui.

Ce se întâmplă dacă inegalitatea e valabilă doar de la un rang?

Concluzia rămâne aceeași, fiindcă limita nu ține cont de un număr finit de termeni. Este chiar situația obișnuită la exerciții, unde inegalitatea se verifică abia după câțiva termeni.

Cum compar limitele a două șiruri fără să le calculez?

Arăți că unul dintre termenii generali este mereu mai mic decât celălalt, printr-o prelucrare algebrică. Din inegalitatea dintre termeni iese direct una între limite, chiar dacă valorile lor rămân necunoscute.

Se păstrează inegalitatea dacă înmulțesc ambii membri cu un șir?

Numai dacă șirul cu care înmulțești are termeni pozitivi; altfel sensul se răstoarnă. Regula este aceeași ca la inegalitățile obișnuite, iar semnul trebuie verificat înainte de orice pas.

Ce limită are un șir cu termenii cuprinși între 0 și 1?

Dacă are limită, aceasta se află între $0$ și $1$ , capetele incluse. Șirul poate însă să nu aibă limită deloc, ca cel format alternativ din $0$ și $1$ , deci încadrarea nu garantează convergența.

Oamenii mai întreabă și: trecerea la limită în inegalități · se păstrează inegalitatea la limită · de ce se pierde inegalitatea strictă · compararea limitelor a două șiruri